何虔恩，高鐘毓，吳秋平

（清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084）

空間穩(wěn)定系統(tǒng)殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差精確補(bǔ)償

何虔恩，高鐘毓，吳秋平

（清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084）

殼體翻滾是提高空間穩(wěn)定系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間工作精度的技術(shù)手段之一，但其失準(zhǔn)角誤差將引起速度和姿態(tài)擾動(dòng)。對(duì)該誤差進(jìn)行建模、標(biāo)定與補(bǔ)償是解決此問(wèn)題的有效措施。在誤差補(bǔ)償時(shí)，由冗余角變化導(dǎo)致的交叉耦合影響對(duì)長(zhǎng)航時(shí)高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)是不能忽視的。根據(jù)殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差矢量的幾何投影關(guān)系，建立物理平臺(tái)坐標(biāo)系（P系）與陀螺三面體坐標(biāo)系（G系）之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，分析冗余角變化引入的交叉耦合影響，并進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真和實(shí)際試驗(yàn)。結(jié)果表明：冗余角使P系相對(duì)G系沿z向的角運(yùn)動(dòng)附加極軸殼體翻滾周期分量，其幅值為失準(zhǔn)角與冗余角正切函數(shù)的乘積；誤差補(bǔ)償考慮這一項(xiàng)，東速、橫搖和航向精度十天可提高30%~50%。

空間穩(wěn)定系統(tǒng)；殼體翻滾失準(zhǔn)角；誤差補(bǔ)償；冗余角；交叉耦合

采用旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)，可在無(wú)外部參考信息條件下，自動(dòng)地補(bǔ)償慣性?xún)x表固有誤差，因而能有效提高慣性測(cè)量組合和由其組成的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的精度[1-2]，在平臺(tái)式和捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中獲到廣泛應(yīng)用[3-4]。旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)主要有殼體翻滾和臺(tái)體翻滾兩種實(shí)現(xiàn)方式，目的都在于平均與殼體或與臺(tái)體有關(guān)的誤差[5]。然而，任何技術(shù)都有兩面性，旋轉(zhuǎn)調(diào)制也有其缺陷[6]，例如，由于殼體翻滾軸不可能恰好安裝到與頂端光電傳感器零位一致，即不可避免地存在殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差，在殼體翻滾條件下，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的速度和姿態(tài)將出現(xiàn)不可忽視的擾動(dòng)分量[7]。進(jìn)行殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差的建模、標(biāo)定與補(bǔ)償是解決這一問(wèn)題的有效措施。

高鐘毓[3]通過(guò)幾何投影關(guān)系直觀(guān)地進(jìn)行了殼體翻滾失準(zhǔn)誤差的建模。在此基礎(chǔ)上，胡佩達(dá)等分別基于靜止水平基座條件下的框架信息[8]和擾動(dòng)比力[7]研究了適用于靜態(tài)和動(dòng)態(tài)環(huán)境的殼體翻滾失準(zhǔn)誤差標(biāo)定與補(bǔ)償方法。然而，已有研究在補(bǔ)償時(shí)沒(méi)有考慮極軸和赤道陀螺動(dòng)量矩矢量不正交度（由冗余角大小表征）的變化引入的交叉耦合影響，因而未能精確地扣除殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差，主要表現(xiàn)為：速度和姿態(tài)中殼體翻滾周期擾動(dòng)分量的幅值隨著冗余角變化量的增加而增大。

針對(duì)上述問(wèn)題，在給出P系、G系、赤道陀螺坐標(biāo)系（G2系）、殼體翻滾角和失準(zhǔn)角等定義的基礎(chǔ)上，根據(jù)殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差矢量的幾何投影關(guān)系以及框架伺服系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)跟蹤陀螺的工作原理，建立P系與G系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，進(jìn)而分析出冗余角變化引入的交叉耦合影響。最后，對(duì)所述理論進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真和實(shí)際試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 相關(guān)坐標(biāo)系及物理量定義

1.1 G系與G2系

根據(jù)上述定義知，G系相對(duì)慣性系（i系）的漂移角速度取決于兩個(gè)陀螺的漂移角速度，其中，x和 y向漂移取決于極軸陀螺漂移，即

式中ω1x和ω1y分別表示極軸陀螺相對(duì)i系沿xG和yG方向的漂移角速率。G系的z向漂移需通過(guò)以下過(guò)程求解：

根據(jù)角速度加法原理，有

其中，ω2x、ω2y和ω2z分別表示赤道陀螺相對(duì)i系沿xG2、yG2和zG2方向的漂移角速率，因而有：

至此，得到了G系漂移角速度和冗余角速率與陀螺漂移之間的關(guān)系。由式(1)和(2)可見(jiàn)，由于冗余角ηr的存在，極軸陀螺x向漂移將耦合到G系的z向漂移中；赤道陀螺z向漂移將耦合到G2系的x向漂移中，而G系的x和y向漂移則不存在耦合分量。

