熊雙九

【摘 要】抽象函數(shù)，顧名思義就是比較抽象的函數(shù)，其實(shí)就是不需要有具體的函數(shù)表達(dá)式，滿足某些性質(zhì)的一類函數(shù)，抽象函數(shù)問題與函數(shù)方程有類似之處，關(guān)鍵是函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù) 變量代換 賦值法 遞歸法 待定系數(shù)法 柯西法

抽象函數(shù)是一種特殊類型的函數(shù)，具有一定的抽象性，是高中數(shù)學(xué)的常考點(diǎn)和難點(diǎn)，求解這類型問題要對(duì)函數(shù)的本質(zhì)特征有較為深刻的理解，同時(shí)需要一些靈活多樣的解題技巧，既要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，還要具備較強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力，現(xiàn)對(duì)它進(jìn)行系統(tǒng)的研究。

抽象函數(shù)的定義：一般的，抽象函數(shù)是相對(duì)于具體函數(shù)而言的，是指沒有給出函數(shù)解析式或?qū)?yīng)法測(cè)，只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì)的一類函數(shù)。抽象函數(shù)的典型解法和技巧主要有：變量代換、賦值法、遞歸法、待定系數(shù)法，柯西法等，下面具體地舉一些例子進(jìn)行研究。

評(píng)析：本題采用柯西法解抽象函數(shù)的典型例子，其一般步驟是：先求出對(duì)于自變量取所有自然數(shù)值時(shí)函數(shù)方程的解的形式，然后依次證明對(duì)自變量取整數(shù)值，有理數(shù)值及其實(shí)數(shù)值是函數(shù)方程的解仍具有這種形式。