朱慧明，彭 成，游萬海，曾昭法，任英華

（1.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，湖南 長沙 410082；2.湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079）

面板數(shù)據(jù)模型是研究經(jīng)濟變量相依關(guān)系、揭示 金融市場運行規(guī)律的重要工具，它能夠刻畫多個不同個體隨時間變化的行為特征，進而分析各個個體之間的共性與異質(zhì)性.傳統(tǒng)的面板回歸模型利用個體效應(yīng)或時間效應(yīng)刻畫面板數(shù)據(jù)的異質(zhì)性，無法準(zhǔn)確描述現(xiàn)實經(jīng)濟金融變量之間的非線性、非對稱關(guān)系.例如Hubbard[1]考慮不完備資本市場中，信息的非對稱和非線性特征.為了解決這個問題，面板門限模型利用轉(zhuǎn)移變量使得模型系數(shù)具有時變性，不僅可以刻畫個體之間的異質(zhì)性，同時也描述個體的時序變化，體現(xiàn)面板數(shù)據(jù)的非線性性質(zhì).如Besse和Fouquau[2]研究歐盟國家用電需求與溫度之間的非線性關(guān)系；Camilla等[3]研究國家發(fā)展水平的門限效應(yīng).面板平滑轉(zhuǎn)換模型擴展了面板門限模型，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)移變量的連續(xù)函數(shù)，而具有連續(xù)變化系數(shù)，從而在經(jīng)濟、金融、環(huán)境和能源等領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用.Lee和Chiu[4]發(fā)現(xiàn)保險金對實際收入的彈性存在門限特征；Joets和 Mignon[5]研究石油期貨價格向均衡價格調(diào)整的非線性、非對稱過程.然而，在估計面板平滑轉(zhuǎn)換模型參數(shù)時，常見的非線性最小二乘估計法[6]可能遇到算法難以收斂問題；另一方面，Wang和 Nolan[7]、朱慧明等[8]用貝葉斯方法估計非線性模型，能夠有效解決面板數(shù)據(jù)模型復(fù)雜的數(shù)值計算問題.

針對面板平滑轉(zhuǎn)換模型常用參數(shù)估計方法非線性O(shè)LS存在難以收斂的問題，利用MCMC方法，構(gòu)建基于MH－Gibbs混合抽樣算法的貝葉斯面板平滑轉(zhuǎn)換模型，解決模型參數(shù)不確定性問題，刻畫面板數(shù)據(jù)的非線性特征；利用投資與儲蓄面板數(shù)據(jù)進行了實證分析.

1 貝葉斯面板平滑轉(zhuǎn)換模型

1.1 面板平滑轉(zhuǎn)換模型結(jié)構(gòu)分析

為揭示變量間可能存在的非線性關(guān)系，Gonzalez等人提出了面板平滑轉(zhuǎn)換模型.由于能夠較好地刻畫面板數(shù)據(jù)的截面異質(zhì)性而受到研究者的青睞.兩機制面板平滑轉(zhuǎn)換模型如下：

式中：i＝1，2，…，N表示面板數(shù)據(jù)的個體維度；t＝1，2，…，T表示面板數(shù)據(jù)的時間維度；yit為被解釋變量；xit＝（xi1t，xi2t，…，xiKt）′為K維解釋變量；μi為個體效應(yīng)；εit～N（0，σ2）；轉(zhuǎn)移函數(shù)g（sit；λ，θ）是關(guān)于轉(zhuǎn)移變量sit的連續(xù)有界函數(shù)，這里采用邏輯斯蒂函數(shù)，即

式中：θ＝ （θ1，θ2，…，θm）′表示m維的位置參數(shù)向量，滿足θ1≤θ2≤…≤θm，斜率參數(shù)λ＞0控制模型的轉(zhuǎn)換速度（設(shè)置約束條件是為了模型識別）.顯然，0＜g（sit；λ，θ）＜1，模型回歸系數(shù)在β1和β1＋β2之間變化.這里僅討論m＝1的情況，當(dāng)λ→∞時，轉(zhuǎn)移函數(shù)g（sit；λ，θ）可視為示性函數(shù)I｛sit＞θ｝，也就是說，當(dāng)sit＞θ時，g（sit；λ，θ）＝1，當(dāng)sit＜θ時，g（sit；λ，θ）＝0，模型簡化為面板門限模型；當(dāng)λ→0時，轉(zhuǎn)移函數(shù)g（sit；λ，θ）是固定的常數(shù)，模型退化為固定效應(yīng)線性面板數(shù)據(jù)模型.

