時變雙曲型發(fā)展方程的強解*

湯小燕，羅東升

(遵義師范學(xué)院)

1 預(yù)備知識

Banach空間X中的時變雙曲型發(fā)展方程的初值問題:

其中無界閉稠定線性算子族{A(t)|t∈［0，T］}滿足雙曲型假設(shè).Pazy，Kato等人［2-4］討論了算子族{A(t)|t∈［0，T］}滿足較強假設(shè)條件下Y值解和古典解的存在唯一性，然后又在較弱條件下引進溫和解，給出溫和解存在的一些充分條件.在該文中引進介于溫和解與Y值解之間的廣義解——強解，給出強解存在的充分條件.

設(shè)X和Y是Banach空間，其范數(shù)分別是‖·‖，‖·‖Y，Y是X的稠子空間且連續(xù)嵌入到X.對任意t∈ ［0，T］，A(t)是X上C0半群{St(s)，s≥0}的無窮小生成元.雙曲型假設(shè)(H)*:

(H1):{A(t)|t∈［0，T］}是穩(wěn)定族，其穩(wěn)定系數(shù)是M，ω，

(H2):對任意t∈［0，T］，空間Y是A(t)-容許，(t)是A(t)在Y中的部分，算子族(t)|t∈［0，T］}在Y中是穩(wěn)定的，其穩(wěn)定系數(shù)為，，

(H3):對t∈［0，T］，D(A(t))?Y，且A(·)∈C(［0，T］，B(Y，X)).

定理1.1 (見文獻［2］推論 5.2.27)如果Y是自反Banach空間，算子族{A(t)|t∈［0，T］}滿足假設(shè)(H)*，那么在X上存在唯一的發(fā)展系統(tǒng){U(t，s)，0 ≤s≤t≤T}，滿足(E1)、(E2)、(E3)，且

(i)任意 0 ≤s≤t≤T，U(t，s)Y?Y，‖U(t，s)‖B(Y)≤e(t-s)同時U(t，s)是弱連續(xù)的.

(ii)任意ξ∈Y，0≤s＜t≤T=A(t)U(t，s)ξa.e.，且是弱連續(xù)的.

定義1.2 函數(shù)x:［0，T］→X稱為初值問題(1)的強解，如果:

(i)x∈L1(［0，T］，Y)∩C(［0，T］，X).

(ii)x在［0，T］上幾乎處處可微，dxdt∈

2 時變雙曲型發(fā)展方程的強解

情形1:當f=0時，考慮問題:

的強解.

命題2.1 如果Y是自反Banach空間，算子族{A(t)|t∈［0，T］}滿足假設(shè)(H)*，那么對任意x0∈Y，初值問題(LE)1有唯一的強解，且

證明U(·，0)x0∈C(［0，T］，X).由命題1.1 中(i)，對任意0 ≤s≤t≤T，U(t，s)Y?Y，且U(·，0)x0在Y空間中是弱連續(xù)的(見文獻［1］)，函數(shù)x是強可測的，且

故x∈L'(［0，T］)，Y).

由定義1.1 中的(ii)，函數(shù)x(·)=U(·，0)x0是幾乎處處可微的，且

由假設(shè)(H)*知.由發(fā)展系統(tǒng)的唯一性，問題(LE)1有唯一的強解x.情形2 當f=f(t)時，考慮問題:

的強解.

命題2.2 如果Y是自反Banach空間，算子族{A(t)|t∈［0，T］}滿足假設(shè)(H)*，對任意f∈L1(［0，T］，Y)，x0∈Y，那么初值問題(LE)2存在唯一的強解x，且

證明 首先由溫和解的定義，易證問題(LE)2有唯一的溫和解x∈C(［0，T］，X).其次，由命題2.1，U(t，0)x0，t∈［0，T］是問題(LE)2對應(yīng)齊次問題的強解.下面只需證明

是問題(LE)2對應(yīng)于初值為0的強解.因f∈L1(［0，T］，Y)，故z在Y中是可測的.又因

從而z∈L1(［0，T］，Y).由假設(shè)(H)*和f∈L1(［0，T］，Y)，有

即A(·)f(·)∈L1(［0，T］，X).

對任意充分小的h＞0，有

用定義1.1中(LE2)和(ii)，對式子(2)和式子(3)取極限，得

即z幾乎處處可微，且z＇(·)∈L1(［0，T］，X).這就意味著

t∈［0，T］是問題(LE)2的強解.

情形3 考慮問題(1)的強解.

假設(shè)［F1］:

(1)f:［0，T］×Y→Y是一個映射，對任意ξ∈Y，f(·，ξ)∈C(［0，T］，Y)，

(2)存在正常數(shù)L＞0，對任意t∈［0，T］，ξ，η∈Y，使得

命題2.3 如果Y是自反Banach空間，算子族{A(t)|t∈［0，T］}滿足假設(shè)(H)*，假設(shè)［F1］成立.那么對任意x0∈Y，初值問題(1)在［0，T］上有唯一的強解x.

證明 由命題1.1中(i)知，存在常數(shù)存在M＞0，使得對所有0≤s≤t≤T，有

對固定的x0∈Y，在空間L1(［0，T］，Y)中定義映射F:

設(shè)x∈L1(［0，T］，Y)，則

故，F(xiàn):L1(［0，T］，Y)→L1(［0，T］，Y).

對任意u，v∈L1(［0，T］，Y)，有

當n=1時，

當n=2時，

當n=3時，

重復(fù)上述過程，有

于是存在足夠大的n，使得，從而Fn是L1(［0，T］，Y)的壓縮映射，故F在L1(［0，T］，Y)中有唯一的不動點，且

由發(fā)展系統(tǒng)在空間X中的性質(zhì)，可知

下證，x滿足問題(1).對任意的t∈［0，T］，令

由假設(shè)［F1］成立知，在空間Y中g(shù)是［0，T］上的可測函數(shù)，又

根據(jù)命題2.2，初值問題

存在唯一的強解v∈L1(［0，T］，Y)∩C(［0，T］，X)，且對任意t∈［0，T］，有

所以x是問題(1)在［0，T］上的強解.

3 結(jié)束語

由于時變雙曲型發(fā)展方程的發(fā)展系統(tǒng)的性質(zhì)沒有拋物型發(fā)展系統(tǒng)的性質(zhì)好，相應(yīng)的假設(shè)比較繁雜，該文主要引進了自反Banach空間中發(fā)展方程的強解，并給出了存在定理的證明.這為進一步研究時變雙曲型發(fā)展方程解的性質(zhì)打下基礎(chǔ).

［1］ 定光桂.巴拿赫空間引論.北京:科學(xué)出版社，1984.

［2］ Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.New York，Springer-Verlag Inc，1983.

［3］ Herbert Amann.Linear and quasilinear parabolic problems.Berlin，1995.

［4］ Kato T.Abstract evolution equations of“hyperbolic”type.J Fac Sci Univ Tokyo，1970，25:241-258.