鐘水兵
本文首先介紹如何構(gòu)造函數(shù)證明兩個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,在介紹如何構(gòu)造函數(shù)證明復(fù)雜的不等式,以及在構(gòu)造函數(shù)時(shí)如何如何整體把握.
首先介紹兩個(gè)有用的不等式ex≥x+1,x∈R與lnx≤x-1,x>0.
這兩個(gè)不等式不難從圖象上看出,注意y=lnx與y=x-1分別是y=ex與y=x+1的反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).
用導(dǎo)數(shù)證明如下: 構(gòu)造函數(shù)
f(x)=ex-x-1,f ′(x)=ex-1.
x∈(-∞,0)時(shí),f ′(x)<0,f(x)遞減,x∈(0,+∞)時(shí),f ′(x)>0, f(x)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,
即ex≥x+1.
構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1,
f ′(x)=1x-1=1-xx,
x∈(0,1)時(shí),f ′(x)>0, f(x)遞增;x∈(1,+∞)時(shí),f ′(x)<0, f(x)遞減,所以f(x)≤f(0)=0.
即lnx≤x-1.
推論: ex-1≥x,x∈R;ln(x+1)≤x,x>-1.
這兩個(gè)不等式在證明不等式與求字母范圍時(shí)用處極其廣泛,下面舉例給以說(shuō)明
例1已知f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,求證: f(x)≥32.
分析根據(jù)函數(shù)特征,考慮關(guān)于x的函數(shù)較為復(fù)雜,注意主次元的交換與整體把握.
解法一設(shè)
f(x)=g(t)=2t2-2(ex+x)t+x2+e2x+1.
本文首先介紹如何構(gòu)造函數(shù)證明兩個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,在介紹如何構(gòu)造函數(shù)證明復(fù)雜的不等式,以及在構(gòu)造函數(shù)時(shí)如何如何整體把握.
首先介紹兩個(gè)有用的不等式ex≥x+1,x∈R與lnx≤x-1,x>0.
這兩個(gè)不等式不難從圖象上看出,注意y=lnx與y=x-1分別是y=ex與y=x+1的反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).
用導(dǎo)數(shù)證明如下: 構(gòu)造函數(shù)
f(x)=ex-x-1,f ′(x)=ex-1.
x∈(-∞,0)時(shí),f ′(x)<0,f(x)遞減,x∈(0,+∞)時(shí),f ′(x)>0, f(x)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,
即ex≥x+1.
構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1,
f ′(x)=1x-1=1-xx,
x∈(0,1)時(shí),f ′(x)>0, f(x)遞增;x∈(1,+∞)時(shí),f ′(x)<0, f(x)遞減,所以f(x)≤f(0)=0.
即lnx≤x-1.
推論: ex-1≥x,x∈R;ln(x+1)≤x,x>-1.
這兩個(gè)不等式在證明不等式與求字母范圍時(shí)用處極其廣泛,下面舉例給以說(shuō)明
例1已知f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,求證: f(x)≥32.
分析根據(jù)函數(shù)特征,考慮關(guān)于x的函數(shù)較為復(fù)雜,注意主次元的交換與整體把握.
解法一設(shè)
f(x)=g(t)=2t2-2(ex+x)t+x2+e2x+1.
本文首先介紹如何構(gòu)造函數(shù)證明兩個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,在介紹如何構(gòu)造函數(shù)證明復(fù)雜的不等式,以及在構(gòu)造函數(shù)時(shí)如何如何整體把握.
首先介紹兩個(gè)有用的不等式ex≥x+1,x∈R與lnx≤x-1,x>0.
這兩個(gè)不等式不難從圖象上看出,注意y=lnx與y=x-1分別是y=ex與y=x+1的反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).
用導(dǎo)數(shù)證明如下: 構(gòu)造函數(shù)
f(x)=ex-x-1,f ′(x)=ex-1.
x∈(-∞,0)時(shí),f ′(x)<0,f(x)遞減,x∈(0,+∞)時(shí),f ′(x)>0, f(x)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,
即ex≥x+1.
構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1,
f ′(x)=1x-1=1-xx,
x∈(0,1)時(shí),f ′(x)>0, f(x)遞增;x∈(1,+∞)時(shí),f ′(x)<0, f(x)遞減,所以f(x)≤f(0)=0.
即lnx≤x-1.
推論: ex-1≥x,x∈R;ln(x+1)≤x,x>-1.
這兩個(gè)不等式在證明不等式與求字母范圍時(shí)用處極其廣泛,下面舉例給以說(shuō)明
例1已知f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,求證: f(x)≥32.
分析根據(jù)函數(shù)特征,考慮關(guān)于x的函數(shù)較為復(fù)雜,注意主次元的交換與整體把握.
解法一設(shè)
f(x)=g(t)=2t2-2(ex+x)t+x2+e2x+1.