呂 強，孫亨利

(通信網(wǎng)信息傳輸與分發(fā)技術(shù)重點實驗室，河北石家莊 050081)

0 引言

左手介質(zhì)［1-3］相較于常規(guī)材料折射率為負的特性，引發(fā)了許多超常的電磁現(xiàn)象，如已報道的逆線性多普勒效應(Linear Doppler Effect)［4］、逆古斯 - 漢森相移(Goos-H@nchen Shift)［5］及逆古伊(Gouy)相移［6］。靈活的電磁波操控是人們不斷追求的目標，左手介質(zhì)的反常特性為人們提供了另一種新的可能。如Tsakmakidis等人利用負折射材料傳輸中電磁波逆古斯-漢森相移的特性可以將光速降至為零，為光存儲的實現(xiàn)提供了新的選擇［7］。

另一方面，相比于常規(guī)通信鏈路中對無線信號強度、頻率進行高速編碼、調(diào)制相比，渦旋波束存在角動量的特性相較于普通平面電磁波的振幅、頻率編碼，提供了新的多維度編碼可能，能夠極大地提高空間通信系統(tǒng)的有效性，并進一步提高無線信號的抗干擾能力。文獻［8］表明對渦旋電磁波軌道角動量的靈活操控，并進一步應用于通信編碼，對現(xiàn)有通信系統(tǒng)的改善具有革命性意義。因此，本文針對新型編碼應用需求，通過理論和建模仿真兩種分析手段，從現(xiàn)象和物理機制方面研究左手介質(zhì)中渦旋波束的橫向場、橫向能流和角動量密度等物理特性，揭示左手介質(zhì)新特性中對波束渦旋橫向場的變化規(guī)律，為利用左手介質(zhì)操控電磁波渦旋并進一步實現(xiàn)電磁波角動量編碼提出新的可能。

1 左手介質(zhì)中渦旋波束傳輸特性分析

首先以拉蓋爾-高斯波束為模型，簡單分析介質(zhì)電磁特性對渦旋波束傳輸特性的影響。假設波束沿z軸傍軸傳播，在垂直于z軸的z=0平面上的電磁場分布可表示為u(r，0)，其中r為徑向單位矢量，眾所周知，電磁場的角譜分布可表示為:

式中，k=nω/c，表示波數(shù);n為物質(zhì)折射率;ω為波束角頻率;c為光在真空中的傳輸速度;Jl為l階第一類貝塞爾函數(shù)。根據(jù)式(1)可進一步得到空間的場強分布為:

式中，z為波束傳輸?shù)木嚯x;k0為真空中的波數(shù)。

下面，進一步分析渦旋波束的橫向場。為簡單起見，設波束束腰位于z=0處，此時，拉蓋爾-高斯波束的場分布可表示為:

式中，w(z)=w0表示 LGp，l波束寬度，zR=/2為LGp，l波束的瑞利長度;R(z)=(+)/z表示LGp，l波束z處波前的曲率;ψ(z)=arctan( z/zR)為古伊相移。從式(5)可以看出，當材料的折射率為負時，波束的瑞利長度和古伊相移存在逆特性。由于在左手介質(zhì)中傳輸?shù)睦w爾高斯波束具有逆古伊相移，因此其相位波前螺旋方向相較于常規(guī)材料將發(fā)生反轉(zhuǎn)。從式(5)可以看出，波束的光強隨距離呈指數(shù)下降，這主要是因為介質(zhì)存在損耗。同時還可以看出，介質(zhì)的損耗特性并不影響波束的渦旋特性。

2 渦旋波束橫向場及相位特性仿真

多模拉蓋爾-高斯波束產(chǎn)生渦旋的機制是因為其疊加的各波束分量具有不同大小的拓撲因子。為了清楚地研究逆古伊相移對渦旋波束的橫向場分布產(chǎn)生怎樣的影響，現(xiàn)引入多模拉蓋爾-高斯波束模型。作為對比，同時討論了在傳統(tǒng)介質(zhì)傳輸情況下的橫向場分布特性。多模拉蓋爾-高斯波束的復振幅可表示為:

為簡單起見，用u表示多模拉蓋爾-高斯波束的復振幅。利用迭代法，多模拉蓋爾-高斯波束的橫向場分布可表示為:

式中，γ1，2=l1，2φ － (2p1，2+ l1，2+1) ψ(z) 。下面通過對多模拉蓋爾-高斯波束橫向場的數(shù)值模擬來描述波束的旋轉(zhuǎn)特性。例如由LG0，+1和LG0，+2疊加而成的多模拉蓋爾-高斯波束。如圖1(a)、圖1(b)和圖1(c)所示，在傳統(tǒng)介質(zhì)中波束呈逆時針方向旋轉(zhuǎn)，而圖1(a’)、圖 1(b’)和圖 1(c’)表明，當波束在左手介質(zhì)中傳輸時，旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生反轉(zhuǎn)。

