確定球近似大地水準(zhǔn)面的積分Stokes方法

何風(fēng)勇+楊吉明

（濟(jì)南市勘察測繪研究院，山東 濟(jì)南 250013）

摘要：文章介紹了計(jì)算求解大地水準(zhǔn)面的Stokes公式的一種新方法—積分Stokes方法。給出了積分Stokes函數(shù)，通過該函數(shù)計(jì)算大地水準(zhǔn)面時(shí)，在計(jì)算點(diǎn)處不存在奇異性。作為示例文章采用了連續(xù)分布的重力異常函數(shù)進(jìn)行了試算，結(jié)果表明，利用該方法計(jì)算所得的結(jié)果與普通的數(shù)值積分方法比較具有較高的精度。

關(guān)鍵詞：大地水準(zhǔn)面；Stokes公式積分；Stokes函數(shù)；計(jì)算點(diǎn)處

中圖分類號(hào)：P223文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-2374（2014）22-0061-02確定地球形狀是大地測量工作者的一項(xiàng)基本任務(wù)，通常采用大地水準(zhǔn)面來表征地球形狀，它是覆蓋全球的一個(gè)重力等位面，其上的位與正常橢球表面的位相等。1849年，Stokes導(dǎo)出了計(jì)算大地水準(zhǔn)面的積分公式—Stokes公式，為確定地球形狀提供了有力的工具。由于該公式是對全球進(jìn)行積分，圍繞計(jì)算的精度與速度，不同學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究，提出了許多計(jì)算方法，如遠(yuǎn)近區(qū)相結(jié)合的方法和譜分析方法，以及Stokes函數(shù)的改化。1980年Goad在計(jì)算海潮負(fù)荷時(shí)提出了積分格林函數(shù)方法，我國學(xué)者吳慶鵬也對此做了更進(jìn)一步的研究，他們的研究表明該方法具有顯著的優(yōu)點(diǎn)，特別是能夠使得計(jì)算點(diǎn)處的奇異性降低1階。本文提出的方法即是將這一思想運(yùn)用于由重力異常分布確定大地水準(zhǔn)面的計(jì)

算中。

1計(jì)算理論

Stokes公式具有非常簡潔的形式，

（1）

其中是地球半徑，是平均橢球體表面的正常重力的平均值，是重力異常，被稱為Stokes函數(shù)，它是測站與計(jì)算點(diǎn)的角距的函數(shù)（如圖1），有如下的公式：

（2）

其中：

（3）

分別為計(jì)算點(diǎn)的余緯與經(jīng)度，分別為測站的余緯與經(jīng)度，表示半徑為的單位球，且有：

（4）

上式中，A為方位角。

圖1?Stokes函數(shù)

從（1）式可以看出，計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距也就是計(jì)算重力異常與Stokes函數(shù)的乘積在整個(gè)球面上的積分，因此在某種意義上，Stokes函數(shù)可以認(rèn)為是一種格林函數(shù)，即任一測站的重力異常對大地水準(zhǔn)面差距的貢獻(xiàn)的響應(yīng)函數(shù)。以下我們所稱的格林函數(shù)即為Stokes

函數(shù)。

我們定義積分格林函數(shù)為：

（5）

δ為積分Stokes函數(shù)所處的區(qū)間間隔大小，即以該區(qū)間的中點(diǎn)代替積分Stokes函數(shù)的自變量。通過推導(dǎo)可得積分Stokes函數(shù)的解析表達(dá)式為：

（6）

其中：

（7）

顯然，在計(jì)算點(diǎn)處，y=0，即t=0，由（2）知，Stokes函數(shù)表達(dá)式中的分母為0，因此產(chǎn)生計(jì)算時(shí)產(chǎn)生奇異，有許多文獻(xiàn)討論了避免奇異性的方法，如將該點(diǎn)處的重力異常展開為泰勒級(jí)數(shù)。

而（6）中包含對數(shù)函數(shù)的部分的值為

（8）

上式中運(yùn)用了求極限的羅必塔法則。因此，積分Stokes函數(shù)在計(jì)算點(diǎn)是沒有奇異性的。圖2給出了其隨角距離的變化，可以看出，積分Stokes函數(shù)的變化是比較平緩的，而不像Stokes函數(shù)那樣在近區(qū)的變化比較劇烈（注意圖1中橫軸取了對數(shù)），圖中紅色的線表示由（6）式計(jì)算的結(jié)果，而黑色的線表示由（5）式計(jì)算的結(jié)果（積分步長為0.001°），很明顯二者具有非常好的一致性，說明（6）式是正確的。

