基于樣本特征加權(quán)的可能性模糊核聚類算法＊－

黃衛(wèi)春，劉建林，熊李艷

（華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 南昌330013）

1 引言

聚類分析是多元統(tǒng)計(jì)分析的一種，也是非監(jiān)督模式識(shí)別的一個(gè)重要分支。聚類的目的是使得相似的樣本之間的距離盡可能地小，而不相似的樣本之間的距離盡可能地大。隨著模糊集理論的提出和不斷發(fā)展，模糊聚類分析已成為聚類分析研究的主流，其中以基于目標(biāo)函數(shù)的模糊C－均值FCM（Fuzzy C－Means）算法理論最為完善，應(yīng)用最為廣泛。模糊C－均值聚類算法是一種基于劃分的聚類方法，根據(jù)最小二乘原理，采用迭代方法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，最終得到每個(gè)樣本點(diǎn)的歸屬。如今FCM算法已被廣泛地應(yīng)用于模式識(shí)別、數(shù)據(jù)挖掘、圖像處理等領(lǐng)域［1～4］。

經(jīng)典的FCM算法對(duì)初始聚類中心較為敏感，易出現(xiàn)局部最優(yōu)的情況，且算法不考慮各個(gè)特征重要度及不同樣本對(duì)分類的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，聚類中心的選取會(huì)在一定程度上影響輸出結(jié)果，且一些數(shù)據(jù)集的樣本分布是非均勻的或非對(duì)稱的，也就是說(shuō)樣本的特征對(duì)分類的結(jié)果是不均勻的，這些都會(huì)影響聚類效果。針對(duì)以上問(wèn)題，許多學(xué)者提出了FCM的改進(jìn)算法，如KPrishnapuranm K和Keller通過(guò)放松隸屬度約束的限制提出了可能性C－均值算法PCM（Possibilistic C－Means）。Pal N R 等［5］把FCM算法中的隸屬度和PCM算法中的可能性典型值相結(jié)合提出了可能性模糊C－均值算法PFCM（Possibilistic Fuzzy C－Means）。也有學(xué)者通過(guò)將遺傳算法和模糊聚類算法相結(jié)合，提出了許多混合算法，如于水英等［6］提出了將遺傳算法和模糊聚類相結(jié)合并應(yīng)用到文本分類以提高分類效果；許松榮等［7］提出基于遺傳算法的模糊聚類算法等。還有學(xué)者提出了一些基于權(quán)重的混合算法，如王麗娟等［8］提出的基于屬性權(quán)重的FCM 算法；Shen Hong－bin等［9］提出的基于 mercer核的屬性加權(quán)FCM方法；賀楊成等［10］提出的特征空間屬性加權(quán)混合C－均值模糊核聚類算法；蔡靜穎等［11］提出的基于馬氏距離特征加權(quán)的模糊聚類新算法；劉兵等［12］提出的基于樣本加權(quán)的可能性模糊聚類算法等。這些改進(jìn)算法都在一定程度上解決了經(jīng)典FCM的噪聲敏感及局部最優(yōu)的問(wèn)題，但面對(duì)樣本離群點(diǎn)或噪聲數(shù)據(jù)較多時(shí)，算法性能可能會(huì)受到較大的影響。本文提出了一種基于樣本－特征加權(quán)的可能性模糊核聚類算法，利用可能性聚類的思想解決了噪聲敏感和一致性聚類的問(wèn)題；同時(shí)，在聚類過(guò)程中動(dòng)態(tài)計(jì)算樣本屬性特征間的不平衡性和樣本對(duì)聚類的重要性的權(quán)重，減少噪聲數(shù)據(jù)和例外點(diǎn)對(duì)聚類的影響，優(yōu)化選取核參數(shù)并不斷修正核函數(shù)把原始空間中非線性可分的數(shù)據(jù)集轉(zhuǎn)化為高維特征空間中的可分?jǐn)?shù)據(jù)集。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能減少噪聲數(shù)據(jù)和例外點(diǎn)的影響，比傳統(tǒng)的聚類算法具有更好的聚類精度。

2 模糊C－均值聚類算法

設(shè)定一個(gè)具有N個(gè)樣本的數(shù)據(jù)集X＝｛x1，x2，…，xN｝，xi＝ ｛xi1，xi2，…，xiL｝，i＝1，2，…，N ，每個(gè)樣本點(diǎn)xi有L個(gè)屬性，把其劃分到c個(gè)不相交的數(shù)據(jù)集中，每個(gè)數(shù)據(jù)集的聚類中心分別為v1，v2，…，vc。FCM算法使用模糊劃分，每個(gè)樣本點(diǎn)xj被賦予一個(gè)屬于第c個(gè)類別的隸屬度值，隸屬度值的取值范圍為0～1。其目標(biāo)函數(shù)如下：

