于 鏑，李 鋮，冷傳英，任偉建

（1.東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2.大慶石化公司 熱電廠，黑龍江 大慶 163714）

0 引言

近年來(lái)，多智能體協(xié)調(diào)控制作為復(fù)雜系統(tǒng)和控制科學(xué)領(lǐng)域的前沿課題被人們關(guān)注，并且在航空航天、軍事、民用等方面得到廣泛應(yīng)用［1-3］.作為多智能體協(xié)調(diào)控制的基本問(wèn)題，一致性問(wèn)題在多機(jī)器人編隊(duì)［4］、群集［5-6］、任務(wù)分配［7］和傳感器網(wǎng)絡(luò)定位［8］等方面起重要作用，目的是通過(guò)設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議，使多智能體網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)智能體的最終狀態(tài)趨于一致［9-10］.

人們對(duì)個(gè)體動(dòng)態(tài)為一階積分器的多智能體網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究［11-16］.Jadbabaie A等基于最近鄰規(guī)則設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的控制協(xié)議，采用非負(fù)矩陣?yán)碚撚懻摕o(wú)向固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜颓袚Q網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝闆r下的一致性問(wèn)題，給出網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)一致的充分條件［11］.在Jadbabaie A等研究基礎(chǔ)上，Olfati-Saber R等給出整個(gè)多智能體網(wǎng)絡(luò)的控制框架，將網(wǎng)絡(luò)一致性和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)，分別討論無(wú)向圖、有向平衡圖情況下網(wǎng)絡(luò)的一致性和平均一致性問(wèn)題［12］.這些研究為多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性分析和控制奠定理論基礎(chǔ).Ren W等進(jìn)一步討論有向拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的一致性，應(yīng)用矩陣?yán)碚摻o出最終一致解［13］，并在Jadbabaie A等結(jié)論基礎(chǔ)上，研究有向切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的一致性［14］，拓寬對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞南拗?Moreau L基于凸論和設(shè)定值Lyapunov理論研究多智能體網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問(wèn)題［15］.Lin Z等為一組移動(dòng)智能體無(wú)向拓?fù)淝闆r下的編隊(duì)問(wèn)題提出3種不同控制方案，最終目標(biāo)是靜態(tài)點(diǎn)［16］.王垚等研究智能體網(wǎng)絡(luò)的量化一致性問(wèn)題［17］.

目前研究多為考慮無(wú)領(lǐng)航或領(lǐng)航者狀態(tài)恒定的情況，實(shí)際應(yīng)用中，為了更快速有效地完成協(xié)調(diào)任務(wù)，在多智能體網(wǎng)絡(luò)中通常存在狀態(tài)時(shí)變的領(lǐng)航智能體.當(dāng)協(xié)調(diào)目標(biāo)為時(shí)變參考軌跡時(shí)，即網(wǎng)絡(luò)存在虛擬領(lǐng)航者，如在進(jìn)行多車輛或多機(jī)器人編隊(duì)控制時(shí)，編隊(duì)中心的時(shí)變軌跡即為整個(gè)多智能體網(wǎng)絡(luò)的虛擬領(lǐng)航者.由于存在通信范圍和帶寬的限制，網(wǎng)絡(luò)中僅有部分個(gè)體能夠獲取領(lǐng)航者的狀態(tài)信息，因此在部分個(gè)體已知時(shí)變領(lǐng)航者狀態(tài)的情況下，有向拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)一致性問(wèn)題的研究尤為重要.

筆者對(duì)時(shí)變領(lǐng)航情況下多智能體網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行一致性分析.首先，設(shè)計(jì)領(lǐng)航狀態(tài)信息為時(shí)變情況下的一致性控制算法，實(shí)現(xiàn)部分智能體已知領(lǐng)航狀態(tài)信息情況下的一致性追蹤，給出實(shí)現(xiàn)一致的充要條件及算法；然后，將此算法拓展至個(gè)體與領(lǐng)航者之間存在狀態(tài)偏差情況，提出基于偏差情況下的分布式控制算法，給出保持恒定偏差的充要條件及算法；最后，應(yīng)用編隊(duì)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證基于2種情況算法的控制協(xié)議的正確性.