圖2?積分Stokes函數(shù)

令DA為沿方位角方向的網(wǎng)格劃分，那么數(shù)值積分時(shí)，認(rèn)為重力異常在任一網(wǎng)格內(nèi)為常數(shù)，則將（5）式代入（1）式可得：

（9）

2試驗(yàn)算例

由于我們僅僅考慮我們提出的方法的優(yōu)劣，因此采用有解析結(jié)果的算例進(jìn)行驗(yàn)證。本試驗(yàn)中，令重力異常在全球的分布滿足

（10）

那么對于北極點(diǎn)（y=q）的大地水準(zhǔn)面差距來說，其具有嚴(yán)格的解析解：

（11）

這樣我們就可以用來檢核不同方法計(jì)算結(jié)果的正確性與精度。對于北極此時(shí)我們就可以利用重力異常分布的對稱性，并且在這兩點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面差距具有嚴(yán)格的解析解。

從圖1中的Stokes函數(shù)可以看出，在角距離較小時(shí)（近區(qū)），函數(shù)變化比較劇烈，因此在積分時(shí)，近區(qū)的步長取得比較小，而遠(yuǎn)區(qū)的步長可以大一些。在計(jì)算中，具體采用的步長見表1。

由于我們假設(shè)的重力異常分布與經(jīng)度無關(guān)，顯然與經(jīng)度有關(guān)的積分值為2p，因此在計(jì)算結(jié)果的比較中我們忽略這一常數(shù)，也就是只對緯度進(jìn)行積分，另外我們也忽略（9）式中求和符號(hào)前的常數(shù)，這并不影響結(jié)果的比較，計(jì)算結(jié)果在表2中列出。

由表中的結(jié)果可以看出，積分Stokes方法計(jì)算結(jié)果的精度比普通的數(shù)值積分方法的精度提高了1個(gè)數(shù)量級(jí)，這在確定高精度的大地水準(zhǔn)面的計(jì)算中就顯得尤為重要了。另外我們減小了近區(qū)的積分步長，但是對結(jié)果的影響甚微，表明所采用的步長已經(jīng)可以達(dá)到最佳的

效果。

3結(jié)語

我們提出了一種計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距的新方法—積分Stokes方法，該方法顯著的優(yōu)點(diǎn)是去除了計(jì)算點(diǎn)處的奇異性，并且在計(jì)算效率上也優(yōu)于普通的數(shù)值積分方法，該方法使得計(jì)算結(jié)果的精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，這在實(shí)際的工作中將發(fā)揮重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1]?管澤霖，管錚，黃謨濤，翟國君．局部重力場逼近理

論和方法[M]．北京：測繪出版社，1997．

[2]?Goad，C，C．Gravimetric tidal loading computed from

integrated Greens function，J．G．Res．，85，

2679-2683，1980．

[3]?Wu Qingpeng， Zhu Wenlu．， The load integrated

Greens function （LIGF） for spherical elastic earth

models and their applications． Proceedings of the

twelfth international symposium on earth tides．Science

press， Beijing， New York， 1995．

[4]?吳慶鵬．重力學(xué)與固體潮[M]．北京：地震出版社，

1997．

endprint

（濟(jì)南市勘察測繪研究院，山東 濟(jì)南 250013）

摘要：文章介紹了計(jì)算求解大地水準(zhǔn)面的Stokes公式的一種新方法—積分Stokes方法。給出了積分Stokes函數(shù)，通過該函數(shù)計(jì)算大地水準(zhǔn)面時(shí)，在計(jì)算點(diǎn)處不存在奇異性。作為示例文章采用了連續(xù)分布的重力異常函數(shù)進(jìn)行了試算，結(jié)果表明，利用該方法計(jì)算所得的結(jié)果與普通的數(shù)值積分方法比較具有較高的精度。

關(guān)鍵詞：大地水準(zhǔn)面；Stokes公式積分；Stokes函數(shù)；計(jì)算點(diǎn)處

中圖分類號(hào)：P223文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-2374（2014）22-0061-02確定地球形狀是大地測量工作者的一項(xiàng)基本任務(wù)，通常采用大地水準(zhǔn)面來表征地球形狀，它是覆蓋全球的一個(gè)重力等位面，其上的位與正常橢球表面的位相等。1849年，Stokes導(dǎo)出了計(jì)算大地水準(zhǔn)面的積分公式—Stokes公式，為確定地球形狀提供了有力的工具。由于該公式是對全球進(jìn)行積分，圍繞計(jì)算的精度與速度，不同學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究，提出了許多計(jì)算方法，如遠(yuǎn)近區(qū)相結(jié)合的方法和譜分析方法，以及Stokes函數(shù)的改化。1980年Goad在計(jì)算海潮負(fù)荷時(shí)提出了積分格林函數(shù)方法，我國學(xué)者吳慶鵬也對此做了更進(jìn)一步的研究，他們的研究表明該方法具有顯著的優(yōu)點(diǎn)，特別是能夠使得計(jì)算點(diǎn)處的奇異性降低1階。本文提出的方法即是將這一思想運(yùn)用于由重力異常分布確定大地水準(zhǔn)面的計(jì)