其中，dij為數(shù)據(jù)點(diǎn)xj與聚類中心vi的距離，在經(jīng)典的FCM算法中總使用歐氏距離來(lái)計(jì)算；m為模糊指數(shù)，表示隸屬度矩陣的模糊程度，在實(shí)際應(yīng)用中m的最佳取值范圍為 （1.5，2.5）。通過(guò)拉格朗日乘法來(lái)求解式（1）可得隸屬度uij、聚類中心vi的迭代式：

但是，經(jīng)典的FCM算法本質(zhì)屬于局部搜索的爬山法，對(duì)初始聚類中心較為敏感，易出現(xiàn)局部最優(yōu)的情況，且該算法不考慮各個(gè)屬性特征及樣本總體對(duì)分類重要性的影響。

3 基于樣本－特征加權(quán)的可能性模糊核聚類算法

3.1 樣本－特征加權(quán)

樣本加權(quán)是為了克服離群點(diǎn)對(duì)聚類分析的影響，加快聚類的收斂速度。通過(guò)給每個(gè)樣本整體添加一個(gè)權(quán)值，表示其對(duì)聚類的貢獻(xiàn)程度。對(duì)噪聲數(shù)據(jù)或例外點(diǎn)賦予一個(gè)較小的權(quán)值，使其參與聚類的程度被降低，也就減少甚至消除了它們對(duì)聚類結(jié)果的影響。假設(shè)樣本集X＝ ｛x1，x2，…，xN｝，為每個(gè)樣本xi賦予一個(gè)權(quán)重αj，αj的表達(dá)式如下：

其中，?為正的常數(shù)，j＝1，2，…，N ，‖xj－xk‖表示兩個(gè)樣本xj與xk之間的歐氏距離。

顯然樣本權(quán)值的大小與樣本點(diǎn)到其它所有樣本點(diǎn)之間的距離有關(guān)，離群點(diǎn)離樣本的距離相對(duì)較遠(yuǎn)，那么其被賦予的權(quán)值就較小，也就減少了離群點(diǎn)的影響。同時(shí)，為了體現(xiàn)樣本屬性特征對(duì)類別的重要程度，定義一個(gè)權(quán)重系數(shù)wik，表示第k個(gè)屬性對(duì)i類的重要性，且：

假定 為一非線性隱射函數(shù)，：RL→H，x→（x），其中x∈RL是原始空間的一個(gè)樣本點(diǎn)，H為映射后的高維特征空間。把歐氏距離計(jì)算換成核函數(shù)計(jì)算，則基于樣本－特征加權(quán)的可能性模糊核聚類算法的目標(biāo)函數(shù)（簡(jiǎn)單表示為SFPFKM）為：

其中，1≤i≤c，1≤j≤N，c為類別數(shù)，vik是第i類的聚類中心，uij表示第j個(gè)樣本屬于第i類的隸屬度，tij為第j個(gè)樣本屬于第i類的可能性，σ2是協(xié)方差矩陣，其計(jì)算方法［13］如下：

定義核映射函數(shù)為：

任何一個(gè)函數(shù)只要滿足 Mercer定理［14］條件就可以作為Mercer核。用一個(gè)非線性函數(shù) （x）把所有樣本映射到高維空間，可以得到新的樣本集。核的引入在原始空間中誘導(dǎo)出了依賴于核的新的距離度量。由式（9）可得：

其中核函數(shù)為高斯核函數(shù)：

由式（10）可得 K（x，x）＝1，則式（7）經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化可得：由式（12）的極值約束條件，根據(jù)拉格朗日乘法可得：

其中λ為拉格朗日系數(shù)，其最優(yōu)化的一階必要條件為：

由式（14）可得隸屬度uij的迭代式為：

同理，由式（12）和式（13）可得權(quán)重系數(shù)wik、典型值tij和聚類中心vik的計(jì)算式分別為：

3.2 修正核函數(shù)及核參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)權(quán)重系數(shù)wik取值的不同，聚類中心vik的取值也不同，可得：

為了使目標(biāo)函數(shù)獲得最優(yōu)解，需要合理選取核函數(shù)的核參數(shù)φ，比較典型的方法是通過(guò)下降梯度法和交叉驗(yàn)證法來(lái)確定φ的取值［15］。本文選用下降梯度法來(lái)確定φ的取值，φ的迭代式為：

其中δ為迭代步長(zhǎng)。

對(duì)于一個(gè)正標(biāo)量函數(shù)D（x），定義：

把式（12）稱為核函數(shù)通過(guò)因子D（x）的保形變換?！（x，x′）為支持向量機(jī)的修正核函數(shù)［16］。

可以通過(guò)修正核函數(shù)來(lái)提高分類的精度，整個(gè)修正過(guò)程分為兩步：第一步是利用原始核函數(shù)進(jìn)行聚類以產(chǎn)生支持向量，第二步利用支持向量信息修正核函數(shù)。令：

