二重積分的重要函數(shù)法模擬

王洪濤，李滿枝，沈有建

(海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南海口571158)

引 言

蒙特卡羅方法是計(jì)算多重積分常用的一種算法，是以隨機(jī)模擬和統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)為手段，從隨機(jī)變量概率分布中，通過(guò)選擇隨機(jī)數(shù)方法產(chǎn)生一種符合該隨機(jī)變量概率分布特性的隨機(jī)數(shù)值序列，作為輸入變量序列進(jìn)行特定的模擬試驗(yàn)、求解的方法。[1]蒙特卡羅方法一般都是將抽樣點(diǎn)均勻分布在積分區(qū)域中，假如我們可以將抽樣點(diǎn)分布集中在“最重要的”區(qū)域(對(duì)結(jié)果貢獻(xiàn)最多的區(qū)域)中，而不是均勻分布于某一范圍內(nèi)，蒙特卡羅方法效率便提高了，使用這一概念于蒙特卡羅抽樣過(guò)程中，叫做“重點(diǎn)抽樣”，對(duì)于某區(qū)域重要性進(jìn)行衡量的函數(shù)叫做“重要函數(shù)”，這種減少方差的模擬試驗(yàn)法為重要抽樣法，也稱為相似密度抽樣法。

一 重要函數(shù)法計(jì)算二重積分?jǐn)?shù)值算法

積分都可以看作是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。因此，在利用蒙特卡羅法計(jì)算二重積分的時(shí)候，采用了這個(gè)隨機(jī)變量算術(shù)平均值來(lái)作為其近似值。[3][4]

定理1[2][3][4]對(duì)于二重積分dy，設(shè)f(x，y)為區(qū)域D上的有界函數(shù)，

1)在所求積分區(qū)域D上構(gòu)造一個(gè)概率密度函數(shù) g(x，y)，滿足條件

2)令

3)(xi，yi)，i=1，2，…，n 是以 g(x，y)為概率密度的隨機(jī)數(shù)列，當(dāng)n充分大時(shí)，

則

在定理1中，若取 g(xi，yi)=cf(x，y)，c=時(shí)，計(jì)算方差為零，即方差最小。g(x，y)=cf(x，y)稱為有利密度函數(shù)或重要函數(shù)，以 g(x，y)為概率密度的隨機(jī)變量(xi，yi)，i=1，2，…，n稱為有利隨機(jī)數(shù)，這樣得到方差最優(yōu)的蒙特卡羅算法。

定理2[5][6]設(shè) g(x，y)為某二維概率密度函數(shù)，D為一平面區(qū)域，滿足(xi，yi)，i=1，2，…，n 是區(qū)域 D 上的均勻分布隨機(jī)向量，zi為[0，1]上的均勻分布隨機(jī)變量，(xi，yi)與 zi相互獨(dú)立。取常數(shù) α＞0，使 αg(x，y)≤1，則(xi，yi)在 αg(x，y)≥zi條件下的條件概率密度函數(shù)為 g(x，y)。

一場(chǎng)看似無(wú)法避免的悲劇，卻又消弭于無(wú)形之中，而用的方法卻異常簡(jiǎn)單，似不合情理，但仔細(xì)一想，卻又合情合理，回過(guò)頭來(lái)一看，這個(gè)故事所體現(xiàn)的正是一種簡(jiǎn)單的智慧。人生的實(shí)質(zhì)就是在不斷地解決問(wèn)題，而解決問(wèn)題的方法卻有千千萬(wàn)萬(wàn)，就如同那沙灘上的沙礫，一望無(wú)際。但總起來(lái)說(shuō)只有兩類：將問(wèn)題簡(jiǎn)單化或復(fù)雜化。面對(duì)難題，智者只是將思維稍稍轉(zhuǎn)了一下彎，繞過(guò)障礙，就能取得“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的效果；而普通人卻是向這個(gè)難題發(fā)起無(wú)用的沖擊，最后身陷絕境，進(jìn)退不得，抱憾終生。

