黃艷俠

1. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用

例1 下面是一家快餐店所有工作人員（共7人）一周的工資表：

[總經(jīng)理＼&大廚＼&二廚＼&采購員＼&雜工＼&服務(wù)員＼&會計＼&3000元＼&450元＼&350元＼&400元＼&320元＼&320元＼&410元＼&]

（1）計算所有人員一周的平均工資；

（2）計算出的平均工資能反映一般工作人員一周的收入水平嗎？

（3）去掉總經(jīng)理的工資后，再計算剩余人員的平均工資，這能代表一般工作人員一周的收入水平嗎？

分析 平均工資[x=750]元，而總經(jīng)理工資偏高，不能反映所有工作人員的收入水平，因此應(yīng)去掉總經(jīng)理的工資.平均工資[x=375]元能反映一般員工的收入水平.

解 （1）平均工資即為該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

[x=17×（3000+450+350+400+320+320+410）]

[=17×5250=750]（元）.

（2）由于總經(jīng)理的工資明顯偏高，所以該值為極端值，因此由（1）所得的平均工資不能反映一般工作人員一周的收入水平.

（3）除去總經(jīng)理的工資后，其他工作人員的平均工資為

[x=16×（450+350+400+320+320+410）][=375]（元）.

該平均工資能代表一般工作人員一周的收入水平.

點(diǎn)撥 平均數(shù)受個別極端數(shù)據(jù)（比其它數(shù)據(jù)大很多，或小很多的數(shù)據(jù)）影響大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時，平均數(shù)對總體估計的可靠性較差，往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也用剔除最大值與最小值所得的平均數(shù)去估計總體.

2. 根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

例2 某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.

[50 60 70 80 90 100][分?jǐn)?shù)（分）][頻率

組距][0.040

0.030

0.015

0.010

0.005]

求：（1）高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；

（2）高一參賽學(xué)生的平均成績.

分析 根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系計算.

解 （1）由圖可知眾數(shù)為65，

又∵第一個小矩形的面積為0.3，

∴設(shè)第二個小矩形底邊的一部分長為[x]，

則[x×0.04=0.2]，得[x=5].

∴中位數(shù)為60+5=65.

（2）依題意，平均成績?yōu)?/p>

55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，

∴平均成績約為67.

點(diǎn)撥 （1）利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征：①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn).②中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等.③平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

3. 莖葉圖的應(yīng)用

例3 某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢?/p>

甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538

乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531

（1）用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績；

（2）分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分.

分析 （1）將十位與百位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，逐一統(tǒng)計；（2）根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù)，得出結(jié)論.

解 （1）兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示.

[甲 乙][ 2 51 5

2 8 52 1 7

8 4 6 53 2 6 1

1 9 54 3 8

6 4 55 8 9]

（2）將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為：

甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556

乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559

從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為

[536+5382]=537，

乙學(xué)生成績的中位數(shù)為[532+5362]=534.

甲學(xué)生成績的平均數(shù)為

500+[12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610]

=537.

乙學(xué)生成績的平均數(shù)為

500+[15+21+27+31+32+36+43+48+58+5910]

=537.

點(diǎn)撥 （1）莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況.

（2）莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計總體情況.

4. 用折線圖中樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

例4 甲、乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.

[得分][次數(shù)][甲

乙][第一次][第二次][第三次][第四次][第五次][16

15

14

13

12

11

10]

（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.

分析 （1）先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙兩人的成績；（2）利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價.

解 （1）由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為：

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

[x]甲=[10+13+12+14+165]=13，

[x]乙=[13+14+12+12+145]=13，

[s甲2]=[15][（10-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（14-13）2+（16-13）2]=4，

[s乙2]=[15][（13-13）2+（14-13）2+（12-13）2+（12-13）2+（14-13）2]=0.8.

（2）由[s甲2>s乙2]可知乙的成績較穩(wěn)定.

從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.

點(diǎn)撥 （1）平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.

（2）平均數(shù)、方差的公式推廣：

①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.

a.數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也為s2；

b.數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.

1. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用

例1 下面是一家快餐店所有工作人員（共7人）一周的工資表：

[總經(jīng)理＼&大廚＼&二廚＼&采購員＼&雜工＼&服務(wù)員＼&會計＼&3000元＼&450元＼&350元＼&400元＼&320元＼&320元＼&410元＼&]

（1）計算所有人員一周的平均工資；

（2）計算出的平均工資能反映一般工作人員一周的收入水平嗎？

（3）去掉總經(jīng)理的工資后，再計算剩余人員的平均工資，這能代表一般工作人員一周的收入水平嗎？

分析 平均工資[x=750]元，而總經(jīng)理工資偏高，不能反映所有工作人員的收入水平，因此應(yīng)去掉總經(jīng)理的工資.平均工資[x=375]元能反映一般員工的收入水平.

解 （1）平均工資即為該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

[x=17×（3000+450+350+400+320+320+410）]

[=17×5250=750]（元）.

（2）由于總經(jīng)理的工資明顯偏高，所以該值為極端值，因此由（1）所得的平均工資不能反映一般工作人員一周的收入水平.

（3）除去總經(jīng)理的工資后，其他工作人員的平均工資為

[x=16×（450+350+400+320+320+410）][=375]（元）.

該平均工資能代表一般工作人員一周的收入水平.

點(diǎn)撥 平均數(shù)受個別極端數(shù)據(jù)（比其它數(shù)據(jù)大很多，或小很多的數(shù)據(jù)）影響大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時，平均數(shù)對總體估計的可靠性較差，往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也用剔除最大值與最小值所得的平均數(shù)去估計總體.

2. 根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

例2 某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.

[50 60 70 80 90 100][分?jǐn)?shù)（分）][頻率

組距][0.040

0.030

0.015

0.010

0.005]

求：（1）高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；

（2）高一參賽學(xué)生的平均成績.

分析 根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系計算.

解 （1）由圖可知眾數(shù)為65，

又∵第一個小矩形的面積為0.3，

∴設(shè)第二個小矩形底邊的一部分長為[x]，

則[x×0.04=0.2]，得[x=5].

∴中位數(shù)為60+5=65.

（2）依題意，平均成績?yōu)?/p>

55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，

∴平均成績約為67.

點(diǎn)撥 （1）利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征：①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn).②中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等.③平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

3. 莖葉圖的應(yīng)用

例3 某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢?/p>

甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538

乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531

（1）用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績；

（2）分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分.

分析 （1）將十位與百位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，逐一統(tǒng)計；（2）根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù)，得出結(jié)論.

解 （1）兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示.

[甲 乙][ 2 51 5

2 8 52 1 7

8 4 6 53 2 6 1

1 9 54 3 8

6 4 55 8 9]

（2）將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為：

甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556

乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559

從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為

[536+5382]=537，

乙學(xué)生成績的中位數(shù)為[532+5362]=534.

甲學(xué)生成績的平均數(shù)為

500+[12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610]

=537.

乙學(xué)生成績的平均數(shù)為

500+[15+21+27+31+32+36+43+48+58+5910]

=537.

點(diǎn)撥 （1）莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況.

（2）莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計總體情況.

4. 用折線圖中樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

例4 甲、乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.

[得分][次數(shù)][甲

乙][第一次][第二次][第三次][第四次][第五次][16

15

14

13

12

11

10]

（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.

分析 （1）先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙兩人的成績；（2）利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價.

解 （1）由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為：

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

[x]甲=[10+13+12+14+165]=13，

[x]乙=[13+14+12+12+145]=13，

[s甲2]=[15][（10-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（14-13）2+（16-13）2]=4，

[s乙2]=[15][（13-13）2+（14-13）2+（12-13）2+（12-13）2+（14-13）2]=0.8.

（2）由[s甲2>s乙2]可知乙的成績較穩(wěn)定.

從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.

點(diǎn)撥 （1）平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.

（2）平均數(shù)、方差的公式推廣：

①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.

a.數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也為s2；

b.數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.

1. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用

例1 下面是一家快餐店所有工作人員（共7人）一周的工資表：

[總經(jīng)理＼&大廚＼&二廚＼&采購員＼&雜工＼&服務(wù)員＼&會計＼&3000元＼&450元＼&350元＼&400元＼&320元＼&320元＼&410元＼&]

（1）計算所有人員一周的平均工資；

（2）計算出的平均工資能反映一般工作人員一周的收入水平嗎？

（3）去掉總經(jīng)理的工資后，再計算剩余人員的平均工資，這能代表一般工作人員一周的收入水平嗎？

分析 平均工資[x=750]元，而總經(jīng)理工資偏高，不能反映所有工作人員的收入水平，因此應(yīng)去掉總經(jīng)理的工資.平均工資[x=375]元能反映一般員工的收入水平.

解 （1）平均工資即為該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

[x=17×（3000+450+350+400+320+320+410）]

[=17×5250=750]（元）.

（2）由于總經(jīng)理的工資明顯偏高，所以該值為極端值，因此由（1）所得的平均工資不能反映一般工作人員一周的收入水平.

（3）除去總經(jīng)理的工資后，其他工作人員的平均工資為

[x=16×（450+350+400+320+320+410）][=375]（元）.

該平均工資能代表一般工作人員一周的收入水平.

點(diǎn)撥 平均數(shù)受個別極端數(shù)據(jù)（比其它數(shù)據(jù)大很多，或小很多的數(shù)據(jù)）影響大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時，平均數(shù)對總體估計的可靠性較差，往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也用剔除最大值與最小值所得的平均數(shù)去估計總體.

2. 根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

例2 某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.

[50 60 70 80 90 100][分?jǐn)?shù)（分）][頻率

組距][0.040

0.030

0.015

0.010

0.005]

求：（1）高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；

（2）高一參賽學(xué)生的平均成績.

分析 根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系計算.

解 （1）由圖可知眾數(shù)為65，

又∵第一個小矩形的面積為0.3，

∴設(shè)第二個小矩形底邊的一部分長為[x]，

則[x×0.04=0.2]，得[x=5].

∴中位數(shù)為60+5=65.

（2）依題意，平均成績?yōu)?/p>

55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，

∴平均成績約為67.

點(diǎn)撥 （1）利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征：①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn).②中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等.③平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

3. 莖葉圖的應(yīng)用

例3 某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢?/p>

甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538

乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531

（1）用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績；

（2）分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分.

分析 （1）將十位與百位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，逐一統(tǒng)計；（2）根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù)，得出結(jié)論.

解 （1）兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示.

[甲 乙][ 2 51 5

2 8 52 1 7

8 4 6 53 2 6 1

1 9 54 3 8

6 4 55 8 9]

（2）將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為：

甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556

乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559

從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為

[536+5382]=537，

乙學(xué)生成績的中位數(shù)為[532+5362]=534.

甲學(xué)生成績的平均數(shù)為

500+[12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610]

=537.

乙學(xué)生成績的平均數(shù)為

500+[15+21+27+31+32+36+43+48+58+5910]

=537.

點(diǎn)撥 （1）莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況.

（2）莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計總體情況.

4. 用折線圖中樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

例4 甲、乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.

[得分][次數(shù)][甲

乙][第一次][第二次][第三次][第四次][第五次][16

15

14

13

12

11

10]

（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.

分析 （1）先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙兩人的成績；（2）利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價.

解 （1）由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為：

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

[x]甲=[10+13+12+14+165]=13，

[x]乙=[13+14+12+12+145]=13，

[s甲2]=[15][（10-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（14-13）2+（16-13）2]=4，

[s乙2]=[15][（13-13）2+（14-13）2+（12-13）2+（12-13）2+（14-13）2]=0.8.

（2）由[s甲2>s乙2]可知乙的成績較穩(wěn)定.

從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.

點(diǎn)撥 （1）平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.

（2）平均數(shù)、方差的公式推廣：

①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.

a.數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也為s2；

b.數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.