其中，θ為任意常數(shù)，v為聚類中心。由式（22）所得的修正核函數(shù)仍滿足Mercer條件［17］。

φ的初始值［18］設(shè)為：

其中，c為聚類數(shù)，N為樣本總數(shù)。

通過(guò)以上可得基于修正核函數(shù)的特征加權(quán)模糊核聚類算法，其描述如下：

步驟1 設(shè)定聚類數(shù)c，模糊權(quán)重指數(shù)m，核參數(shù)的迭代步長(zhǎng)δ，?＞0，a＞0，b＞0，β＞1，η＞1，最大迭代次數(shù)max＿t，算法停止時(shí)最小閾值ε＞0。

步驟2 運(yùn)行FCM算法，并以其結(jié)果作為初始聚類中心矩陣v（0）、初始隸屬度矩陣u（0）。

步驟3 隨機(jī)初始化典型值t（0）、權(quán)重w（0），令t＝1。

步驟4 使用式（23）初始化核參數(shù)φ＝φ（0）。

深基坑施工是基礎(chǔ)施工的基礎(chǔ)，開工前根據(jù)建筑工程實(shí)際對(duì)基坑施工標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行全面的優(yōu)化，要確?；幼陨淼膹?qiáng)度及安全穩(wěn)定性，增強(qiáng)地基的稱在惡劣，并且施工人員也要嚴(yán)格的按照施工工序進(jìn)行施工，確保深基坑施工的安全性。

步驟5 使用式（21）和式（22）不斷修正K（xj，vi），并使用如下迭代公式進(jìn)行循環(huán)，逼近最優(yōu)解：

（1）使用式（18）更新聚類中心v（t）；

（2）使用式（17）更新典型值t（t）；

（3）使用式（16）更新權(quán)重值w（t）；

（4）使用式（20）計(jì)算新的核參數(shù)φ（t）；

（5）使用式（15）更新隸屬度u（t）；

（6）t＝t＋1；

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的魯棒性和有效性，利用從UCI中選取的四個(gè)數(shù)據(jù)集和含噪聲數(shù)據(jù)集兩組實(shí)驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。在實(shí)驗(yàn)中將本文算法的聚類性能分別與FCM算法、PCM算法、PFCM算法的性能進(jìn)行對(duì)比。在UCI中的四個(gè)數(shù)據(jù)集上比較各算法的聚類精度，也就是正確聚類樣本數(shù)與樣本總數(shù)所得的比值，值越大也就是聚類的精度越大，正確聚類的樣本越多；在含噪聲數(shù)據(jù)集上比較算法發(fā)現(xiàn)含噪聲數(shù)據(jù)的聚類中心的能力。算法在PC機(jī)上利用 Microsoft Visual C＋＋6.0進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

4.1 UCI數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

從UCI中選取的四個(gè)數(shù)據(jù)集分別為Iris、Wine、Pima和 Breast－cancer，這四個(gè)數(shù)據(jù)集是比較無(wú)監(jiān)督聚類效果好壞的典型數(shù)據(jù)，其基本特征如表1所示，將這四個(gè)數(shù)據(jù)集應(yīng)用不同算法的聚類結(jié)果如表2所示。

Table 1 Basic information of data set表1 數(shù)據(jù)集的基本信息

實(shí)驗(yàn)中各參數(shù)的配置為：ε＝0.000 01，最大迭代次數(shù)max＿t＝150，m＝2.0。PFCM 算法在四個(gè)數(shù)據(jù)集上的其它參數(shù)設(shè)置為a＝1.0，b＝1.0，β＝2.0；本文算法在四個(gè)數(shù)據(jù)集上的其它參數(shù)分別設(shè)為a＝1.0，b＝1.0，β＝2.0，η＝2.0；a＝1.0，b＝50，β＝1.5，η＝2.0；a＝0.1，b＝100，β＝1.5，η＝2.0；a＝0.1，b＝90，β＝1.0，η＝2.0（這些參數(shù)的選擇是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)而來(lái)的，為方便比較，我們選取具有最優(yōu)的聚類效果的參數(shù)作為本文算法的實(shí)驗(yàn)參數(shù)）。

