(中國水電顧問集團貴陽勘測設計研究院，貴陽 550081)

科學研究及工程設計

隨機邊界元法及其在水工結構可靠度分析中的應用研究

賈景偉

(中國水電顧問集團貴陽勘測設計研究院，貴陽 550081)

對于一些計算精度要求比較高、計算量比較小、結構比較復雜的施工結構，通常會使用邊界元法進行計算，基于此，本文對隨機邊界元法及其在水工結構可靠度的分析運用進行了研究。

水工結構；隨機邊界元法；可靠度分析

材料加工時，在各種因素的影響下，工程結構的幾何參數(shù)和空間位置會有一定的隨機性，而且，外界條件和結構荷載也會隨著時間和空間的變化出現(xiàn)變化。在電腦信息技術條件下，有效解決了工程施工中的荷載問題，而且在進行數(shù)學模型建模過程中，考慮了客觀事物的隨機性，更加重視問題性質，符合實際情況；在結構設計時，使用結構可靠度比較高的設計方法，解決了傳統(tǒng)安全系數(shù)設計過程中存在的問題。

1 計算結構的可靠度

結構的功能函數(shù)主要是對結構的狀態(tài)進行描述，可以使X=(X1，X2…,Xn)T這一隨機變量表示為g(X)=g(X1，X2，…,Xn)，得出極限狀態(tài)下的方程式g(X)=0，一般情況下，在功能函數(shù)中會包含一個用來對結構抗力和結構強度進行標示的隨機變量R=R(X)=(R1，R2，…,RK)T,比如材料的斷裂韌度、屈服極限、摩擦系數(shù)、疲勞強度、允許位移、黏聚力等，R作為X的顯函數(shù)，以及一個用來對荷載效應進行標示的隨機變量S=S(X)=(S1,S2,…SL)T,比如應力強度因子、應力、裂縫寬度、位移等，X的顯函數(shù)為R,但是X的顯式不能為S,這主要是因為荷載效應和荷載之間存在相互轉換的關系，因此，可以使用如下功能函數(shù)進行表示：

Z=g(X)=g(R，S)

本文對結構的可靠性指標進行計算時，使用一次二階矩法進行計算，計算時要對功能函數(shù)g在設計驗算點x=(x1,x2,…,xn)T處X的偏導數(shù)進行考慮，通常沒有辦法得到g(X)的解析式，也就沒有辦法得到X偏導數(shù)的表達公式，根據(jù)復合函數(shù)的求導法則和公式可以得出如下矩陣形式：

在公式中Jacobi矩陣為

在計算結構可靠度時，由于結構功能函數(shù)一般只能使用荷載效應S顯式和強度R進行標示，在實際工程應用中，利用數(shù)理統(tǒng)計只可以得到一個基本的隨機變量的隨機信息，為了可以使用一次二階矩法對β進行計算，需要將設計驗算點X處S=S(X)和R=R(X)值，以及Js值和JR值，一般X處的JR值和R值都可以很容易得到，而Js值和S需要使用數(shù)值計算法進行計算，本文使用隨機邊界元法對X處的Js值和S值進行計算[1]。

2 隨機邊界元法在水工結構可靠分析中的運用

在使用隨機邊界法編制程序時，方程求解和結構邊界離散方面的處理方法和邊界元法是一致的，本文以混凝土重力壩為實際案例進行探討。

通常設計混凝土重力壩的時候，需要考慮穩(wěn)定破壞和強度破壞兩個方面，對于重力壩的可靠度主要包含了溫度可靠度和強度可靠度，本文只對重力壩滿庫運行時正常荷載下的可靠度進行考慮，根據(jù)Mohr應力圓和Mohr-Coulomb公式可以建立起極限狀態(tài)下抗剪強度和抗拉強度函數(shù)。由于壩趾附近壓應力很大，在所有荷載的組合下，重力壩可以使壩體保持平衡，多在基巖的接觸面和壩底出現(xiàn)重力壩失穩(wěn)的情況，由于該處單位面積會承受比較大的水平剪力，壩基表面的巖體為破碎巖體，無法和壩底混凝土很好接觸，混凝土在出現(xiàn)溫度收縮和凝固收縮時，會在接觸表面出現(xiàn)一些小的裂縫，在設計過程中，需要對重力壩沿壩基面的抗滑穩(wěn)定性進行校核。假設壩基面水平的情況下，按照抗剪斷公式，極限狀態(tài)下抗滑穩(wěn)定函數(shù)為

g4=f′∑w+c′A-∑P

式中，黏聚力、摩擦系數(shù)、壩基面面積分別為c′,f′和A，總滑動力為∑P，指向下游為正，總垂直力為∑w，垂直向下為正。本文通過使用子域法進行計算，將壩基面作為基巖和壩體的公共邊界，劃分單元后，可使用如下公式進行標示：

表1 統(tǒng)計后的各個隨機變量的特征值

本文將高度為110m的重力混凝土壩作為研究對象，下游壩坡度為1∶0.8，上游壩坡為垂直壩坡，只考慮壩體上游水壓荷載和壩體自身重量的作用，邊界元劃分簡圖和計算范圍如圖1所示。