算中。

1計(jì)算理論

Stokes公式具有非常簡潔的形式，

（1）

其中是地球半徑，是平均橢球體表面的正常重力的平均值，是重力異常，被稱為Stokes函數(shù)，它是測站與計(jì)算點(diǎn)的角距的函數(shù)（如圖1），有如下的公式：

（2）

其中：

（3）

分別為計(jì)算點(diǎn)的余緯與經(jīng)度，分別為測站的余緯與經(jīng)度，表示半徑為的單位球，且有：

（4）

上式中，A為方位角。

圖1?Stokes函數(shù)

從（1）式可以看出，計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距也就是計(jì)算重力異常與Stokes函數(shù)的乘積在整個(gè)球面上的積分，因此在某種意義上，Stokes函數(shù)可以認(rèn)為是一種格林函數(shù)，即任一測站的重力異常對大地水準(zhǔn)面差距的貢獻(xiàn)的響應(yīng)函數(shù)。以下我們所稱的格林函數(shù)即為Stokes

函數(shù)。

我們定義積分格林函數(shù)為：

（5）

δ為積分Stokes函數(shù)所處的區(qū)間間隔大小，即以該區(qū)間的中點(diǎn)代替積分Stokes函數(shù)的自變量。通過推導(dǎo)可得積分Stokes函數(shù)的解析表達(dá)式為：

（6）

其中：

（7）

顯然，在計(jì)算點(diǎn)處，y=0，即t=0，由（2）知，Stokes函數(shù)表達(dá)式中的分母為0，因此產(chǎn)生計(jì)算時(shí)產(chǎn)生奇異，有許多文獻(xiàn)討論了避免奇異性的方法，如將該點(diǎn)處的重力異常展開為泰勒級(jí)數(shù)。

而（6）中包含對數(shù)函數(shù)的部分的值為

（8）

上式中運(yùn)用了求極限的羅必塔法則。因此，積分Stokes函數(shù)在計(jì)算點(diǎn)是沒有奇異性的。圖2給出了其隨角距離的變化，可以看出，積分Stokes函數(shù)的變化是比較平緩的，而不像Stokes函數(shù)那樣在近區(qū)的變化比較劇烈（注意圖1中橫軸取了對數(shù)），圖中紅色的線表示由（6）式計(jì)算的結(jié)果，而黑色的線表示由（5）式計(jì)算的結(jié)果（積分步長為0.001°），很明顯二者具有非常好的一致性，說明（6）式是正確的。

圖2?積分Stokes函數(shù)

令DA為沿方位角方向的網(wǎng)格劃分，那么數(shù)值積分時(shí)，認(rèn)為重力異常在任一網(wǎng)格內(nèi)為常數(shù)，則將（5）式代入（1）式可得：

（9）

2試驗(yàn)算例

由于我們僅僅考慮我們提出的方法的優(yōu)劣，因此采用有解析結(jié)果的算例進(jìn)行驗(yàn)證。本試驗(yàn)中，令重力異常在全球的分布滿足

（10）

那么對于北極點(diǎn)（y=q）的大地水準(zhǔn)面差距來說，其具有嚴(yán)格的解析解：

（11）

這樣我們就可以用來檢核不同方法計(jì)算結(jié)果的正確性與精度。對于北極此時(shí)我們就可以利用重力異常分布的對稱性，并且在這兩點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面差距具有嚴(yán)格的解析解。

從圖1中的Stokes函數(shù)可以看出，在角距離較小時(shí)（近區(qū)），函數(shù)變化比較劇烈，因此在積分時(shí)，近區(qū)的步長取得比較小，而遠(yuǎn)區(qū)的步長可以大一些。在計(jì)算中，具體采用的步長見表1。

由于我們假設(shè)的重力異常分布與經(jīng)度無關(guān)，顯然與經(jīng)度有關(guān)的積分值為2p，因此在計(jì)算結(jié)果的比較中我們忽略這一常數(shù)，也就是只對緯度進(jìn)行積分，另外我們也忽略（9）式中求和符號(hào)前的常數(shù)，這并不影響結(jié)果的比較，計(jì)算結(jié)果在表2中列出。