1.2 P系與G系

P系在框架系統(tǒng)的伺服作用下跟蹤G系運(yùn)動(dòng)，忽略跟蹤誤差和極軸陀螺安裝誤差，從P系按如下路徑旋轉(zhuǎn)到G系：

1.3 P系與G2系

赤道陀螺通過(guò)冗余環(huán)間接安裝在物理平臺(tái)上。忽略冗余軸和赤道陀螺的安裝誤差，從P系按如下路徑旋轉(zhuǎn)到G2系：

其中，α2和φ2分別為赤道陀螺的殼體翻滾失準(zhǔn)角和殼體翻滾角；Yr為冗余軸轉(zhuǎn)角； γ2x與極軸和赤道陀螺的殼體翻滾角與失準(zhǔn)角有關(guān)，將在下文給出其具體表達(dá)式。

2 殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差的精確補(bǔ)償公式

2.1 G系與P系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

假設(shè)殼體翻滾失準(zhǔn)角為小角度，則根據(jù)第1節(jié)的定義，可得殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差矢量的幾何投影如圖 1所示。

圖 1 殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差矢量的幾何投影示意圖Fig. 1 Geometric projection of case rolling non-alignment angle error vectors

由圖 1可直觀(guān)地看出，在殼體翻滾條件下：

1）為使極軸陀螺（本體直接安裝在平臺(tái)上）輸出信號(hào)保持為零，框架伺服系統(tǒng)應(yīng)驅(qū)使P系沿xG和yG運(yùn)動(dòng)，以分別抵消如下分量：

2）為使赤道陀螺（本體安裝在冗余環(huán)上，冗余環(huán)通過(guò)冗余軸安裝在平臺(tái)上）輸出信號(hào)保持為零，框架伺服系統(tǒng)應(yīng)驅(qū)使P系沿zG運(yùn)動(dòng)，并驅(qū)使冗余軸轉(zhuǎn)動(dòng)，以分別抵消如下分量：

綜上可得，P系到G系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：

以及冗余軸轉(zhuǎn)角：

同理，有

2.2 分析與討論

至此，得到殼體翻滾失準(zhǔn)角為小角度并忽略其二階小量和框架伺服系統(tǒng)跟蹤誤差的情況下，G系與P系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系（見(jiàn)(7)）以及冗余軸轉(zhuǎn)角（見(jiàn)式(8)）表達(dá)式?？梢?jiàn)，G系與P系之間的Euler小角矢量有如下特點(diǎn)：

1）沿x軸和y軸方向的分量取決于極軸陀螺的殼體翻滾失準(zhǔn)角和殼體翻滾角；

2）沿z軸方向的分量一部分取決于赤道陀螺的殼體翻滾失準(zhǔn)角和殼體翻滾角，另一部分則取決于極軸陀螺殼體翻滾失準(zhǔn)角、殼體翻滾角和冗余角正切；

3）在殼體翻滾條件下，殼體翻滾失準(zhǔn)角主要引起Euler小角矢量中同等量級(jí)的殼體翻滾周期分量。然而，當(dāng)冗余角相對(duì)初始值ηr0（殼體翻滾失準(zhǔn)角標(biāo)定結(jié)束時(shí)刻的值）發(fā)生變化時(shí)，P系相對(duì)G系沿z向的運(yùn)動(dòng)將附加如下分量：

取ηr0=0，α1=10'，可得這一分量的幅值與冗余角的關(guān)系如表 1的第二行所示。

表 1 冗余角變化引入的交叉耦合分量（ηr0=0，α1=10'）Tab.1 Cross coupling items due to redundancy angle variation

根據(jù)殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差傳播特性的分析結(jié)果可知，δr將引起東向速度誤差中幅值約

的殼體翻滾周期分量，這里，L為當(dāng)?shù)鼐暥龋?A(δr)表示 δr的幅值。這一分量的幅值與前述冗余角的關(guān)系如表 1的第三行所示。同時(shí)，還將導(dǎo)致航向角誤差和橫搖角誤差中幅值分別為