圖1 邊界元劃分簡圖和計算范圍

考慮到混凝土的容重，在大壩修建前，壩基巖石容重會導致基礎出現(xiàn)變形，在計算過程中，取計算中的基巖容重為零，庫水會導致基礎出現(xiàn)位移，而且位移會隨計算過程中基礎范圍出現(xiàn)變化，根據(jù)以往計算結果，在計算過程中，把巖基影響范圍從壩踵向上游移動到1倍深水中[2]。在使用均勻彈性體對高重力壩應力進行計算時，距離上游壩踵點比較近的位置有一個拉應力區(qū)，該區(qū)域水的深度是大壩底部寬度的9%～13%，且在壩踵點的周圍應力出現(xiàn)了劇烈變化，導致抗拉可靠指標出現(xiàn)了快速變化。當前，在進行重力壩壩踵拉應力計算時，有限元方法還沒有得到公認，為了對壩踵抗拉可靠度進行說明，研究具體的變化規(guī)律，使用壩基面距離壩踵點3.50m處的拉應力。由于河道壩址位置的天然基巖是由多種因素形成的，不同因素的物理學特征差異比較大，其中巖基變形模量對壩的穩(wěn)定和應力的可靠度有比較大的影響，在假設基礎巖石和壩體混凝土都確定的情況下，使用隨機邊界元法對重力壩可靠度受基巖的變形特征的影響進行研究。壩趾處抗壓強度可靠指標和壩踵附近抗拉強度的可靠指標變化情況如圖2所示。

圖2 壩趾處抗壓強度可靠指標和壩踵附近抗拉強度的可靠指標變化

由圖2可知，在巖基彈模不斷增加的情況下，巖基會進一步增加對壩體的約束力，導致壩踵四周的應力明顯增加，主拉應力也隨之增加，這樣就會更加容易使壩踵四周出現(xiàn)受拉破壞的情況，因此，在n不斷增加的情況下βt會降低。與之對應，在巖基彈模量不斷增加的情況下，壩趾位置的主壓應力會隨著降低，壩趾處更加容易受到壓力破壞，使得βc在n不斷增加的情況下變大[3]。在彈模比n為1 的時候，βt和βc都可以達到規(guī)定的要求，因此，在選擇重力壩的壩址時，要使用和壩體混凝土比較接近的彈性模量基巖，壩基彈性模量不可以過高或過低。當基巖變形模量相同的時候，基巖的黏聚力和抗剪斷摩擦系數(shù)存在一定的差異性，在Ed、Ef不斷增加的情況下，c′和f′也會增加，在對壩體沿壩基面的抗滑穩(wěn)定性進行可靠性指標研究時，如果壩基的巖體都一致，沒有容易出現(xiàn)滑動的結構面，壩基面的c′和f′可以根據(jù)下頁表2進行取值。

表2 壩基面抗剪斷摩擦系數(shù)f ′和黏聚力c′

經過計算得出，在基巖變形模量不斷增加情況下，壩基面的抗滑穩(wěn)定性也會增加，因此，在設計重力壩時，要在保證壩踵四周抗拉強度的基礎上，選擇壩線時，除了要避開容易滑動的結構面外，還需要選擇變形模量比較大的基巖，也可以使用基礎處理措施提高f′、c′值，進而保證重力壩的可靠性和穩(wěn)定性[4]。

3 結 語

綜上所述，當前我國使用的應力計算方法和可靠度計算方法還處于發(fā)展初期，本文只是對邊界元法和一次二階矩法的應用進行了討論，雖然一次二階矩法比較實用，但是，使用這種方法會增加隨機邊界元法工作量，因此，要對一次二階矩法和隨機邊界元法的結合問題進行研究，找出與可靠度計算方法相適應的隨機數(shù)值計算方法，進而尋找出更加適合結構可靠度的應力分析法和計算法。

[1]潘軍校,周澤,陳養(yǎng)源.重力壩深層抗滑穩(wěn)定的可靠度分析[J].水力發(fā)電學報,2007(5):93-94.

[2]彭輝,劉德富,田斌.混凝土重力壩安全可靠性時變模型研究[J].水力發(fā)電,2009(8):104-105.

[3]張建濤,李俊杰,李留強.重力壩應力的臨界能量誤差限自適應有限元分析[J].中國科技論文在線,2008(7):117-118.

[4]周偉,常曉林,徐建強.基于分項系數(shù)法的重力壩深層抗滑穩(wěn)定分析[J].巖土力學,2007(2):49-50.

RandomBoundaryElementMethodandItsStudyontheAnalysisandApplicationofHydraulicStructureReliability

JIA Jing-wei

(GuiyangEngineeringInstituteofHydroChinaConsultationGroup,Guiyang550081,China)

Construction structures which have higher requirements for calculation precision, less calculation volume and more complicated structures are usually calculated with boundary element method, thus, this paper studies random boundary element method and its analysis and application on hydraulic structure reliability.

hydraulic structure; random boundary element method; reliability analysis

TV31

A

1673-8241(2014)09-0041-04