圖1 多模拉蓋爾－高斯波束的波前強度隨距離的變化

下面通過研究多模拉蓋爾-高斯波束電磁場的角速度來解釋該現(xiàn)象。首先知道多模拉蓋爾-高斯波束的等相位面可表示為:

兩邊關于z求導，可得波束橫向場旋轉(zhuǎn)的角速度:

當逆著z軸觀察時，正的Ω表示橫向場呈逆時針方向旋轉(zhuǎn)。從式(9)可知，由于左手介質(zhì)中zR為負，因此其角速度值相對于傳統(tǒng)介質(zhì)中的角速度值符號相反。因此在左手介質(zhì)中傳輸?shù)臏u旋波束橫向場旋轉(zhuǎn)方向?qū)l(fā)生反轉(zhuǎn)。進一步，考察波束的相位信息來進一步闡述該現(xiàn)象。在傳統(tǒng)介質(zhì)中，拉蓋爾-高斯波束的古伊相移是正的，如圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)所示，波束的相位呈逆時針方向旋轉(zhuǎn)。然而，當介質(zhì)折射率變化為負時，其拉蓋爾-高斯波束分量的瑞利距離也隨之變化為負，從而產(chǎn)生了逆的古伊相移，如圖2(a’)、圖 2(b’)和圖 2(c’)所示，逆古伊相移導致了其相位旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生反轉(zhuǎn)。進一步導致了波束橫向場旋轉(zhuǎn)方向的反轉(zhuǎn)。

圖2 多模拉蓋爾－高斯波束的相位隨傳輸距離的變化

3 左手介質(zhì)中渦旋波束的橫向能流

多模拉蓋爾-高斯波束的坡印亭矢量S可表示為:

為簡單起見，假設LGp，l波束的電場強度和磁感應強度為線偏振，并可表示為［9］:

式中，ex、ey和ez是單位矢量，假設波束的電場強度的偏振方向與x軸方向一致。注意由于LGp，l波束是傍軸傳輸，電場強度和磁感應強度的z分量遠比x和y分量小。根據(jù)式(11)，多模拉蓋爾-高斯波束的電場強度和磁感應強度可分別表示為:

根據(jù)式(10)和式(12)可得其橫向能流表示為:

線面通過式(13)揭示左手介質(zhì)介電常數(shù)、磁導率的負特性對多模拉蓋爾-高斯波束橫向能流的影響。為簡單起見，考察多模拉蓋爾-高斯波束z=0平面上的橫向能流。S⊥可分解為徑向分量Sr和角向分量Sφ:

根據(jù)式(15)可以發(fā)現(xiàn)介質(zhì)材料磁導率為負時，將導致渦旋波束的橫向能流方向的反轉(zhuǎn)。圖3給出了多模拉蓋爾-高斯波束分別在傳統(tǒng)介質(zhì)和左手介質(zhì)傳輸情況下z=0平面處的橫向能流。同樣考慮由LG0，+1和LG0，+2疊加而成的渦旋波束。圖3(a)表明，在傳統(tǒng)介質(zhì)中渦旋波束的橫向能流方向呈逆時針方向，而圖3(b)表明左手介質(zhì)中渦旋波束的橫向能流方向發(fā)生反轉(zhuǎn)。

圖3 多模拉蓋爾－高斯波束的橫向場及橫向能流方向

4 左手介質(zhì)中渦旋波束的角動量密度

下面研究渦旋波束的角動量密度。首先，介質(zhì)中電磁波的能量密度定義為:

從式(16)可以看出，當物質(zhì)介電常數(shù)和磁導率均為負數(shù)，且介質(zhì)為非色散時，電磁波的能量密度將出現(xiàn)反物理常規(guī)的負值。此時，式(17)不適用于左手介質(zhì)中電磁波的能量密度描述。另一方面，可知利用人工的方法實現(xiàn)左手介質(zhì)時，必須通過諧振的方式實現(xiàn)介電常數(shù)和磁導率為負。因此，其介電常數(shù)和磁導率必是色散的。式(16)可以從另一方面印證非色散的左手介質(zhì)是違背物理定律且無法實現(xiàn)的。因此，式(17)的定義適用于色散型左手介質(zhì)中電磁波的能量密度。假設左手介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導率均用洛侖茲模型來描述，且介電常數(shù)和磁導率相等。多模拉蓋爾-高斯波束的動量密度等于各LGp，l波束分量動量密度的和。因此，多模拉蓋爾-高斯波束的動量密度可表示成［10］:

當不考慮左手介質(zhì)的損耗時，n+ω(?n/? )ω 恒大于零。渦旋波束的動量密度方向與能流方向呈反平行的關系。下面考慮更復雜的情況，即左手介質(zhì)具有損耗性時，波束的動量速度定義為［11］:

式中，〈T〉為動量流;η和κ分別是介質(zhì)折射率n=η+iκ的實部和虛部;γ為洛侖茲型色散介質(zhì)中所定義的阻尼系數(shù)。由于〈T〉= η〈S〉/c［12］，無論左手介質(zhì)有無損耗特性時，波束的動量流方向始終是與能量流方向相反。從式(19)可以看出，左手介質(zhì)的損耗項對波束的動量速度的影響。在有損的左手介質(zhì)中，動量速度方向與能流方向存在平行或反平行2種可能關系。這取決于關系式 η2+κ2+2ω0ηκ/γ 的正負，當 sgn (η2+ κ2+2ω0ηκ/γ )=1時，渦旋波束動量密度的橫向分量與橫向能流方向呈平行關系;當 sgn (η2+ κ2+2ω0ηκ/γ )=－1時，渦旋波束動量密度的橫向分量與橫向能流方向呈反平行關系。渦旋波束的角動量密度方向可以表示為:r×Gφ。因此，可以看出在左手介質(zhì)中傳輸?shù)臏u旋波束角動量密度方向相較于在常規(guī)材料傳輸情況下有可能發(fā)生反轉(zhuǎn)，也可能不反轉(zhuǎn)，這取決于介質(zhì)的損耗大小。

5 結(jié)束語

研究了左手介質(zhì)中渦旋波束橫向場傳輸特性。首先，建立了介質(zhì)中渦旋波束的傳輸模型。根據(jù)該模型通過理論分析和模擬仿真闡述了左手介質(zhì)中，渦旋波束橫向場旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生反轉(zhuǎn)的物理機制，進一步通過考察波束傳輸中的相位變化，揭示了左手介質(zhì)中渦旋波束逆變化的原理。此外，從推導渦旋波束坡印亭矢量出發(fā)，分析其橫向能流分量，發(fā)現(xiàn)左手介質(zhì)負的磁導率，導致波束橫向能流發(fā)生反轉(zhuǎn)。最后，研究了渦旋波束的角動量密度，發(fā)現(xiàn)渦旋波束的角動量密度方向與左手介質(zhì)的損耗值大小有關，波束的角動量密度方向存在平行或反平行于橫向能流方向的2種可能。本文闡述了利用左手介質(zhì)對渦旋電磁波軌道角動量物理特性操控的可能，指出了角動量編碼的新選擇。 ■

［1］VESELAGOV G.The Electrodynamics of Substances with Simultaneously Negative Values of ε and μ ［J］.Sov.Phys.Usp.，1968，10(4):509-514.

［2］曹 猛，任 武，薛正輝，等.新型結(jié)構(gòu)左手材料的仿真設計與實現(xiàn)［J］.無線電工程，2013，43(6):37-39.

［3］PENDRY J B，HOLDEN A J，STEWART W J.Magnetism from Conductors and Enhanced Nonlinear Phenomena［J］.IEEE Trans.Microw.Theory Tech.，1999，47(11):2075-2084.

［4］SEDDON N，BEARPARK T.Observation of the Inverse Doppler Effect［J］.Science，2003，302(5650):1537-1540.

［5］BERMANP R.Goos-H?nchen Shift in Negatively Refractive Media［J］.Phys.Rev.E，2002，66(6): 067603.

［6］LUO H，REN Z，SHU W，et al.Reversed Propagation Dynamics of Laguerre-Gaussian Beams in Left-handed Materials［J］.Phys.Rev.A，2008，77(2): 023812.

［7］TSAKMAKIDIS K L，BOARDMAN A D，HESS O.'Trapped Rainbow'Storage of Light in Metamaterials［J］.Nature，2008，450:397-401.

［8］BOUCHAL Z，GELECHOVSKY R.Mixed Vortex States of Light as Information Carriers［J］.New J.Phys.，2004(6):131-133.

［9］LOUDON R.Theory of the Forces Exerted by Laguerre-Gaussian Light Beams on Dielectrics［J］.Phys.Rev.A，2003，68(1): 013806.

［10］SOSKIN M S，GORSHKOV V N，VASNETSOV M V，et al.Topological Charge and Angular Momentum of Light Beams Carrying Optical Vortices ［J］.Phys.Rev.A，1997，56(5):4064-4075.

［11］LOUDON R，Allen L，NELSON D F.Propagation of Electromagnetic Energy and Momentum Through an Absorbing Dielectric［J］.Phys.Rev.E，1997，55(1):1071-1085.

［12］KEMP B A，KONG J A，GRZEGORCZYK T M.Reversal of Wave Momentum in Isotropic Left-handed Media［J］.Phys.Rev.A，2007，75(5): 053810.