李曉青, 趙亞衛(wèi), 李新波, 單澤彪, 楊志剛, 石要武(吉林大學(xué) . 通信工程學(xué)院; . 機(jī)械工程與科學(xué)學(xué)院, 長春 130022)

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均勻圓型聲矢量陣的四元數(shù)二維波達(dá)方向估計(jì)

李曉青a, 趙亞衛(wèi)b, 李新波a, 單澤彪a, 楊志剛b, 石要武a
(吉林大學(xué) a. 通信工程學(xué)院; b. 機(jī)械工程與科學(xué)學(xué)院, 長春 130022)

為提高聲場空域中目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的精度, 將四元數(shù)理論應(yīng)用于均勻圓型聲矢量陣列的二維空間角度估計(jì)中, 建立了基于四元數(shù)模型的信號接收模型, 推導(dǎo)了圓型聲矢量陣的四元數(shù)導(dǎo)向矢量, 給出了二維波達(dá)角估計(jì)的四元數(shù)域空間譜算法?？紤]算法的軟硬件可實(shí)現(xiàn)性, 理論分析了算法的內(nèi)存占用空間和計(jì)算量。此外, 分析了圓陣半徑對側(cè)向性能的影響, 為實(shí)際工作中圓陣的半徑選取提供了一定的依據(jù)。仿真結(jié)果表明, 基于四元數(shù)模型的MUSIC(Multiple Signal Classification)算法的分辨力較高, 抗干擾能力較強(qiáng), 提高了信號參數(shù)估計(jì)的精度。

波達(dá)估計(jì); MUSIC算法; 四元數(shù); 均勻圓陣; 聲矢量傳感器

0 引 言

聲矢量傳感器作為一種新型的水聲測量設(shè)備, 其應(yīng)用領(lǐng)域廣泛, 加之其所特有的輸出特性, 使聲矢量傳感器信號處理技術(shù)成為水聲界備受關(guān)注的研究之一[1]。聲矢量傳感器的很多優(yōu)點(diǎn)不僅在于它的多維輸出特性, 還在于其輸出分量之間的內(nèi)在關(guān)系。已有的聲矢量傳感器陣列信號處理方法都是基于長矢量模型, 沒有考慮矢量傳感器內(nèi)部各個(gè)天線分量的垂直關(guān)系, 而是簡單地將所有分量的輸出數(shù)據(jù)排成一個(gè)列向量, 以矩陣的形式對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。因此, 破壞了各分量輸出數(shù)據(jù)所具有的矢量垂直關(guān)系, 沒有利用各輸出分量之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性, 有一定的局限性[2]?？梢? 有效利用傳感器各分量間的關(guān)聯(lián)性仍是個(gè)有待深入研究的問題。

長矢量模型沒有考慮傳感器輸出分量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系, 而四元數(shù)模型能很好地體現(xiàn)這一點(diǎn)。四元數(shù)所特有的四維超復(fù)數(shù)正交結(jié)構(gòu)能保證矢量傳感器輸出分量間的正交關(guān)系, 為矢量傳感器信號處理提供了一種新思路。隨著四元數(shù)理論的發(fā)展, 四元數(shù)理論在陣列信號處理[3-8]、 圖像處理[9,10]等方面有了很大發(fā)展。研究表明, 四元數(shù)具有較強(qiáng)的正交性約束能力, 用四元數(shù)描述聲矢量傳感器輸出的各個(gè)分量, 其抗干擾能力較強(qiáng), 空間分辨力也更高。

在波達(dá)方向估計(jì)問題中, 均勻圓形陣列是一種中心對稱陣列, 與其他平面陣相比, 圓陣有很多優(yōu)點(diǎn), 如分辨率與方向無關(guān), 方向圖在陣列平面旋轉(zhuǎn)時(shí), 波束的形狀不會有明顯的改變, 可同時(shí)估計(jì)方位角與俯仰角等[11,12]。由于圓陣的特性, 使基于圓陣的陣列研究成為研究者關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn)。