Table 2 Comparision of the algorithms’clustering results表2 各算法的聚類結(jié)果比較

從表2中可得，基于樣本特征加權(quán)可能性模糊聚類算法的聚類精度均優(yōu)于經(jīng)典的FCM、PCM、PFCM算法的聚類精度，且對(duì)于不同的數(shù)據(jù)集，本文算法的聚類精度的改善程度是不一樣的。與FCM、PCM、PFCM三種算法相比，本文算法在I－ris數(shù)據(jù)集上的聚類精度比其他三種算法分別提高了近0.14、0.27、0.02；在Pima數(shù)據(jù)集上的聚類精度分別提高了近0.21、0.44、0.04；在 Wine數(shù)據(jù)集上的聚類精度分別提高了0.03、0.30、0.01；在Breast＿cancer數(shù)據(jù)集的聚類精度分別提高了近0.01、0.64、0.01。由此可見(jiàn)，基于樣本－特征加權(quán)的可能性模糊聚類算法優(yōu)于經(jīng)典聚類算法的聚類性能，相比其它算法能獲得更好的數(shù)據(jù)集劃分。

4.2 含噪聲數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試本文算法在含噪聲數(shù)據(jù)集上的運(yùn)行效果，本文對(duì)含噪聲的數(shù)據(jù)集X12［19］進(jìn) 行 實(shí) 驗(yàn) ，X12是由12個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)成的二維數(shù)據(jù)集，其坐標(biāo)值如表3［19］所示。X12中有10個(gè)數(shù)據(jù)共分為兩類，另外兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)x6和x12是到兩類中心相等的噪聲點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)條件為ε＝0.000 01，最大迭代次數(shù)max＿t＝150，m ＝ 2.0，a＝1.0，b＝1.0，β＝2.0，η＝2.0，通過(guò)各算法運(yùn)行后的隸屬度值和（或）典型值如表3所示，各算法運(yùn)行后的聚類中心如表4所示。

Table 4 Cluster centers of the algorithms表4 各算法的聚類中心

從表3可知，數(shù)據(jù)點(diǎn)x6和x12在運(yùn)行FCM算法后的隸屬值均為0.5，而實(shí)際上x6的隸屬值應(yīng)該要大于x12，因?yàn)閤6更靠近類的中心，可知FCM算法對(duì)噪聲比較敏感。PCM算法運(yùn)行后的典型值分別為0.62和0.08，因?yàn)閤12比x6更加非典型，其值比x6的典型值要小，故PCM算法減少了噪聲數(shù)據(jù)的影響。PFCM算法運(yùn)行后的典型值分別為0.49和0.07，而本文算法運(yùn)行后的典型值分別為0.21和0.02，相比PCM算法，這兩種算法的典型值要小些，這就減少了噪聲的影響，相比沒(méi)有典型值的FCM算法，這兩種算法都適合處理含噪聲的數(shù)據(jù)，且本文算法更適合處理含噪聲的數(shù)據(jù)集。一般可用算法運(yùn)行后的聚類中心與真實(shí)聚類中心之間的歐氏距離來(lái)衡量算法所得聚類中心的偏差。對(duì)于PFCM算法和本文算法，可以不斷調(diào)整a、b的值來(lái)計(jì)算類中心，選擇合適的a、b值可得到最佳的聚類中心。從表4可知，本文算法所得聚類中心離真實(shí)類中心最近，其次是PFCM算法，最后是PCM算法，這就說(shuō)明對(duì)含有噪聲的數(shù)據(jù)，本文算法所得的聚類中心比上述算法更接近真實(shí)類中心。

Table 3 Coordinate values of data set X12，memberships and typical values of the algorithms表3 X12數(shù)據(jù)集的坐標(biāo)值及各算法運(yùn)行后的隸屬值和（或）典型值

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)經(jīng)典FCM算法的缺陷，本文提出了基于樣本－特征加權(quán)的可能性模糊核聚類算法，將可能性聚類應(yīng)用到模糊聚類中并與FCM算法相結(jié)合，在聚類過(guò)程中，動(dòng)態(tài)計(jì)算各屬性特征對(duì)聚類類別的權(quán)重系數(shù)及樣本對(duì)聚類的重要性權(quán)值，并優(yōu)化選取核參數(shù)，不斷修正核函數(shù)，把原始空間中非線性可分的數(shù)據(jù)集轉(zhuǎn)化為高維空間中的可分?jǐn)?shù)據(jù)集。通過(guò)實(shí)驗(yàn)將該算法與FCM算法、PCM算法、PFCM算法的聚類性能進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，基于樣本－特征加權(quán)的可能性模糊核聚類算法能有效反映屬性間的不平衡性，減少噪聲數(shù)據(jù)和例外點(diǎn)的影響，具有更高的聚類精度，比傳統(tǒng)的聚類算法具有更好的聚類性能。同時(shí)，在聚類算法中如何選取合適的參數(shù)值，這需要不斷通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。在本文中是將算法運(yùn)行多次并取不同的參數(shù)值，將具有最優(yōu)聚類效果的參數(shù)作為最終的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，因此算法中實(shí)驗(yàn)參數(shù)的選取、修正核函數(shù)的選擇以及核參數(shù)的優(yōu)化等，都是本文算法有待繼續(xù)研究的地方。

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