1 理論基礎(chǔ)和問(wèn)題描述

1.1 基于圖論的多智能體網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)潢P(guān)系

網(wǎng)絡(luò)中智能體間的信息交換可用有向或無(wú)向圖G加以描述.首先令λn＝｛1，2，…，n｝代表指標(biāo)集，圖G＝（V，E）由節(jié)點(diǎn)集V（G）＝｛vi，i∈λn｝和邊集E（G）?｛（vi，vj）：i，j∈λn｝構(gòu)成.若（vi，vj）是圖G 的一個(gè)邊，那么vi稱為父節(jié)點(diǎn)，vj稱為子節(jié)點(diǎn).在無(wú)向圖中邊均為無(wú)向，即節(jié)點(diǎn)vi和節(jié)點(diǎn)vj能夠互相獲取信息.有向圖是由一系列有序的邊（vi1，vi2），（vi2，vi3），…，（vi2n，vin＋1）構(gòu)成，其中vij∈V（G）.若邊（vi，vj）存在，表示節(jié)點(diǎn)vj能夠獲取節(jié)點(diǎn)vi的信息，則鄰接矩陣元素aij＞0；否則，aij＝0，?i，j∈λn.網(wǎng)絡(luò)中智能體之間的拓?fù)潢P(guān)系用Laplacian矩陣L＝［lij］∈Rn×n表示，其中

1.2 問(wèn)題描述

考慮由n＋1個(gè)智能體所構(gòu)成的有向網(wǎng)絡(luò)，其中第i個(gè)跟隨智能體的動(dòng)態(tài)表示為

式中：xi為第i個(gè)智能體的狀態(tài)，xi∈Rn；xi（0）為第i個(gè)智能體的初始狀態(tài)；ui為第i個(gè)智能體的控制輸入，ui∈Rn.

為不失一般性，令領(lǐng)航者為第n＋1個(gè)智能體的狀態(tài)為xn＋1＝xr，動(dòng)態(tài)為

式中：xr為領(lǐng)航者的狀態(tài)，xr∈Rn；f為非線性函數(shù).

針對(duì)多智能體網(wǎng)絡(luò)，在只有部分智能體已知領(lǐng)航時(shí)變狀態(tài)xr（t）的情況下，基于鄰居信息設(shè)計(jì)控制協(xié)議ui，使多智能體網(wǎng)絡(luò)能夠漸近達(dá)成一致.主要考慮2種情況：

定義1 若對(duì)于任意的xi（0），i＝1，…，n，當(dāng)t→∞時(shí)，有xi（t）→xr（t），則稱該智能體網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤一致.

定義2 若對(duì)于任意的xi（0），i＝1，…，n，當(dāng)t→∞時(shí)，有xi（t）→xr（t）＋其中為第i個(gè)智能體與領(lǐng)航者之間的期望狀態(tài)偏差，則稱該智能體網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸進(jìn)一致.

引理1［13］假設(shè)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)矢量x＝［x1，x2，…，xp］T，xi∈R，L∈Rp×p滿足 Laplacian矩陣性質(zhì)，情況等價(jià)：（1）L有一個(gè)和特征向量lp相對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單0特征值，其他所有特征值存在正實(shí)部；（2）Lx＝0意味著x1＝x2＝…＝xn；（3）系統(tǒng)˙x＝-Lx漸進(jìn)趨于一致；（4）L的有向圖存在一個(gè)有向生成樹.

2 一致性跟蹤分析算法

考慮僅有部分智能體在已知時(shí)變領(lǐng)航狀態(tài)xr情況下，多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）的跟蹤一致性問(wèn)題.基于鄰居相對(duì)信息，提出一致性算法：

式中：ki為控制增益參數(shù)當(dāng)智能體vi可以收到領(lǐng)航者的狀態(tài)信息時(shí)，ai（n＋1）＞0；否則，ai（n＋1）＝0.

定理1 考慮多智能體網(wǎng)絡(luò)（1），當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸鋾r(shí)，采用控制協(xié)議（3），可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤一致.

證明：先證充分條件.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸鋾r(shí)，由引理1可得-Ln＋1x＝0，則xi＝xj＝xn＋1≡xr，i，j＝1，2，…，n，即網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤一致.

再證必要條件.將控制協(xié)議（3）帶入網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)（1），可得

所以-Ln＋1x→0，其中網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)矢量為包含領(lǐng)航者在內(nèi)的n＋1個(gè)智能體所構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣

由引理1可得xi→xr，i＝1，2，…，n，即網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)跟蹤一致，并且網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸?

3 相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致性分析

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)考慮跟隨智能體與領(lǐng)航智能體之間存在恒定距離時(shí)，需要考慮相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致問(wèn)題.此時(shí)將算法（2）進(jìn)一步拓展，提出一致性算法：

定理2 考慮多智能體網(wǎng)絡(luò)（1），當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸鋾r(shí)，采用控制協(xié)議（6），可實(shí)現(xiàn)相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致.

先證明充分條件.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸鋾r(shí)，由引理1可得＝1，2，…，n；因?yàn)榧淳W(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致.

再證明必要條件.由于式（7）形同于協(xié)議（3），根據(jù)算法（3）必要條件的證明過(guò)程，由定理1可得→xr，i＝1，2，…，n時(shí)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸?，即?dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸?

