張小紅，周勇飛

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

異構(gòu)超混沌廣義同步系統(tǒng)構(gòu)造及其電路仿真

張小紅，周勇飛

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

在三維新混沌Chen系統(tǒng)基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個四維超混沌系統(tǒng)。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理，采用自適應(yīng)控制方法，在新構(gòu)建的四維超混沌系統(tǒng)和四維超混沌Chen系統(tǒng)之間設(shè)計廣義同步控制器，對控制器中的變量參數(shù)估計值和外部參數(shù)值進行廣義同步實現(xiàn)的可行性進行討論，進而將異構(gòu)系統(tǒng)的廣義同步問題轉(zhuǎn)換為對控制器的選擇。通過對不同參數(shù)估計值的比較分析得出合適的取值，達到了良好的廣義同步效果。最后設(shè)計了一種實現(xiàn)廣義混沌同步的基本電路原理圖，數(shù)值仿真和電路實驗結(jié)果表明了該方法的有效性，以及電路的可行性和實用性。

超混沌系統(tǒng)；參數(shù)對比；廣義同步；電路仿真

1 引言

本文根據(jù)三維新混沌Chen系統(tǒng)[8]，在其基礎(chǔ)上增加參數(shù)變量構(gòu)建了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，并驗證了其超混沌特性，設(shè)計了相應(yīng)的基本電路原理圖?；贚yapunov穩(wěn)定性原理[9,10]，采用自適應(yīng)控制方法[11,12]，構(gòu)造了廣義同步控制器，通過對變量參數(shù)的取值對比討論，將新構(gòu)建系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，超混沌Chen系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，在Matlab軟件平臺上實現(xiàn)了廣義同步。最后，設(shè)計了一種實現(xiàn)異構(gòu)超混沌廣義同步電路，電路結(jié)果證實了該系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)和同步特性，也表明了其在實際應(yīng)用中的價值。

2 廣義混沌同步系統(tǒng)構(gòu)建

考慮如下兩個耦合系統(tǒng)：

(1)

(2)

在本文中考慮參數(shù)估計值對比，將系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)進行拆分改寫為如下形式：

(3)

(4)

其中f∈Rm，g∈Rn，Θ∈Rm為參數(shù)向量，Φ∈Rn為Θ的估計值，U∈Rn為廣義同步控制器，則系統(tǒng)動力學(xué)誤差為：

g(Y)+G(Y)Φ-Ψf(X)-ΨF(X)Θ+U

(5)

定理1 對于驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)，當選取廣義控制器為：

U=-g(Y)+Ψf(X)-

[G(Y)-ΨF(X)]Θ-δe

(6)

參數(shù)自適應(yīng)率為：

(7)

其中δ為外部參數(shù)且是大于零的常數(shù)，那么系統(tǒng)(3)和(4)將達到廣義同步。

□

3 超混沌系統(tǒng)的構(gòu)建及動力學(xué)分析

Chen介紹的一種新三維混沌系統(tǒng)[8]，其動力學(xué)方程為：

(8)

本文旨在式(8)的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個新的四維超混沌系統(tǒng)，考慮到新系統(tǒng)必須具備復(fù)雜非線性特性，在參數(shù)選配和變量反饋設(shè)計上進行了反復(fù)試驗，新系統(tǒng)方程如下：

(9)

其中，a=5,b=-12,c=-3.5,d=0.7,e=0.5，通過計算機數(shù)值仿真得到如圖1所示的軌跡相圖。

對于一個動力學(xué)系統(tǒng)，判斷其是否為超混沌系統(tǒng)一般可依據(jù)以下幾個條件：

(1)是否具有耗散性結(jié)構(gòu)；

(2)動力學(xué)系統(tǒng)方程模型中不穩(wěn)定維數(shù)至少為二維，且其中非線性項的個數(shù)要不少于一個；

(3)該系統(tǒng)中Lyapunov指數(shù)值有至少兩個大于零。

3.1 耗散性分析

Figure 1 Trajectory phase diagram of new construction four-demensional system圖1 新構(gòu)建四維系統(tǒng)的軌跡相圖