二 具體算法及算例

(一)根據(jù)被積函數(shù)f(x，y)估算c值，得到概率密度函數(shù) g(x，y)=cf(x，y);

(二)在區(qū)域D內(nèi)產(chǎn)生以g(x，y)為概率密度函數(shù)的二維隨機(jī)數(shù)(xi，yi)，i=1，2，…，n;

(三)計(jì)算 f(xi，yi)(i=1，2，…，n);

應(yīng)用重要函數(shù)法計(jì)算積

為了便于進(jìn)行結(jié)果對(duì)比，應(yīng)用線性同余法產(chǎn)生1000個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，每100個(gè)隨機(jī)數(shù)計(jì)算一次計(jì)算結(jié)果。由，

f(x，y)=x2+y2，x∈[－1，1]，y∈[0，3]，在積分區(qū)域中選取三個(gè)點(diǎn)分別應(yīng)用泰勒公式展開(kāi)，應(yīng)用重要函數(shù)法進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)比計(jì)算結(jié)果。

根據(jù)定理2，由 αg(x，y)≤1，因?yàn)?max[g(x，，令α=0.5即可滿足條件，產(chǎn)生以g(x，y)為概率密度函數(shù)的二維隨機(jī)數(shù)(xi，yi)，隨機(jī)點(diǎn)分布圖見(jiàn)圖1。

積分計(jì)算公式為

2.(x0，y0)處展開(kāi)得

根據(jù)定理 2，由 αg(x，y)≤1，因?yàn)?max[g(x，，令 α=0.5即可滿足條件，產(chǎn)生以 g(x，y)為概率密度函數(shù)的二維隨機(jī)數(shù)(xi，yi)，隨機(jī)點(diǎn)分布圖見(jiàn)圖2。

積分計(jì)算公式為

3.在(x0，y0))處展開(kāi)得

根據(jù)定理 2，由 αg(x，y)≤1，因?yàn)?max[g(x，，令 α=0.5即可滿足條件，產(chǎn)生以 g(x，y)為概率密度函數(shù)的二維隨機(jī)數(shù)(xi，yi)，隨機(jī)點(diǎn)分布圖見(jiàn)圖3。

積分計(jì)算公式為

下表給出上述三種計(jì)算結(jié)果。其中，積分理論值為 I=7.50476。

不同點(diǎn)的展開(kāi)計(jì)算結(jié)果

結(jié) 論

(一)應(yīng)用重要函數(shù)法計(jì)算二重積分難度較大，尤其是估計(jì)值十分繁瑣。

(二)在積分區(qū)域中選取不同的點(diǎn)，分別應(yīng)用泰勒公式展開(kāi)函數(shù)得到不同結(jié)果，計(jì)算效果相差很大，樣本點(diǎn)在重要區(qū)域分布圖也不一樣;若在不合適點(diǎn)展開(kāi)函數(shù)得到的結(jié)果誤差很大，嚴(yán)重失真。

(三)在積分區(qū)間中點(diǎn)(0，1.5)展開(kāi)函數(shù)得到的結(jié)果最理想。

(四)根據(jù)算法構(gòu)造和計(jì)算結(jié)果比較，重要函數(shù)法的結(jié)果受到取點(diǎn)位置影響較大。

[1]徐鐘濟(jì).蒙特卡羅方法[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985.

[2]尹增謙，管景峰.蒙特卡羅方法及應(yīng)用[J].物理與工程，2002(3).

[3]劉輝玲，葉鋒.計(jì)算多重積分的均勻隨機(jī)數(shù)蒙特卡羅法的實(shí)現(xiàn)[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2008(8).

[4]黎鎖平.運(yùn)用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)性問(wèn)題[J].甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001(2).

[5]李滿枝，王洪濤，苗俊紅.二重積分的Monte－Carlo數(shù)值仿真[J].計(jì)算機(jī)仿真，2011(5).

[6]李滿枝，王洪濤.蒙特卡羅積分計(jì)算[M].?？?海南出版社，2011.