對于個體i，面板平滑轉(zhuǎn)換回歸模型具有如下矩陣形式：

式中：Yi＝ （yi1，yi2，…，yiT）′，e＝ （1，1，…，1）′為T×1維列向量，Xit＝ （x′i1，x′i2，…，x′iT），Gi＝diag（g（si1；λ，θ），g（si2；λ，θ），…，g（siT；λ，θ）），εi＝（εi1，εi2，…，εiT）′.令Y＝ （Y′1，Y′2，…，Y′N）′，X＝（X1t，X2t，…，XNt）′，Di＝（0，e，0）為第i列元素為1，其他元素為0的T×N矩陣，D＝ （D′1，D′2，…，D′N）′，G＝diag（G1，G2，…，GN），Φ＝ （μ1，μ2，…，μN，β′1，β′2）′，ε＝ （ε′1，ε′2，…，ε′N）′；Z＝（DXGX），那么，兩機制面板平滑轉(zhuǎn)換模型（1）可簡化為：

模型可視為變系數(shù)線性面板模型，因為轉(zhuǎn)移變量隨著個體和時間變化，導(dǎo)致模型系數(shù)時刻變化.

1.2 貝葉斯MH－Gibbs混合抽樣算法

給定 （λ，θ），Y服從均值為ZΦ和協(xié)方差矩陣為σ2I的多元正態(tài)分布，即Y～N（ZΦ，σ2I），因此，模型似然函數(shù)為：

為了進行貝葉斯分析，需要設(shè)置模型參數(shù)的先驗分布.根據(jù)Lopes和Salazar[9]的觀點，選擇如下先驗分布：

式中：IG表示逆伽瑪分布.

根據(jù)貝葉斯定理，參數(shù) （Φ，λ，θ，σ2）的聯(lián)合后驗密度函數(shù)正比于模型似然函數(shù)和先驗信息之積，兩者僅差一個常數(shù)因子，即

注意，式（6）沒有考慮先驗的相依性.由于參數(shù)的聯(lián)合后驗分布比較復(fù)雜，為了能夠進行MCMC抽樣算法，下面研究它的完全條件后驗分布.

1）參數(shù)Φ的完全條件后驗分布密度函數(shù)為：

式中：

顯然，Φ的完全條件后驗分布是均值為μΦ，協(xié)方差為VΦ的多元正態(tài)分布，即

2）參數(shù)σ2完全條件后驗分布密度函數(shù)為：

其中：

顯然，σ2的完全條件后驗分布是形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β的逆伽瑪分布，即

3）參數(shù)λ和θ的后驗分布密度函數(shù)形式復(fù)雜，沒有已知的分布可以直接進行抽樣.因此，采用隨機游走Metropolis－Hasting（MH）抽樣算法對它們進行聯(lián)合抽樣.設(shè) （λ，θ）的當(dāng)前值為 （λ（m），θ（m）），候選點 （λ＊，θ＊）從建議分布θ＊～N（θ（m），Δθ），λ＊～G（（λ（m））2／Δλ，λ（m）／Δλ）中產(chǎn)生.那么，（λ＊，θ＊）的接受概率為

其中：

式中：Z＊＝Z（sit；λ＊，θ＊），dN和dg分別表示正態(tài)分布和伽瑪分布的密度函數(shù).Δλ和Δθ是MH抽樣的調(diào)整值，使得接受概率為0.1～0.5.

根據(jù)模型參數(shù)Φ和σ2的完全條件后驗分布，利用Gibbs抽樣算法進行抽樣分析；然后利用MH抽樣方法對參數(shù) （λ，θ）進行抽樣.貝葉斯面板平滑轉(zhuǎn)換回歸模型的MCMC抽樣步驟如下：

1） 給 定 初 始 值 （Φ（0），λ（0），θ（0），σ2（0）），假 設(shè)（Φ（m），λ（m），θ（m），σ2（m））是第m次迭代的抽樣結(jié)果，M為抽樣次數(shù)；

2）從 （Φ｜Y，X，λ（m），θ（m），σ2（m））～N（μΦ，VΦ）抽取Φ（m＋1）；

3）從 （σ2｜Y，X，Φ（m＋1），λ（m），θ（m））～I(xiàn)G（α，β）抽取σ2（m＋1）；

4）從λ＊～G（（λ（m））2／Δλ，λ（m）／Δλ），θ＊～N（θ（m），Δθ）抽?。é耍?，θ＊），使得：

此處“w.p.”表示概率.

5）令m＝m＋1，重復(fù)2）～5）直至收斂.