的殼體翻滾周期分量，其量級(jí)與前述冗余角的關(guān)系見(jiàn)表 1的第二行。易見(jiàn)，隨著冗余角變化量的增加，δr引起的東向速度、航向角和橫搖角誤差中殼體翻滾周期擾動(dòng)分量的幅值呈增大趨勢(shì)，這對(duì)于長(zhǎng)航時(shí)高精度的慣導(dǎo)系統(tǒng)而言是不容忽視的。

以上討論表明，減小冗余角相對(duì)初始值的變化量和極軸陀螺殼體翻滾失準(zhǔn)角或采用模型進(jìn)行殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差精確補(bǔ)償均可有效降低上述導(dǎo)航誤差。減小殼體翻滾失準(zhǔn)角和冗余角的變化是有限的，而采用模型進(jìn)行誤差精確補(bǔ)償則為較簡(jiǎn)捷、有效的措施。

3 計(jì)算機(jī)仿真與試驗(yàn)結(jié)果

3.1 仿真設(shè)置

首先，生成空間穩(wěn)定系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)——框架角、比力和殼體翻滾角，其中，緯度設(shè)定為 L=40°；極軸和赤道殼體翻滾失準(zhǔn)角均設(shè)為4'，翻滾周期為8 min；冗余角平均變化率設(shè)為0.01 (°)/h。其次，利用系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)與標(biāo)定及導(dǎo)航解算，殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差補(bǔ)償分別采用不考慮冗余角變化和考慮冗余角變化兩種補(bǔ)償模型（模型A和模型B）。

3.2 仿真結(jié)果

在導(dǎo)航第一天，兩種模型對(duì)應(yīng)的導(dǎo)航結(jié)果無(wú)顯著差異；在導(dǎo)航第十天，模型A對(duì)應(yīng)的東向速度、航向角和橫搖角誤差中8 min周期分量的幅值分別達(dá)到了0.03 m/s、0.13'和0.16'，而模型B對(duì)應(yīng)的結(jié)果則接近0。這分別與按前述理論進(jìn)行分析所得的如下結(jié)果相一致：

1）東向速度0.222 ×0.4 ×0.01 ×240 × 0.175 × cos40 °≈ 0.03m/s ；

2）航向角0.4 × 0.01 ×240 × 0.175 × sin40 °≈ 0.11′；

3）橫搖角0.4 × 0.01 × 240 × 0.175 × cos40 °≈ 0.13′.

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

2013年4月，某空間穩(wěn)定系統(tǒng)在緯度40°進(jìn)行了十余天的靜態(tài)導(dǎo)航試驗(yàn)。利用該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)與標(biāo)定及導(dǎo)航解算，殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差補(bǔ)償分別采用第3.1節(jié)中的模型A和模型B。圖2～圖4分別摘錄了兩種情況下導(dǎo)航第十天附近的東向速度、航向角和橫搖角誤差曲線(xiàn)（在導(dǎo)航第一天，兩種情況的差異不顯著；結(jié)果進(jìn)行了歸一化處理）。

由圖2～圖4易見(jiàn)，采用模型B進(jìn)行殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差補(bǔ)償后，導(dǎo)航第十天東向速度、航向角和橫搖角誤差中 8 min周期分量幅值比模型 A減小了30%～50%。根據(jù)初始對(duì)準(zhǔn)與標(biāo)定期間得到的冗余角平均變化率和殼體翻滾失準(zhǔn)角參數(shù)，按前述理論進(jìn)行分析，得到的結(jié)果與以上試驗(yàn)結(jié)果相吻合。

圖 2 考慮冗余角影響前/后（模型A/B）東向速度誤差曲線(xiàn)Fig.2 East velocity errors test results for cases of neglecting/ considering the influence of cross coupling effect (Model A/B)

圖 3 考慮冗余角影響前/后（模型A/B）航向角誤差曲線(xiàn)Fig.3 Yaw errors test results for cases of neglecting/ considering the influence of cross coupling effect (Model A/B)

圖 4 考慮冗余角影響前/后（模型A/B）橫搖角誤差曲線(xiàn)Fig.4 Roll errors test results for cases of neglecting/ considering the influence of cross coupling effect (Model A/B)

另外，模型B對(duì)應(yīng)的誤差中仍殘留一定幅值的殼體翻滾擾動(dòng)分量，其原因在于實(shí)際殼體翻滾軸存在回轉(zhuǎn)誤差，使失準(zhǔn)角隨殼體翻滾至不同位置而發(fā)生一定幅度的變化，而這與軸系的機(jī)械穩(wěn)定性、頂端光電傳感器光學(xué)特性以及伺服跟蹤誤差等因素息息相關(guān)。