4 仿真實(shí)驗(yàn)

應(yīng)用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證文中算法的正確性，實(shí)驗(yàn)中實(shí)例1和實(shí)例2分別針對(duì)算法（3）和算法（6）進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)一致性仿真研究，實(shí)例3應(yīng)用算法（6）進(jìn)行多車輛網(wǎng)絡(luò)的編隊(duì)控制.智能體之間的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1，網(wǎng)絡(luò)中共5個(gè)智能體，其中L代表多智能體網(wǎng)絡(luò)中的虛擬領(lǐng)航者，F(xiàn)i（i＝1，2，3，4）分別代表多智能體網(wǎng)絡(luò)中的第i個(gè)跟隨者.

4.1 實(shí)例1

實(shí)例1有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1（a）.由圖1（a）可見(jiàn)，只有智能體1和2能夠收到領(lǐng)航智能體的狀態(tài)信息，并且該有向拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸?，滿足定理1條件.令虛擬領(lǐng)航者的狀態(tài)為時(shí)變函數(shù)f（t，xr）＝cos t，針對(duì)多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）采用控制算法（3），得到各個(gè)智能體的狀態(tài)變量軌跡（見(jiàn)圖2）.由圖2可見(jiàn)，所有智能體的狀態(tài)漸近趨于一致，并且收斂于領(lǐng)航者的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)一致性跟蹤，與定理1結(jié)論符合.

4.2 實(shí)例2

實(shí)例2有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1（b）.由圖1（b）可知，只有智能體1能夠收到領(lǐng)航智能體的狀態(tài)信息，并且該有向拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸?，滿足定理2條件.令虛擬領(lǐng)航者的狀態(tài)為時(shí)變函數(shù)f（t，xr）＝cos t，并且令第i個(gè)智能體與領(lǐng)航狀態(tài)位置的理想偏差為δei＝1-i，i＝1，2，3，4.針對(duì)多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）采用控制算法（6），得到各個(gè)智能體的狀態(tài)變量軌跡（見(jiàn)圖3）.由圖3可見(jiàn)，所有智能體的狀態(tài)與領(lǐng)航者狀態(tài)通過(guò)快速調(diào)整之后漸近保持恒定偏差，實(shí)現(xiàn)相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致，與定理2結(jié)論符合.

4.3 實(shí)例3

實(shí)例3驗(yàn)證算法（6）在多智能體網(wǎng)絡(luò)編隊(duì)控制中的有效性，考慮由4個(gè)移動(dòng)車輛所構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的編隊(duì)控制，有 向 網(wǎng) 絡(luò) 拓 撲 見(jiàn) 圖 1（b）.令 xr＝［30sin（πt／100），20sin（πt／50）］，為編隊(duì)中心，4個(gè)移動(dòng)車輛與編隊(duì)中心的期望偏差為編隊(duì)隊(duì)形在t為0，10，20，25，30，35s時(shí)的隊(duì)形見(jiàn)圖4.由圖4可見(jiàn)，在初始時(shí)刻，車輛之間隊(duì)形不規(guī)則，在左右車輛網(wǎng)絡(luò)漸近具有理想編隊(duì)隊(duì)形，并且在t為20s后一直保持穩(wěn)定的理想隊(duì)形.

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)一階多智能體網(wǎng)絡(luò)在有向固定通信拓?fù)淝闆r下，只有部分個(gè)體已知時(shí)變領(lǐng)航參考狀態(tài)的一致性問(wèn)題，提出一致性控制協(xié)議，并通過(guò)圖論、矩陣論及穩(wěn)定性理論提出實(shí)現(xiàn)跟蹤時(shí)變領(lǐng)航一致的充要條件及控制算法.將該控制算法拓展到智能體間具有固定相對(duì)狀態(tài)偏差的情況，給出實(shí)現(xiàn)具有固定相對(duì)偏差一致的充要條件及控制算法，并將該控制算法應(yīng)用到多移動(dòng)車輛網(wǎng)絡(luò)編隊(duì)控制中.通過(guò)3個(gè)實(shí)例仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證基于文中算法的控制協(xié)議，實(shí)例1驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚哂杏邢蛏蓸鋾r(shí)，文中算法控制協(xié)議可以解決部分智能體在已知時(shí)變參考狀態(tài)情況下的一致性追蹤問(wèn)題；實(shí)例2應(yīng)用基于拓展算法的控制協(xié)議，驗(yàn)證所有智能體的狀態(tài)與領(lǐng)航者狀態(tài)能夠漸近保持恒定偏差，實(shí)現(xiàn)相對(duì)狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致；實(shí)例3將相對(duì)狀態(tài)偏差算法引入到多車輛的編隊(duì)控制中，拓展多智能體編隊(duì)的控制方法.

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