廣義積分型Cauchy中值定理及其逆定理

劉麗娜

(徐州經貿高等職業(yè)學校 公共基礎部,江蘇 徐州 221004)

0 引言

積分中值定理在微積分理論中占有極其重要的地位,有著十分廣泛的應用,而Cauchy中值定理,特別是Lagrange中值定理,長期以來一直是人們研究的主要內容。文獻[2、4]給出了 廣義Cauchy中值定理及其在凸函數(shù)條件下的逆定理，文獻[1]討論了定積分中值定理的推廣,分別給出了廣義Lagrange中值定理及其逆定理,討論了凸函數(shù)的微分中值定理的反問題,給出了積分型Cauchy中值定理的推廣形式，本文對積分型Cauchy中值定理進行了進一步的研究，給出了廣義積分型Cauchy中值定理及其逆定理的相關結論。

定理1 (積分型Cauchy中值定理)若

(i)f(x),g(x)在[a,b]內連續(xù);

定理2 (廣義Cauchy中值定理)設

(i)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f'+(x),f'-(x)存在；

定理3 (廣義Cauchy中值定理逆定理)設

(i)f(x)為[a,b]上單調遞增凸函數(shù);

(ii)g(x)為凹函數(shù);

(iii)g(x)在(a,b)內可導,且g'(x)≠0;

則對于?ξ∈(a,b)及非負數(shù)p、q且p+q=1，一定存在α、β∈(a,b),使得

定義1 設f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對I上任意兩點x1、x2和實數(shù)ξ∈(0,1),總有f(ξx1+(1-ξ)x2)≤ξf(x1)+(1+ξ)f(x2)，則f(x)稱為區(qū)間I上的凸函數(shù)。若式中不等號反向,則稱f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù)[3]。

1 引理

引理1 設f(x)在[a,b]上連續(xù),f'+(x),f'-(x)存在,且f(a)=f(b)，則在(a,b)內至少存在一點ξ及非負數(shù)p、q且p+q=1,使得pf'+(ξ)+qf'-(ξ)=0[4]。

引理2 設f(x)為[a,b]上單調遞增的凸函數(shù),g(x)為[a,b]上的嚴格單調遞增的凹函數(shù),則對于[a,b]上的任意三點a≤x1≤x2≤x3≤b，下式成立：

引理3 設①f(x)為[a,b]上的單調遞增凸函數(shù);②g(x)為[a,b]上嚴格單調遞增的凹函數(shù); ③g'(x)>0,x∈(a,b),則?x0∈(a,b) 有

2 主要結論與證明

定理4 (廣義積分型Cauchy中值定理) 設

(i)f(x)在[a,b]上可積，且f+(x),f-(x)存在；

(ii)g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)≠0；

由于f+(x)、f-(x)存在,且g(x)在[a,b]上連續(xù),由引理4可知

(3)

(4)

又易驗證φ(a)=φ(b)。根據引理1,至少存在一點ξ∈(a,b)及非負數(shù)p、q,且p+q=1,使得pφ'+(ξ)+qφ'-(ξ)=0。注意到g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)≠0,從而有

(5)

定理5 (廣義積分Cauchy中值定理的逆定理)

(iii)g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)>0。

則對于?ξ∈(a,b)及非負數(shù)p、q,且p+q=1,一定存在α、β∈(a,b),使得

由引理3知：

于是對于非負數(shù)p、q且p+q=1,有

令α=x1，β=x0,故定理成立。

參考文獻:

[1] 嚴振詳.定積分中值定理的推廣[J].上海海運學院學報,1995,16(1):29-33.

[2] 劉孝書,郭致林.廣義Cauchy中值定理及其逆定理[J].數(shù)學的實踐與認識,2006,36(6):337-340.

[3] 陳傳璋.數(shù)學分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,1983.

[4] 劉昌茂.廣義Cauchy中值定理[J].吉首大學學報,1998,19(4):72-74.