賈 昱，程敏熙，安 盟，王經(jīng)淘，李榮妹

(華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006)

1 引 言

剛體轉(zhuǎn)動慣量是非常重要的物理量，轉(zhuǎn)動慣量的測量是大學物理實驗中的基本實驗，傳統(tǒng)的方法是用落體法進行測量，但隨著教學的進步和實驗手段的不斷更新，如何在原有儀器的條件基礎上，增加新的內(nèi)容和手段，使原實驗更具有開放性和創(chuàng)新性，提高實驗測量的精確度，是需要思考的問題[1].

Tracker視頻分析軟件是由美國卡布里洛大學(Cabrillo College)的道格拉開斯·布朗 (Douglas Brown)教授開發(fā)的開源軟件[2]. 它的特點是能夠捕獲視頻中的位移時間數(shù)據(jù)并進行分析. Tracker已有相應的中文版提供免費下載使用[2]，最新的版本是4.8，網(wǎng)址是：http://www.cabrillo.edu/～dbrown/tracker/. 在物理實驗教學中，運用視頻分析，可以呈現(xiàn)實驗現(xiàn)象，獲取實驗數(shù)據(jù)，展現(xiàn)運動學規(guī)律.

本文應用Tracker等技術手段，對測量轉(zhuǎn)動慣量的方法進行了改進：用彈簧代替落體法中下落的砝碼，用數(shù)碼相機(或手機)等數(shù)碼拍攝裝置代替秒表拍攝視頻，用Tracker視頻分析軟件捕獲視頻文件中的數(shù)據(jù)，最后用Origin軟件進行精確的曲線擬合，從而求出轉(zhuǎn)動慣量. 本文的測量方法在原有的剛體轉(zhuǎn)動慣量測量實驗的基礎上進行，提高了測量的精度.

2 實驗設計原理和方法

在傳統(tǒng)的落體法中[3]，塔輪受到細繩的拉力和轉(zhuǎn)軸摩擦力的力矩作用，砝碼m以加速度a下落，砝碼m由靜止開始下落高度h所用的時間為t，得到：

(1)

式中，g為當?shù)刂亓铀俣?，r為塔輪的半徑和轉(zhuǎn)動角加速度，I為轉(zhuǎn)動系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量，Mμ為軸承的摩擦力矩，這里視為恒量.

實驗過程g?a中，則又有

(2)

由式(1)和式(2)可知，傳統(tǒng)方法忽略了砝碼下落的加速度，但這樣會導致較明顯的誤差[4]；在塔輪轉(zhuǎn)動過程中，摩擦力矩也會隨塔輪速度增大而增大[5]；下落砝碼的質(zhì)量不同，摩擦力矩也會不同[6]，所以測量時把摩擦力矩看成恒定量是不準確的；測量時用秒表計，存在較大人為誤差[5].

本文的設計如圖1所示，用彈簧代替下落的砝碼，在不遠處放置手機等視頻拍攝裝置. 彈簧一端固定在地面上，一端與細繩連接. 彈簧上附一標記物，顏色與背景有較大的反差，這樣便于之后用Tracker軟件捕獲數(shù)據(jù). 把繩子纏繞在塔輪上，拉緊彈簧，使標記物與突出物平齊， 這樣標記物到地面的距離與突出物到地面的距離相等. 準備就緒后，釋放塔輪，塔輪在彈簧的拉力下開始轉(zhuǎn)動，拍攝彈簧上標記物隨彈簧從伸長到恢復原長的下落過程.

圖1 新轉(zhuǎn)動慣量實驗原理圖

剛體受到拉力和摩擦力的力矩作用，有

M=Iβ=F拉r+Mμ，

(3)

其中I為剛體轉(zhuǎn)動慣量，β為剛體旋轉(zhuǎn)的角速度. 拉力為

F拉=-Kx.

(4)

文獻[4]中通過實驗的方法得出結論：摩擦力矩與角速度在加速度變化不大的情況下，成線性關系，所以有

Mμ=-μω,

(5)

又

(6)

聯(lián)立上述等式，方程化為[7]

(7)

(8)

可以看出方程(8)是一阻尼振動方程，在實驗過程中，彈簧并沒有做往復運動，只是向下收縮直到停止，整個過程只有1/4周期. 在本實驗中，摩擦阻尼系數(shù)較小，所以方程的解為[8]

x=Ae-ntsin (ωt+φ) ,

(9)

3 實驗數(shù)據(jù)處理及結果分析

實驗使用普通的手機，型號為：摩托羅拉mb502，帶有拍攝視頻功能，拍攝像素為352×280，幀率為30幀. 拍攝彈簧上標記物隨彈簧從伸長到恢復原長的下落過程(約4～6 s)后，將拍攝裝置用數(shù)據(jù)線連接電腦，接著按照下列步驟進行數(shù)據(jù)處理.