針對以上問題, 筆者研究了基于均勻圓陣型的聲矢量傳感器二維DOA(Direction of Arrival)估計(jì)問題, 提出的四元數(shù)MUSIC方法利用輸出分量間的正交關(guān)系, 有效實(shí)現(xiàn)了陣列接收信號的波達(dá)參數(shù)估計(jì)。此外, 四元數(shù)模型還能有效地降低計(jì)算量與存儲空間。

1 四元數(shù)

Hamilton于1843年提出了四元數(shù)的概念[13], 它由1個(gè)實(shí)部和3個(gè)虛部構(gòu)成, 并且3個(gè)虛部間滿足一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。四元數(shù)的表示形式如下

虛部間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

四元數(shù)的全體稱為四元數(shù)集, 記為H。四元數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)與復(fù)數(shù)類似, 但四元數(shù)的乘法不滿足交換律。由式(1)可看出, 四元數(shù)的數(shù)據(jù)表達(dá)形式更“緊湊”, 一個(gè)四元數(shù)包含4個(gè)分量, 使其能在一個(gè)運(yùn)算中包含更多信息。

2 均勻圓陣四元數(shù)模型

圖1 圓陣型聲矢量傳感器陣列分布Fig.1 Distribution of circular acoustic vector sensor array

均勻圓陣采用中心原點(diǎn)處存在陣元的形式,如圖1所示。其中一個(gè)陣元位于圓陣的圓心(坐標(biāo)原點(diǎn))處, 其余的M個(gè)陣元均勻地分布于一個(gè)半徑為R的圓周上, 從X正半軸的陣元開始沿逆時(shí)針方向依次標(biāo)記為陣元1,…,M, 則坐標(biāo)表示為{Rcos(mφ),Rsin(mφ),0}, 其中m=1,…,M,φ=2π/M為圓周上相鄰兩個(gè)陣元的間隔角。

忽略噪聲影響, 在t時(shí)刻, 第n個(gè)聲源在第m個(gè)陣元上產(chǎn)生的輸出用四元數(shù)表示為

式(4)與文獻(xiàn)[3,4,5,14]等描述的陣列輸出四元數(shù)模型是一致的, 但已有的四元數(shù)模型沒有考慮陣列導(dǎo)向矢量的四元數(shù)特性, 故筆者重點(diǎn)分析了圓陣陣元相位差及導(dǎo)向矢量的四元數(shù)形式。設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的陣元為參考陣元, 記為第0個(gè)陣元, 第m個(gè)陣元在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為{Rcos(mφ),Rsin(mφ),0}, 第n個(gè)聲源作用在第m個(gè)陣元相對于參考陣元的波程差表示為四元數(shù)形式為

則

按照歐拉公式展開, 可得

則第n個(gè)聲源的圓陣導(dǎo)向矢量可表示為四元數(shù)形式

聲矢量傳感器陣列的四元數(shù)導(dǎo)向矢量矩陣為

陣列的四元數(shù)輸出為

3 Q-MUSIC方位譜估計(jì)

將式(3)代入式(4), 有

其中

定義一種新的導(dǎo)向矢量

可見,b(Θn)為四元數(shù)矢量。式(9)可表示為

接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

對式(14)中的R進(jìn)行四元數(shù)奇異值分解, 可得

其中四元數(shù)矩陣U1∈Q(M+1)×N,G=Q(M+1)(M+1-N), 分別為由N個(gè)大特征值對應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的信號子空間和由剩余的M+1-N個(gè)特征值對應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的噪聲子空間。

定義噪聲投影矩陣ΠN=GGH∈QM×M, 則四元數(shù)MUSIC算法的譜估計(jì)公式為[7]

4 性能分析

參數(shù)估計(jì)算法實(shí)際的計(jì)算量和存儲量受到具體的軟硬件、 實(shí)現(xiàn)方法和陣列模型等條件的綜合限制, 因此, 筆者著重分析了所提算法應(yīng)用在均勻圓陣的存儲空間和計(jì)算量問題[14,15]。