3.2 平衡點穩(wěn)定性分析

令方程(9)中各式為0可求得系統(tǒng)平衡點，解得系統(tǒng)唯一平衡點S0=(0,0,0,0)，然后對其線性化得到Jacobi矩陣為J：

代入S0，令det(J-λI)=0，特征方程為λ4+9.8λ3-42.85λ2+54.25λ+147=0，計算可得其特征值為λ1=λ2=λ3=1,λ4=0.96。根據(jù)Routh-hurwitz條件判定準則[13]，平衡點S0是系統(tǒng)不穩(wěn)定的鞍點，因此系統(tǒng)在鞍點處是不穩(wěn)定的。

3.3 Lyapunov指數(shù)性質(zhì)

混沌吸引子中任意相空間軌跡線之間會表現(xiàn)為一種互斥的形式，任意兩軌跡線之間的距離也會以指數(shù)速率相互分離，Lyapunov指數(shù)就是定量描述軌跡線彼此間的排斥和吸引的量，是混沌系統(tǒng)的重要特征。本文采用Jacobi方法計算系統(tǒng)(9)的Lyapunov指數(shù)值(簡記為LE)，得LE1=6.1458，LE2=3.1151，LE3=-1.5185，LE4=-5.8928。圖2為四維系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖，系統(tǒng)吸引子的分形維數(shù)(記為DL)為：

表明這個新構(gòu)建的四維系統(tǒng)LE維數(shù)是分數(shù)維。綜上分析，該新構(gòu)建四維系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。

Figure 2 Lyapunov index phase diagram of four-demensional system圖2 四維系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)相圖

從上述對新構(gòu)建的超混沌系統(tǒng)動力學(xué)分析可知，新系統(tǒng)具有超混沌的所有特性(兩個大于0的Lyapunov指數(shù))，代表動力系統(tǒng)軌道在相空間中分離特性的Lyapunov指數(shù)的快速分離。即使這樣簡潔的四維系統(tǒng)也能產(chǎn)生豐富的吸引子運動軌跡，實際上這也為今后從硬件方面實現(xiàn)提供了便捷的條件，彰顯了其復(fù)雜非線性動力學(xué)優(yōu)勢。

4 異構(gòu)超混沌系統(tǒng)同步仿真

超混沌Chen系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特征，其數(shù)學(xué)模型可表示為：

(10)

驅(qū)動系統(tǒng)方程：

響應(yīng)系統(tǒng)方程：

根據(jù)定理1，令廣義控制器U=(U1,U2,U3,U4)T，則可表示為：

相應(yīng)的參數(shù)自適應(yīng)率為：

系統(tǒng)仿真中采用步長h=0.0001的四階-龍格庫塔方法，取矩陣Ψ為單位矩陣。本文中廣義同步控制器是采用自適應(yīng)控制方法進行設(shè)計構(gòu)造，參數(shù)估計值Φ和外部參數(shù)δ的取值將決定廣義同步控制器的選擇，從而影響系統(tǒng)是否能夠?qū)崿F(xiàn)廣義同步。通過計算機數(shù)值仿真分別取數(shù)估計值Φ為(5,-10,-3,0.4)、(5,-12,-3.5,0.7)，外部參數(shù)δ為30、50，得到如圖3所示的仿真效果圖。

Figure 3 System synchronous simulation results圖3 系統(tǒng)同步仿真效果圖

圖3a和圖3b為δ=50，Φ分別為(5,-10,-3,0.4)、(5,-12,-3.5,0.7)時的同步軌跡圖，圖3c和圖3d為Φ取(5,-12,-3.5,0.7)，δ分別為30、50時的同步軌跡圖。實驗結(jié)果表明，取合適的參數(shù)估計值Φ和外部參數(shù)δ，系統(tǒng)達到同步的效果很明顯，且δ的取值對同步效果影響更大。

5 超混沌系統(tǒng)廣義同步電路實現(xiàn)

根據(jù)系統(tǒng)方程，設(shè)計包含實現(xiàn)驅(qū)動電路、響應(yīng)電路和廣義同步電路三部分組成的電路模塊，如圖4～圖8所示。其中運算放大器為LM347，模擬乘法器為AD633，各電路元件的取值由系統(tǒng)方程參數(shù)決定。模擬乘法器實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項，運算放大器實現(xiàn)電路中的加減。

為了取值方便，設(shè)τ=t/(10RC)，因此可以得到如下無量綱標準化方程，驅(qū)動系統(tǒng)電路表示為：

(11)