3.1 用Tracker軟件捕x-t獲數(shù)據(jù)

將拍攝裝置中的視頻文件拖入Tracker界面導入數(shù)據(jù)，然后建立坐標系，使坐標的x方向指向標記物下落的相反方向，并建立標尺，輸入標記物到地面的距離0.75,表示這個距離是0.75 m(這樣做的目的是為了給位移x賦予具體的值，在接下來的Origin軟件中更方便地進行曲線擬合，因為曲線擬合需要先輸入各參量的大致范圍，這樣才能更快更準確地擬合. 經(jīng)過曲線擬合就可以得到摩擦阻尼系數(shù)和角速度這2個參量的擬合值，從式(9)的結果可以看出，摩擦阻尼系數(shù)和角速度這2個參量與高度無關，所以在實驗過程中標記物高度的測量不會影響實驗結果的準確性). 接著選擇標記物下落開始時為起始幀，標記物停止下落為結束幀，進行數(shù)據(jù)捕獲. 最后，打開Tracker的數(shù)據(jù)工具界面，看到放大的圖表和數(shù)據(jù)表格，如圖2所示[9].

圖2 Tracker的數(shù)據(jù)工具界面

3.2 用Origin擬合曲線

把Tracker軟件中數(shù)據(jù)工具中表格的數(shù)據(jù)復制到Origin中. 利用Origin的高級擬合工具[10]進行非線性擬合，在公式欄輸入A*exp (B*t)*sin (C*t+D),A，B，C，D分別代表振幅、摩擦阻尼系數(shù)、角速度和相位差. 經(jīng)過數(shù)秒，就得到準確的擬合數(shù)值，如表1所示.

表1 Origin轉(zhuǎn)件的擬合結果

把擬合結果得到的B，C值，代入原結果，

(10)

得剛體轉(zhuǎn)動慣量為

摩擦阻力系數(shù)為

μ=2nI=1.69×10-4kg·m2/s.

又根據(jù)誤差傳遞公式，轉(zhuǎn)動慣量的誤差為

2.23×10-5kg·m2.

最后結果表示為：I=(1.36±0.02)×10-3kg·m2,而用傳統(tǒng)方法測得的轉(zhuǎn)動慣量為I=(1.59±0.04)×10-3kg·m2.

傳統(tǒng)方法的誤差來源是：a.系統(tǒng)誤差，忽略加速度a帶來的誤差，將摩擦力矩視為恒定帶來的誤差;b.隨機誤差，砝碼的質(zhì)量測量誤差，秒表人工計時的誤差，砝碼下落高度測量誤差，塔輪直徑測量的誤差.

實驗誤差來源是：彈簧勁度系數(shù)的誤差，塔輪直徑測量誤差，擬合曲線誤差(根據(jù)最小二乘法等算法得到結果的誤差).

從結果來看，本方法的測量值比傳統(tǒng)測量值略小，減少了一定的系統(tǒng)誤差，即傳統(tǒng)方法忽略了砝碼下落的加速度a，會導致轉(zhuǎn)動慣量偏大[4]，與文獻中的描述一致，同樣下落砝碼質(zhì)量越大，摩擦力矩越大，傳統(tǒng)方法把不同砝碼下落的摩擦力矩視為恒定，導致了計算結果中摩擦力矩偏小，轉(zhuǎn)動慣量偏大[11].

相對誤差較傳統(tǒng)的測量方法的誤差也有減小，原因在于新的實驗方法沒有秒表計時的人為誤差，而是通過軟件捕獲數(shù)據(jù)，較為精確；不必精確測量下落高度h的值，因為角速度是通過擬合的方式得到的，與高度h無關，所以也避免了一定的誤差[12]；把摩擦力矩近似為變量，而不是恒定值，也提高了一定的精確度.

4 結 論

本文采用了拍攝視頻的方法，減少了實驗的系統(tǒng)誤差，對摩擦力矩與角速度的關系的描述更加科學準確. 使用有拍攝視頻功能的普通手機即可進行實驗，并降低了實驗的人為因素的影響，可重復性強. 實驗過程時間較短，操作容易掌握，在原有儀器上進行，拓展了原實驗的內(nèi)容.

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