4.1 存儲分析

設(shè)一個(gè)聲源入射到由M個(gè)聲矢量傳感器組成的均勻圓型陣列上, 入射信號參數(shù)包括俯仰角和方位角, 陣列的導(dǎo)向矢量為四元數(shù)模型, 不考慮噪聲對計(jì)算量的影響, 則在采樣時(shí)刻t, 陣列輸出信號的四元數(shù)表達(dá)式和對應(yīng)的協(xié)方差矩陣分別記為Yq(t)和Rq, 接收信號的長矢量表達(dá)式和方差矩陣分別記為Yl(t)和Rl。因?yàn)閅q(t)∈QM×1,Yl(t)∈C4M×1, 所以

陣列輸出具有如下表達(dá)式形式

其中Ai(Θ)為導(dǎo)向矢量矩陣的表示符號。

陣元接收數(shù)據(jù)的有限長度, 設(shè)快拍數(shù)為L, 則Rq和Rl的估計(jì)值可表示為

4.2 計(jì)算量分析

表1給出了四元數(shù)模型與長矢量模型的對比結(jié)果, 四元數(shù)模型對存儲器的操作以及計(jì)算量均比長矢量模型有減少很多, 尤其在快拍數(shù)很大時(shí), 四元數(shù)模型的這些優(yōu)點(diǎn)使聲矢量傳感器DOA估計(jì)算法的具體實(shí)施的計(jì)算量以及存儲器的操作次數(shù)明顯減少, 當(dāng)快拍數(shù)很大時(shí), 更為突出。這也體現(xiàn)了四元數(shù)表示方法更“緊湊”這一特點(diǎn)。

表1 四元數(shù)模型與長矢量模型的比較

5 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1 四元數(shù)MUSIC算法對多聲源DOA估計(jì)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中, 均勻圓陣列由9個(gè)陣元組成, 傳播介質(zhì)為水； 背景噪聲為零均值的高斯白噪聲； 快拍數(shù)為1 024。兩個(gè)待測聲源信號的入射角分別為(30°45°),(50°35°),兩個(gè)聲源的載波頻率分別為f1=200 Hz,f2=250 Hz, 聲速為c=340 m/s, 信噪比RSNR=5 dB。為了使兩相鄰陣元的間距為λ/2, 由三角形知識, 圓陣的半徑R滿足R=λ/(4sin(π/8)), 本實(shí)驗(yàn)中R≈0.65λ。

實(shí)驗(yàn)1的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示?？梢? 筆者提出的四元數(shù)MUSIC算法能成功分辨出兩個(gè)入射聲源信號的入射角度, 四元數(shù)MUSIC算法仿真圖形的峰值與分辨力都優(yōu)于傳統(tǒng)的V-MUSIC算法。

a 三維圖 b 等高線圖

a 三維圖 b 等高線圖

實(shí)驗(yàn)2 四元數(shù)MUSIC算法在不同信噪比條件下對入射聲源信號DOA估計(jì)性能實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)采用第1個(gè)聲源, 信噪比RSNR在-5～10 dB之間變化, 變化步長為1 dB, 進(jìn)行100次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。采用聯(lián)合均方根誤差作為評判準(zhǔn)則, 其中聯(lián)合均方根誤差公式如下

筆者提出的四元數(shù)MUSIC算法的估計(jì)誤差明顯小于矢量MUSIC算法的估計(jì)誤差(見圖4), 并且在信噪比較低時(shí)尤為明顯, 這說明四元數(shù)模型在低信噪比的噪聲環(huán)境中抗干擾能力更強(qiáng)。

實(shí)驗(yàn)3 均勻圓陣的四元數(shù)MUSIC算法性能與半徑變化的關(guān)系實(shí)驗(yàn)。

本實(shí)驗(yàn)中, 半徑的選擇方法如下： 當(dāng)兩相鄰陣元的間距為λ時(shí), 對應(yīng)的半徑滿足R1=λ/(2sin(π/8)) ≈1.31λ。當(dāng)兩相鄰陣元的間距為λ/2時(shí), 對應(yīng)的半徑滿足R2≈0.65λ。采用實(shí)驗(yàn)2的實(shí)驗(yàn)條件, 信噪比RSNR取0, 半徑從0.5λ～1.31λ變化, 步長為0.1, 進(jìn)行100獨(dú)立蒙特卡洛實(shí)驗(yàn), 均方根誤差仍采用式(20)進(jìn)行評判。

