張善美，許 峰

(安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南232000)

對(duì)于L(λ)進(jìn)行變換求解

令

這里其中MD、CD和KD都為M、C、K的n×n的對(duì)角型矩陣[1]，由此可以看出A與B是2n×2n階矩陣Brierley[2]給出了A，B是同維數(shù)矩陣情況下，方程AX-XB=C解的一種顯式表達(dá).邱海明等人[3]在A，B不同維情況下，給出方程解AX-XB=C的4種顯式表達(dá)，戴華[4]求解出的積分形式，但關(guān)于這類方程的求解均比較復(fù)雜，而且一般都引入了其他參量.

本文根據(jù)齊次AX+XB=0方程解的一種構(gòu)造方法求得其非奇異解，即基于系統(tǒng)解耦前后具有相同譜信息來(lái)構(gòu)造通解的形式，從而通過(guò)參數(shù)估計(jì)的方法找到非奇異解.為求解齊次AX+XB=0方程的非奇異解問(wèn)題找到了一種簡(jiǎn)便可行的方法.

1 λs+λt≠0時(shí)Yst為零矩陣

定理1 對(duì)于任意的AX+XB=0形式的矩陣方程，可將其化為JY+YJ=0的形式，這里J為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，Y為可逆矩陣，當(dāng)λs+λt≠0且Y中的每個(gè)小塊Yi為零矩陣(J的每個(gè)若當(dāng)塊Ji，Y與J分法相同，λi為J的特征值).

證明由于X為可逆矩陣

AX+XB=0

可以寫為

X-1AX=-B

則A與-B有相同的譜信息，即特征值相同，可以通過(guò)相似變換找到相同的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

Y-1JY=-J

這里

所以

AX+XB=0可以寫成JY+YJ=0的形式.

即

有

(1)

若二階系統(tǒng)中的矩陣為n×n階，則AX+XB=0中的A與B是2n×2n階矩陣，由式(1)中分塊矩陣對(duì)應(yīng)相等有

JsYst=-YstJt

(2)

這里的λsIks+Nks為對(duì)應(yīng)特征值λs(1≤s≤p)的Ks階Jordan塊，Nks為Ks階位移冪零Jordan塊將Js=λsIks+Nks，Jt+λtIkt+Nkt代入式(2)有

(λs+λt)Yst=ystNkt-NKsYst

(3)

用(λs+λt)乘上式兩邊：

其中：λs+λt≠0.

(λs+λt)rYst=O

由于λs+λt≠0則Yst=0，即Y中所有非對(duì)角塊中元素均為0.

根據(jù)JsYst=-YstJt有

有第一列對(duì)應(yīng)等式

得a11,a21,…,as1=0如此計(jì)算后面列方程有a21,…a2s,…,as1,…,ass=0所以有Yst=0

2 λs+λt=0時(shí)Yst的形式

定理2對(duì)于JY+YJ=0的形式矩陣，這里J為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，Y為可逆矩陣，其中λsIks+Nks為對(duì)應(yīng)特征值λs(1≤s,t≤p)的Ks階Jordan塊，ks=kt時(shí)，且當(dāng)λs+λt=0時(shí)Yst為上三角矩陣.

證明當(dāng)λs+λt=0時(shí)，式(3)可變成

-YstNkt=NksYst

(4)

由于Nks為Ks階位移冪零陣，可以設(shè)，

根據(jù)式(4)可以寫成

有第一列對(duì)應(yīng)等式a21,…,as1=0如此計(jì)算后面列方程有a32,…,as2,……as,s-1=0

所以當(dāng)ks=kt時(shí)，且當(dāng)λs+λt=0時(shí)Yst為上三角矩陣.

接下來(lái)討論當(dāng)λs+λt=0且ks

對(duì)應(yīng)解得

同理當(dāng)λs+λt=0且ks>kt時(shí)，Yst的構(gòu)造

綜上所述，1)對(duì)于由二階系統(tǒng)變化的AX+XB=0先將其變?yōu)閅Y+YJ=0

2)按照J(rèn)的分法將Y分成小塊Yst，按照分法構(gòu)造Yst，若λs+λt≠0時(shí)Yst=O;

ks=kt時(shí)，且當(dāng)λs+λt=0時(shí)Yst為上三角矩陣.

ks

3)根據(jù)構(gòu)造方法，將參數(shù)賦值后找到非奇異的Y，因此，根據(jù)X=EYF-1(E,F，均為可逆矩陣)即能得到非奇異的X.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本文根據(jù)齊次AX+XB=0方程解的一種構(gòu)造方法求得其非奇異解，即基于系統(tǒng)解耦前后譜信息相同來(lái)構(gòu)造通解的形式，從而通過(guò)參數(shù)估計(jì)的方法找到非奇異解.下面給出2個(gè)例子：

數(shù)值試驗(yàn)1：

根據(jù)A和B的定義，有

根據(jù)構(gòu)造方式：

由于E跟F均為可逆矩陣，即當(dāng)a，b，c，d取任意非零數(shù)即可得到非奇異的X，根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]的構(gòu)造方法，得

B=

經(jīng)計(jì)算得，JB=F-1BF=-JA

如當(dāng)a，b，c，d分別為1，-4，7，9時(shí)，

X=EYF-1=

則

≈0

則，B=-X-1PX

數(shù)值試驗(yàn)3：

由于E跟F均為可逆矩陣，即當(dāng)a，b，f取任意非零數(shù)即可得到非奇異的X.根據(jù)文獻(xiàn)[5]的構(gòu)造方法，得

如當(dāng)a，b，c，d，f分別為1，3，4，4，-1時(shí)，有：

即B=-X-1PX

通過(guò)上面2個(gè)實(shí)例，對(duì)于齊次AX+XB=0求非奇異解問(wèn)題，可以直接構(gòu)造出解的形式，然后根據(jù)這種形式就可以找到非奇異解，相比于直接用線性方程組求解，這樣的構(gòu)造方法可以大大減少計(jì)算量，并且可以更加簡(jiǎn)便的找到非奇異解.

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于求解解耦變換的非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求奇次AX+XB=0方程的非奇異解可以有效地解決二階系統(tǒng)的解耦問(wèn)題.本文根據(jù)二階系統(tǒng)通過(guò)Lancaster結(jié)構(gòu)，即系統(tǒng)解耦前后具有相同譜信息進(jìn)行通解形式的構(gòu)造到一個(gè)非奇異解.

參考文獻(xiàn)：

[1] GARVEY S D, FRISWELL M I, PRELLS U. Co-ordinate transformations for second order systems, part I: general transformations [J]. J. Sound Vib., 2002, 258(5):885-909.

[2] BRIERLEY S D, LEE E B．Solution of the equationA(z)(Z)+ (Z)B(z)=C(z) and its application to the stability of generalized linear system [J]. Int J Control, 1994, 40(6): 1065-1075.

[3] 邱海明, 付明義. 關(guān)于方程AX+XB=C的解法[J]. 控制與決策, 1989, 4(2): 769-776.

[4] 戴 華. 矩陣論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2005.248-263.

[5] 張善美, 沈繼紅. 二階系統(tǒng)解耦中齊次Sylvester方程非奇異解求解[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2011,27(6): 849-853, 892.

[6] 張善美，沈繼紅.一類關(guān)于Sylvester方程特殊形式的解[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，29(6)：734-740.