響應(yīng)系統(tǒng)電路表示為：

Figure 4 Schematic diagram of generalized chaos synchronization circuit圖4 廣義混沌同步電路總圖

Figure 5 Schematic diagram of drive system圖5 驅(qū)動系統(tǒng)電路原理圖

Figure 6 Schematic diagram of response system圖6 響應(yīng)系統(tǒng)電路原理圖

Figure 7 Circuit subgraph of generalized synchronized controller圖7 廣義同步控制器子圖

Figure 8 Circuit subgraph of system error圖8 系統(tǒng)誤差電路子圖

(12)

在電路圖中令Rx,Ry,Rz,Rw,Rx′,Ry′,Rz′,Rw′=10 kΩ，C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8=10 nf。將式(11)、式(12)分別和式(9)、式(10)對比可得：Rx1=20 kΩ，Rx2=100 kΩ，Ry1=8.33 kΩ，Ry2=100 kΩ，Ry3=100 kΩ，Rz1=28.57 kΩ，Rz2=100 kΩ，Rw1=142.86 kΩ，Rw2=100 kΩ，Rx′1=2.86 kΩ，Rx′2=2.86 kΩ，Rx′3=100 kΩ，Ry′1=14.29 kΩ，Ry′2=100 kΩ，Ry′3=8.33 kΩ，Rz′1=100 kΩ，Rz′2=33.33 kΩ，Rw′1=100 kΩ，Rw′2=200 kΩ。取參數(shù)估計值為(5,-12,-3.5,0.7)，δ=50時，對應(yīng)于廣義控制器中電阻的取值如下：R13=10 MΩ，R14=2 MΩ，R15=1 MΩ，R16=200 kΩ，R17=2 MΩ，R18=10 MΩ，R19=70 MΩ，R20=70 MΩ，R27=10 MΩ，R28=10 MΩ，R29=10 MΩ，R30=833.3 kΩ，R31=10 MΩ，R32=200 kΩ，R130=1.16 MΩ，R39=10 MΩ，R40=10 MΩ，R41=10 MΩ，R42=22.8 MΩ，R43=200 kΩ，R50=10 MΩ，R51=20 MΩ，R52=10 MΩ，R53=200 kΩ，R122=17 MΩ。為了方便，其他電阻取值統(tǒng)一為100 kΩ，實驗結(jié)果如圖9和圖10所示。

Figure 9 Trajectory diagram of drive system’s circuit圖9 驅(qū)動系統(tǒng)電路軌跡圖

Figure 10 Trajectory diagram of generalized choas synchronization circuit圖10 廣義混沌同步電路軌跡圖

6 結(jié)束語

本文構(gòu)造出一個新的四維超混沌系統(tǒng)，并對其超混沌特性進行了理論和電路仿真分析。對于同步分析，關(guān)鍵一點在于控制器中外部參數(shù)δ的取值，通過取不同值對比討論，得到了一個合適的控制器，從而使驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達到同步。最后，在Multisim電路仿真軟件上設(shè)計了一種實現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌廣義同步電路，對于各部分電路模塊將其各自封裝為一個子電路，使得電路模塊結(jié)構(gòu)清晰，實驗結(jié)果驗證了其有效性和實用性。新構(gòu)建的超混沌系統(tǒng)在保密通信、智能優(yōu)化、圖像辨識、模糊控制等方面具有潛在的應(yīng)用價值，也為今后硬件集成實現(xiàn)提供一定可借鑒的參考價值。

[1] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Physics Review Letters, 1990, 64(6):821-824.

[2] Wang Guang-yi, Zheng Yan, Liu Jing-biao. A hyperchaotic Lorenz attractor and its circuit implementation[J]. Acta Physica Sinica, 2007, 56(6):3308-3313.(in Chinese)

[3] Bowong S, Moukam Kakmeni F M. Synchronization of uncertain chaotic systems via back stepping approach[J].Chaos, Solitions and Frantals,2004,21:999-1011.

[4] Zhu Z W, Leung H. Adaptive identification of nonlinear systems with application to chaotic communications[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I, 2000, 47(7):1072-1080.