由表中的結(jié)果可以看出，積分Stokes方法計(jì)算結(jié)果的精度比普通的數(shù)值積分方法的精度提高了1個(gè)數(shù)量級(jí)，這在確定高精度的大地水準(zhǔn)面的計(jì)算中就顯得尤為重要了。另外我們減小了近區(qū)的積分步長，但是對結(jié)果的影響甚微，表明所采用的步長已經(jīng)可以達(dá)到最佳的

效果。

3結(jié)語

我們提出了一種計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距的新方法—積分Stokes方法，該方法顯著的優(yōu)點(diǎn)是去除了計(jì)算點(diǎn)處的奇異性，并且在計(jì)算效率上也優(yōu)于普通的數(shù)值積分方法，該方法使得計(jì)算結(jié)果的精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，這在實(shí)際的工作中將發(fā)揮重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1]?管澤霖，管錚，黃謨濤，翟國君．局部重力場逼近理

論和方法[M]．北京：測繪出版社，1997．

[2]?Goad，C，C．Gravimetric tidal loading computed from

integrated Greens function，J．G．Res．，85，

2679-2683，1980．

[3]?Wu Qingpeng， Zhu Wenlu．， The load integrated

Greens function （LIGF） for spherical elastic earth

models and their applications． Proceedings of the

twelfth international symposium on earth tides．Science

press， Beijing， New York， 1995．

[4]?吳慶鵬．重力學(xué)與固體潮[M]．北京：地震出版社，

1997．

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（濟(jì)南市勘察測繪研究院，山東 濟(jì)南 250013）

摘要：文章介紹了計(jì)算求解大地水準(zhǔn)面的Stokes公式的一種新方法—積分Stokes方法。給出了積分Stokes函數(shù)，通過該函數(shù)計(jì)算大地水準(zhǔn)面時(shí)，在計(jì)算點(diǎn)處不存在奇異性。作為示例文章采用了連續(xù)分布的重力異常函數(shù)進(jìn)行了試算，結(jié)果表明，利用該方法計(jì)算所得的結(jié)果與普通的數(shù)值積分方法比較具有較高的精度。

關(guān)鍵詞：大地水準(zhǔn)面；Stokes公式積分；Stokes函數(shù)；計(jì)算點(diǎn)處

中圖分類號(hào)：P223文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-2374（2014）22-0061-02確定地球形狀是大地測量工作者的一項(xiàng)基本任務(wù)，通常采用大地水準(zhǔn)面來表征地球形狀，它是覆蓋全球的一個(gè)重力等位面，其上的位與正常橢球表面的位相等。1849年，Stokes導(dǎo)出了計(jì)算大地水準(zhǔn)面的積分公式—Stokes公式，為確定地球形狀提供了有力的工具。由于該公式是對全球進(jìn)行積分，圍繞計(jì)算的精度與速度，不同學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究，提出了許多計(jì)算方法，如遠(yuǎn)近區(qū)相結(jié)合的方法和譜分析方法，以及Stokes函數(shù)的改化。1980年Goad在計(jì)算海潮負(fù)荷時(shí)提出了積分格林函數(shù)方法，我國學(xué)者吳慶鵬也對此做了更進(jìn)一步的研究，他們的研究表明該方法具有顯著的優(yōu)點(diǎn)，特別是能夠使得計(jì)算點(diǎn)處的奇異性降低1階。本文提出的方法即是將這一思想運(yùn)用于由重力異常分布確定大地水準(zhǔn)面的計(jì)

算中。

1計(jì)算理論

Stokes公式具有非常簡潔的形式，

（1）

其中是地球半徑，是平均橢球體表面的正常重力的平均值，是重力異常，被稱為Stokes函數(shù)，它是測站與計(jì)算點(diǎn)的角距的函數(shù)（如圖1），有如下的公式：

（2）

其中：

（3）

分別為計(jì)算點(diǎn)的余緯與經(jīng)度，分別為測站的余緯與經(jīng)度，表示半徑為的單位球，且有：

（4）

上式中，A為方位角。

圖1?Stokes函數(shù)

從（1）式可以看出，計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距也就是計(jì)算重力異常與Stokes函數(shù)的乘積在整個(gè)球面上的積分，因此在某種意義上，Stokes函數(shù)可以認(rèn)為是一種格林函數(shù)，即任一測站的重力異常對大地水準(zhǔn)面差距的貢獻(xiàn)的響應(yīng)函數(shù)。以下我們所稱的格林函數(shù)即為Stokes