4 結(jié) 論

對(duì)殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差進(jìn)行建模、標(biāo)定和補(bǔ)償是解決由殼體翻滾造成的慣導(dǎo)系統(tǒng)速度和姿態(tài)擾動(dòng)問(wèn)題的有效措施。針對(duì)速度和姿態(tài)中殼體翻滾周期擾動(dòng)分量的幅值隨冗余角變化量增加而增長(zhǎng)的問(wèn)題，根據(jù)殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差矢量的幾何投影關(guān)系以及框架伺服系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)跟蹤陀螺的工作原理，建立P系與G系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，并分析冗余角變化引入的交叉耦合影響。理論、仿真和實(shí)際試驗(yàn)均表明：采用考慮冗余角變化的模型進(jìn)行殼體翻滾失準(zhǔn)角誤差補(bǔ)償之后，東向速度、橫搖角和航向誤差中殼體翻滾周期分量的幅值十天可減小30%～50%，具有工程應(yīng)用價(jià)值；所述理論對(duì)系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

（

）：

[1] Wang X, Wu J, Xu T, et al. Analysis and verification of rotation modulation effects on inertial navigation system based on MEMS sensors[J]. Journal of Navigation, 2013, 66(5): 751-772.

[2] Nie Q, Gao X Y, Liu Z. Research on accuracy improvement of INS with continuous rotation[C]//International Conference on Information and Automation. 2009: 870-874.

[3] 高鐘毓. 慣性導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2012：321-322.

[4] 張和杰，常國(guó)賓. 旋轉(zhuǎn)調(diào)制式捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差分析[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，23(5)：55-59.

ZHANG H J, CHANG G B. Error analysis of rotation modulating strapdown inertial navigation system[J]. Journal of Naval University of Engineering, 2011, 23(5): 55-59.

[5] Ben Y Y, Yang X L, Wu X, et al. The restrain theory of gyro constant error with rotation modulation[J]. Advanced Materials Research, 2012, 566: 313-316.

[6] Zhou Y, Deng Z H, Wang B, et al. Moving base disturbance suppression method of rotary INS based on rotation angular rate[C]//2013 9th Asian Control Conference. IEEE, New York, 2013: 1-5.

[7] 胡佩達(dá)，高鐘毓，吳秋平，等. 基于擾動(dòng)比力的殼體翻滾失準(zhǔn)角辨識(shí)[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，50(9)：1472-1475.

HU P D, GAO Z Y, WU Q P, et al. Identification of misalignment angles of a gyro case rotation axis based on disturbed specific forces[J]. Journal of Tsinghua University(Science and Technology), 2010, 50(9): 1472-1475.

[8] 胡佩達(dá)，高鐘毓，吳秋平，等. 殼體翻滾失準(zhǔn)角模型最小二乘辨識(shí)方法[J]. 中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，17(4)：393-396.

HU P D, GAO Z Y, WU Q P, et al. Least squares method identification of the error angle of case rotation axis[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2009, 17(4): 393-396.

Accurate compensation for case rolling misalignment angle in space-stable systems

HE Qian-en, GAO Zhong-yu, WU Qiu-ping
(Department of Precision Instruments, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

While Case rolling is one of the techniques for improving long term accuracy of space-stable systems, its non-alignment errors would cause velocity and attitude disturbances. Modeling, calibrating and compensating the non-alignments is an effective solution. Cross coupling effect due to redundancy angle variation should be considered in compensating high-accuracy long-time inertial navigation systems. In this paper, the coordinate transformation between physical platform frame (P frame) and tri-axial gyroscope frame (G frame) is established based on the geometric projection of case rolling non-alignment angle error vectors, and the cross coupling effect is analyzed. Simulation and test results show that, due to redundancy angle, there exist periodic components of polar case rolling in z-axis angular motion of P frame with respect to G frame, whose amplitude equals the product of non-alignment angle and tangent of redundancy angle. The errors of east velocity, roll and yaw can be reduced by 30%-50% in ten days with the proposed error compensation model.

space-stable systems; case rolling non-alignment angles; error compensation; redundancy angle; cross coupling effect

聯(lián) 系 人：高鐘毓（1936—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail∶ gaozy@mail.tsinghua.edu.cn

1005-6734(2014)05-0572-04

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.003

U666.1

A

2014-05-22；

2014-08-26

總裝“十二五”預(yù)研項(xiàng)目（51309030401）

何虔恩（1985—），男，博士后，研究方向?yàn)閷?dǎo)航系統(tǒng)與控制。E-mail：heqianen2005@126.com