江蘇省蘇州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (郵編：215011)

高中數(shù)學(xué)里有關(guān)齊次式的問題經(jīng)常出現(xiàn)在不等式、三角函數(shù)、解三角形、圓錐曲線等章節(jié)里，往往需要我們解決一些化簡、求值域、最值等問題.

以下我們來分類研究：

1 不等式中的齊次結(jié)構(gòu)

例1已知不等式xy≤ax2+2y2,若對任意x∈[1,2]及y∈[2,3]該不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

提煉本例中利用齊次結(jié)構(gòu)將不等式中的兩個(gè)變量x、y合并成了一個(gè)變量t！不是齊次式做不到這一點(diǎn).這是我們在不等式中研究齊次式的重要心得.

當(dāng)我們對不等式中的齊次特征有了一定的認(rèn)識后，再來分析下面這道高考題，是不是對其中的一般性規(guī)律有更深的理解呢？

分析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc為典型的齊次結(jié)構(gòu).可化為：

2 三角函數(shù)中的齊次結(jié)構(gòu)

例3已知sinα+2cosα=0,求：

3 解三角形中的齊次結(jié)構(gòu)

分析本題條件3acosC=2ccosA中等號兩端a、c為齊次結(jié)構(gòu)，故由正弦定理得a=2RsinA,c=2RsinC,3sinAcosC=2sinCcosA，從而3tanA=2tanC.

這類題目中如果表示邊長的字母是齊次的，則可由正弦定理將邊長轉(zhuǎn)換為角的正弦；當(dāng)三角形中角的正弦齊次時(shí)也可以轉(zhuǎn)換為邊長.如下例：

4 圓錐曲線問題中的齊次結(jié)構(gòu)

這里就形成了關(guān)于a、c的齊次結(jié)構(gòu)!

下面我們再來研究一道利用通過齊次結(jié)構(gòu)求橢圓離心率取值范圍的例子:

分析先將向量坐標(biāo)化，設(shè)M(x0，y0)，則

①

故(x0+c,y0)·(x0-c,y0)=0

②

將不等式兩端同除以a4可解得：

以上是我們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常遇到的四種類型的含有“齊次結(jié)構(gòu)”的問題，表面看起來它們形式各異并無什么關(guān)聯(lián)，而實(shí)際上可以用“齊次”這個(gè)詞來描述它們共同特征.抓住這個(gè)特征就基本掌握了這四種“齊次”問題的一般性方法.