[5] Lu Chi-mei. A 4-D four-wing chaotic system and its circuit implementation[J]. Information and Electronic Engineering, 2011, 9(2):229-234.(in Chinese)

[6] Tang Liang-rui, Li Jing, Fan Bing. A new four-dimensional hyperchaotic system and its circuit simulation[J]. Acta Physica Sinica, 2009, 58(3):1446-1455.(in Chinese)

[7] Long Yan, Chen Di-yi, Yang Fu-zeng. New hyper-chaos and its adaptive synchronization control [J]. Electronic Design Engineering, 2010, 18(7):63-67.(in Chinese)

[8] Liu Wen-bo, Chen Guan-rong. A new chaotic system and its generation[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2003, 13(1):261-267.

[9] Li Chun-biao, Hu Wen. Synchronization methods and properties of the improved chaotic system with constant Lyapunov exponent spectrum[J]. Acta Physica Sinica, 2010, 59(2):801-815.(in Chinese)

[10] Liu Yan, Lv Ling. Synchronization of N different coupled chaotic systems with ring and chain connections[J]. Applied Mathematics and Mechanics (English Edition), 2008, 29(10):1299-1308.

[11] Zhang Ruo-xun, Yang Shi-ping. Modified adaptive controller for synchronization of incommensurate fractional-order chaotic systems[J]. Chinese Physics B, 2012, 21(3):030505.

[12] Aghababa M P. Design of an adaptive finite-time controller for synchronization of two identical/different non-autonomous chaotic flywheel governor systems[J]. Chinese Physics B, 2012, 21(3):030502.

[13] Chen Yong, Yan Zhen-ya. Chaos control in a new three-dimensional chaotic T system[J]. Communications in Theoretical Physics, 2008, 49(4):951-954.

附中文參考文獻：

[2] 王光義, 鄭艷, 劉敬彪. 一個超混沌Lorenz吸引子及其電路實現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報, 2007, 56(6):3308-3313.

[5] 魯池梅. 一個四維四翼混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J]. 信息與信息工程, 2011, 9(2):229-234.

[6] 唐良瑞, 李靜, 樊冰. 一個新四維自治超混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報, 2009, 58(3):1446-1455.

[7] 龍燕, 陳帝伊, 楊福增. 超混沌系統(tǒng)的電路仿真及其自適應(yīng)同步[J]. 電子設(shè)計工程, 2010, 18(7):63-67.

[9] 李春彪, 胡文. 改進恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步方法與特性研究[J]. 物理學(xué)報, 2010, 59(2):801-815.

ZHANG Xiao-hong,born in 1966,PhD,professor,her research interests include secure communication, and chaos synchronization.

周勇飛(1988-),男,江西臨川人，碩士生，研究方向為混沌同步電路和非線性動力學(xué)。E-mail:yongfeitop@126.com

ZHOU Yong-fei,born in 1988,MS candidate,his research interests include chaos synchronization circuit, and nonlinear dynamics.

Generalized synchronization system construction of heterogeneous hyperchaotic and its circuit simulation

ZHANG Xiao-hong,ZHOU Yong-fei
(School of Information Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000,China)

A four-dimensional hyperchaotic system is built based on the three dimensional chaotic Chen system. According to the Lyapunov stability theory, using the adaptive control method, a generalized synchronization controller is designed between the newly constructed four-dimensional hyperchaotic system and the four-dimensional hyperchaotic Chen system. The feasibility of generalized synchronization for the variable parameters estimates and the external parameter values in the controller is discussed, and then the generalized synchronization of heterogeneous systems is converted to the choice of controller. Through comparative analysis of different parameter estimates, appropriate values in the controller can be obtained to achieve the generalized synchronization. Finally, a generalized synchronization circuit is designed. The results of numerical simulation and circuit experiment demonstrate the validity of the method as well as the effectiveness and usefulness of the circuit.

hyperchaos system;parameters comparison;generalized synchronization;circuit simulation

2012-09-20;

2012-11-30

國家自然科學(xué)基金資助項目(11062002)；江西省自然科學(xué)基金資助項目(2010GZS0083)；江西省教育廳科技項目(GJJ11470)

1007-130X(2014)03-0551-07

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.03.031

張小紅(1966-),女,河北昌黎人，博士，教授，研究方向為保密通信和混沌同步。E-mail:xiaohongzh@263.net

通信地址：341000 江西省贛州市江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院

Address:School of Information Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000,Jiangxi,P.R.China