所得結(jié)果如圖5所示, 均勻圓陣的半徑變化對四元數(shù)MUSIC算法性能影響較大, 聯(lián)合均方根誤差隨著半徑的增大而減少, 四元數(shù)模型的均方誤差較小, 說明四元數(shù)模型具有較好的抗噪性能。在標(biāo)量陣列中, 為了保證算法的分辨性能, 往往假設(shè)陣元間距不大于處理最高頻率信號波長的二分之一。而在均勻圓矢量陣中, 相鄰兩陣元的間距并不受假設(shè)約束。半徑越大, 估計(jì)效果越好, 但綜合考慮到偽峰影響等因素, 半徑不能隨意取定。

圖4 均方根誤差實(shí)驗(yàn)Fig.4 RMSE of DOA versus SNR

圖5 半徑與均方根誤差的關(guān)系(RSNR=0)Fig.5 Relationship between radius and RMSE

6 結(jié) 語

筆者研究了四元數(shù)理論在均勻圓型聲矢量陣的二維波達(dá)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用, 建立了四元數(shù)導(dǎo)向矢量模型和四元數(shù)輸出模型, 并將模型與MUSIC算法結(jié)合應(yīng)用于均勻圓陣型。分析表明, 四元數(shù)模型所需的存儲空間及運(yùn)算操作明顯減小, 并且仿真結(jié)果表明, 與傳統(tǒng)MUSIC算法相比, 筆者提出的Q-MUSIC算法其分辨力較高, 抗干擾能力較強(qiáng)； 此外, 分析了圓陣半徑對算法性能的影響, 均勻圓陣半徑的確定同均勻線陣中的原則不同, 為實(shí)際工作中圓陣的半徑選取提供了一定的依據(jù)。

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(責(zé)任編輯： 張潔)

Two-Dimensional DOA Estimation Using Quaternion Based on UCA of Acoustic Vector Sensor

LI Xiaoqinga, ZHAO Yaweib, LI Xinboa, SHAN Zebiaoa, YANG Zhigangb, SHI Yaowua
(a. College of Communication Engineering; b. College of Mechanical Engineering and Science, Jilin University, Changchun 130022, China)

In order to improve the accuracy of target parameter estimation, the quaternion theory was applied to the two-dimensional DOA (Direction of Arrival) estimation of the uniform circular acoustic vector array. Receiving signal model based on the quaternion model was established, quaternion vector was deduced, and a quaternion field spatial spectrum estimation algorithm was presented. Considering software and hardware of algorithm realization, theoretical analyses show that the required storage space and computing operations of the quaternion model significantly decrease, and the simulation results show that the proposed MUSIC (Multiple Signal Classification) algorithm has higher resolution, stronger anti-jamming capability and the improved accuracy of the signal parameter estimation.

direction of arrival (DOA) estimation; multiple signal classification (MUSIC) algorithm; quaternion; uniform circular array (UCA); acoustic vector sensor

1671-5896(2014)05-0451-07

2014-03-28

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(51075175; 51375207); “863”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2011AA040406); 吉林省青年科研基金資助項(xiàng)目(20140520064JH)

李曉青(1989— ), 女, 河北邢臺人, 吉林大學(xué)碩士研究生, 主要從事陣列信號處理研究, (Tel)86-13654364163(E-mail)595270@163.com;

李新波(1980— ), 男, 吉林省吉林市人, 吉林大學(xué)講師, 主要從事陣列信號處理研究, (Tel)86-13604312160(E-mail)cinple@126.com; 石要武(1954— ), 男, 長春人, 吉林大學(xué)教授, 博士生導(dǎo)師, 主要從事信息處理與智能控制研究, (Tel)86-13620781237(E-mail)13620781237@139.com。

TN911.7

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