函數(shù)。

我們定義積分格林函數(shù)為：

（5）

δ為積分Stokes函數(shù)所處的區(qū)間間隔大小，即以該區(qū)間的中點(diǎn)代替積分Stokes函數(shù)的自變量。通過推導(dǎo)可得積分Stokes函數(shù)的解析表達(dá)式為：

（6）

其中：

（7）

顯然，在計(jì)算點(diǎn)處，y=0，即t=0，由（2）知，Stokes函數(shù)表達(dá)式中的分母為0，因此產(chǎn)生計(jì)算時(shí)產(chǎn)生奇異，有許多文獻(xiàn)討論了避免奇異性的方法，如將該點(diǎn)處的重力異常展開為泰勒級(jí)數(shù)。

而（6）中包含對數(shù)函數(shù)的部分的值為

（8）

上式中運(yùn)用了求極限的羅必塔法則。因此，積分Stokes函數(shù)在計(jì)算點(diǎn)是沒有奇異性的。圖2給出了其隨角距離的變化，可以看出，積分Stokes函數(shù)的變化是比較平緩的，而不像Stokes函數(shù)那樣在近區(qū)的變化比較劇烈（注意圖1中橫軸取了對數(shù)），圖中紅色的線表示由（6）式計(jì)算的結(jié)果，而黑色的線表示由（5）式計(jì)算的結(jié)果（積分步長為0.001°），很明顯二者具有非常好的一致性，說明（6）式是正確的。

圖2?積分Stokes函數(shù)

令DA為沿方位角方向的網(wǎng)格劃分，那么數(shù)值積分時(shí)，認(rèn)為重力異常在任一網(wǎng)格內(nèi)為常數(shù)，則將（5）式代入（1）式可得：

（9）

2試驗(yàn)算例

由于我們僅僅考慮我們提出的方法的優(yōu)劣，因此采用有解析結(jié)果的算例進(jìn)行驗(yàn)證。本試驗(yàn)中，令重力異常在全球的分布滿足

（10）

那么對于北極點(diǎn)（y=q）的大地水準(zhǔn)面差距來說，其具有嚴(yán)格的解析解：

（11）

這樣我們就可以用來檢核不同方法計(jì)算結(jié)果的正確性與精度。對于北極此時(shí)我們就可以利用重力異常分布的對稱性，并且在這兩點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面差距具有嚴(yán)格的解析解。

從圖1中的Stokes函數(shù)可以看出，在角距離較小時(shí)（近區(qū)），函數(shù)變化比較劇烈，因此在積分時(shí)，近區(qū)的步長取得比較小，而遠(yuǎn)區(qū)的步長可以大一些。在計(jì)算中，具體采用的步長見表1。

由于我們假設(shè)的重力異常分布與經(jīng)度無關(guān)，顯然與經(jīng)度有關(guān)的積分值為2p，因此在計(jì)算結(jié)果的比較中我們忽略這一常數(shù)，也就是只對緯度進(jìn)行積分，另外我們也忽略（9）式中求和符號(hào)前的常數(shù)，這并不影響結(jié)果的比較，計(jì)算結(jié)果在表2中列出。

由表中的結(jié)果可以看出，積分Stokes方法計(jì)算結(jié)果的精度比普通的數(shù)值積分方法的精度提高了1個(gè)數(shù)量級(jí)，這在確定高精度的大地水準(zhǔn)面的計(jì)算中就顯得尤為重要了。另外我們減小了近區(qū)的積分步長，但是對結(jié)果的影響甚微，表明所采用的步長已經(jīng)可以達(dá)到最佳的

效果。

3結(jié)語

我們提出了一種計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距的新方法—積分Stokes方法，該方法顯著的優(yōu)點(diǎn)是去除了計(jì)算點(diǎn)處的奇異性，并且在計(jì)算效率上也優(yōu)于普通的數(shù)值積分方法，該方法使得計(jì)算結(jié)果的精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，這在實(shí)際的工作中將發(fā)揮重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1]?管澤霖，管錚，黃謨濤，翟國君．局部重力場逼近理

論和方法[M]．北京：測繪出版社，1997．

[2]?Goad，C，C．Gravimetric tidal loading computed from

integrated Greens function，J．G．Res．，85，

2679-2683，1980．

[3]?Wu Qingpeng， Zhu Wenlu．， The load integrated

Greens function （LIGF） for spherical elastic earth

models and their applications． Proceedings of the

twelfth international symposium on earth tides．Science

press， Beijing， New York， 1995．

[4]?吳慶鵬．重力學(xué)與固體潮[M]．北京：地震出版社，

1997．

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