抽樣的初始階段，參數(shù)初始值設(shè)定對隨機數(shù)的生成有較大影響，導(dǎo)致MC鏈條非平穩(wěn)，所以檢驗MCMC算法的有效性、估計模型參數(shù)的時候，要去掉最初的W個隨機數(shù)，利用剩余的M－W個數(shù)據(jù)分析.更進一步，為了減少鏈條自相關(guān)性，在剩余的鏈條，每l個隨機數(shù)只保留一個，實際用于分析的數(shù)據(jù)為N＝（M－W）／l個（假設(shè)能整除），Markov鏈為：

式中：n＝0，1，…，N－1，1≤k＜l.那么，模型參數(shù)的MC估計為：

2 實證研究

FH系數(shù)是一種利用投資率與儲蓄率的關(guān)系，衡量國內(nèi)各地區(qū)之間的資本流動能力和資本市場一體化的常用指標(biāo).若資本是完全流動的，則FH系數(shù)為0，意味著投資率與儲蓄率不相關(guān)；若FH系數(shù)接近1，則表明投資率依賴儲蓄率，儲蓄的增量保持在各省.數(shù)據(jù)主要來源于國泰安數(shù)據(jù)庫，其中2011年的數(shù)據(jù)來源《中國統(tǒng)計年鑒》，樣本區(qū)間為1998～2011年.模型中各變量的計算方法如下：各省市投資率Iit（各省資本形成總額與GDP之比），儲蓄率Sit（各省GDP減去最終消費，再除以該省GDP），經(jīng)濟增長率Δgdpit（各省實際GDP增長率，每年度的地區(qū)生產(chǎn)總值指數(shù)計算）和經(jīng)濟規(guī)模Sizeit（各省GDP與全國GDP總量之比）.

下面設(shè)定模型考察Δgdpit和Size對FH系數(shù)的影響.

模型1：

模型2：

模型3：

圖1和圖2分別給出了利用MCMC抽樣算法模擬各參數(shù)完全條件后驗分布的Geweke收斂診斷圖和后驗分布核密度曲線圖（模型2和模型3的接受概率ρ分別為0.43和0.42）.

由圖1可知，各參數(shù)Z統(tǒng)計量的絕對值小于1.96，在95%的置信水平下，可判斷迭代初的樣本均值與迭代末的樣本均值不存在顯著性的差異，抽樣獲得的Markov鏈?zhǔn)鞘諗康?

圖1 參數(shù)的Geweke收斂診斷圖Fig.1 Geweke convergence diagnostic for parameters

圖2 參數(shù)的后驗分布核密度曲線圖Fig.2 Posterior distribution of parameters

由圖2可知，模型1～3中各參數(shù)的邊緣后驗分布核密度估計的曲線平滑，有明顯的單峰對稱特征，說明參數(shù)貝葉斯估計值的誤差非常小.表1給出了參數(shù)的MCMC估計結(jié)果.

表1 貝葉斯PSTR模型的MCMC估計結(jié)果Tab.1 MCMC estimation for Bayesian PSTR models

由表1可知：

1）相比于固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型1，模型2和3的AIC，BIC值更小，表明兩機制面板平滑轉(zhuǎn)移模型的擬合度更好，Iit和Sit具有非線性關(guān)系.

2）以實際GDP增長率為控制變量的模型2中，當(dāng)實際GDP增長率超過10.16%時，F(xiàn)H系數(shù)為正值.表明經(jīng)濟增長快的地區(qū)（如天津、上海、江蘇等）具有較大的FH系數(shù)，地區(qū)的資本流動性小.值得注意的是西藏、青海等經(jīng)濟欠發(fā)達(dá)而經(jīng)濟增長率高的地區(qū)，儲蓄率與本地投資率具有高相關(guān)性；地區(qū)發(fā)展歷程上，經(jīng)濟發(fā)展速度越快的階段，F(xiàn)H系數(shù)就越大，地區(qū)的資本流動性越小，本地投資與儲蓄的相關(guān)性越強，收入的增加也促進本地投資.

4）λ（2）＞λ（3）表明相對于經(jīng)濟規(guī)模，F(xiàn)H 系數(shù)對實際GDP增長率變化的敏感度更高.

3 結(jié) 論

針對非線性O(shè)LS法估計面板平滑轉(zhuǎn)換模型參數(shù)時算法難以收斂的問題，構(gòu)造貝葉斯面板平滑轉(zhuǎn)換模型，設(shè)計了MH－Gibss混合抽樣算法估計模型參數(shù).利用中國各地區(qū)投資與儲蓄面板數(shù)據(jù)進行實證研究，結(jié)果表明，面板平滑轉(zhuǎn)換模型各參數(shù)的迭代軌跡是收斂的，參數(shù)估計結(jié)果的MC誤差均比較小，且參數(shù)后驗密度曲線呈鐘形，說明 MH－Gibbs混合抽樣算法有效地模擬了參數(shù)的邊緣后驗分布.相比于非線性O(shè)LS法，貝葉斯面板平滑轉(zhuǎn)換模型利用MCMC算法估計模型參數(shù)，簡化了計算復(fù)雜度，是一種有效的研究工具.

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