混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式期權(quán)定價

2014-10-27 08:40陳飛躍等

經(jīng)濟數(shù)學 2014年3期

陳飛躍等

摘要假設(shè)股票價格變化過程服從混合分數(shù)布朗運動，建立了混合分數(shù)布朗環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式股票期權(quán)的定價模型.利用混合分數(shù)布朗運動的It公式，將支付連續(xù)紅利的歐式股票期權(quán)的定價問題轉(zhuǎn)化為一個偏微分方程，通過偏微分方程求解獲得了混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式股票看漲期權(quán)的定價公式.

關(guān)鍵詞混合分數(shù)布朗運動，歐式期權(quán)，期權(quán)定價

中圖分類號 F830.91 文獻標識碼 A

Pricing European Option in the Mixed Fractional

Brownian Motion Environment

CHEN Feiyue1，2，YANG Yong2，GONG Haiwen3

（1.School of business， Central South University，Changsha， Hunan 410083， China；

2. Insurance Professional College， Changsha， Hunan 410114， China； 3. School of mathematics and Computational Science，

Changsha University of Science and Technology， Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract Assuming that the process of stock price follows the mixed fractional Brownian motion，this paper constructed the pricing model for European option of stock paying continuous dividend under mixed fractional Brownian motion environment. The problem of pricing European option of stock paying continuous dividend was changed into the question of partial differential equation by using mixed fractional It formula. The pricing formula of European call option of stock paying continuous dividend in mixed fractional Brownian motion environment was obtained by solving partial differential equation.

Key words mixed fractional Brownian motion；European option；option pricing

1 引言

歐式期權(quán)是一種以股票或其他金融資產(chǎn)為標的資產(chǎn)的合約，其持有者有權(quán)利但并非有義務(wù)在合約規(guī)定的某一特定時間以約定價格買入或賣出某種標的資產(chǎn).期權(quán)具有非線性收益的特征，并兼顧了投資、保值和避險的功能.

期權(quán)權(quán)定價研究一直是金融工程的核心課題.自從1973年BlackScholes[1]期權(quán)定價模型出現(xiàn)以來，其定價理論得到了空前的發(fā)展，并取得了豐碩的成果.然而近年來，對資本市場的大量實證研究表明，金融資產(chǎn)（如股票）的對數(shù)收益率并非服從正態(tài)分布，而是服從一種“尖峰厚尾”的分布，而且金融資產(chǎn)價格也并非隨機游走，而是存在著長期相關(guān)性.由于分數(shù)布朗運動（此后記為FBM）是一種高斯過程，其所具有的加法不變性，自相似性、厚尾性以及長期相關(guān)性等性質(zhì)使得FBM成為較好的刻畫金融資產(chǎn)變化過程的工具[2].Duncan[3]等建立了一個關(guān)于分數(shù)布朗運動的基于Wick乘積的隨機積分，稱為分形It積分，在該積分下，Necula[4]給出了分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式期權(quán)在任意時刻的定價公式.Hu[5]等對Hurst指數(shù)H∈（1/2，1）的FBM情形進行了研究，獲得了FBM下的Girsanov公式、ClarkOcone混沌展開公式以及It公式等.Xiao[6]使用等價鞅測度方法研究了帶跳擴散的分數(shù)布朗運動下的歐式匯率期權(quán)定價問題，并獲得了歐式匯率期權(quán)的解析定價公式.我國學者在分數(shù)布朗運動下的期權(quán)定價研究方面也作出了不少貢獻.肖艷清、鄒捷中[7]將經(jīng)典模型中的計價單位變換方法推廣到分數(shù)布朗運動市場環(huán)境，給出了分數(shù)布朗運動下期權(quán)定價公式的新的推導(dǎo)方法.梅正陽、楊玉孔[8]研究了一類Hurst指數(shù)H∈（1/2，1）的分數(shù)布朗運動模型，通過鞅測度變換獲得了分數(shù)布朗運動下的期權(quán)定價控制方程和歐式期權(quán)的解析公式.張衛(wèi)國、肖煒麟、徐偉軍、張惜麗[9]應(yīng)用風險偏好和均衡定價方法，研究了標的資產(chǎn)服從分數(shù)布朗運動下的匯率期權(quán)定價問題，給出了分數(shù)歐式匯率期權(quán)的閉式解.林漢燕[10]運用偏微分方程方法推導(dǎo)了分數(shù)布朗運動下支付紅利的歐式看跌期權(quán)價格的顯式解.

然而，Bjrk和Hurt[11]研究表明分數(shù)布朗運動在刻畫金融資產(chǎn)價格的波動時仍存在一些不足，如基于Wick積分的分數(shù)布朗運動在金融中的應(yīng)用會受到限制，同時定義一個合適的關(guān)于分數(shù)布朗運動的隨機積分是比較困難的.另外，在金融中應(yīng)用分數(shù)布朗運動的主要問題是分數(shù)布朗運動不是一個半鞅.為了避免這些問題，并考慮金融資產(chǎn)價格過程的長記憶特性，使用混合分數(shù)布朗運動來刻畫金融資產(chǎn)的波動是合理的[12，13].混合分數(shù)布朗運動是一族高斯過程，它是布朗運動與分數(shù)布朗運動的線性組合.當參數(shù)H>1/2時，混合分數(shù)布朗運動是一個特殊的長記憶過程.在經(jīng)濟學中首次使用混合分數(shù)布朗運動的學者是P.Cheriditio[14].最近，Sun[15]研究了混合分數(shù)布朗環(huán)境中的歐式匯率期權(quán)的定價問題，而且實證研究和模擬結(jié)果表明混合分數(shù)布朗運動定價模型是一個合理的模型.孫玉東、師義民[16]運用混合分數(shù)布朗運動的It公式，通過偏微分方程求解獲得了幾何平均型亞式期權(quán)看漲期權(quán)的定價公式.

目前，運用混合分數(shù)布朗運動模型研究期權(quán)定價問題的文獻還很少，特別是在國內(nèi)還尚未有學者做過關(guān)于混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付紅利的股票期權(quán)定價方面的研究.本文探討了股票價格遵循混合分數(shù)布朗運動下支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)定價問題，首先利用混合分數(shù)布朗運動的It公式，將股票支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)的定價問題轉(zhuǎn)化為一個偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價公式.

2 預(yù)備知識

2.1 定義

5 結(jié)論與展望

本文采用混合分數(shù)布朗運動刻畫股票價格的變化過程，研究了混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的定價模型，通過求解偏微分方程得到了期權(quán)定價公式的顯示解，從而將分數(shù)布朗運動的期權(quán)定價模型進行了改進.但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡化模型而所作的一些假設(shè)顯然與現(xiàn)實有出入，且模型中沒有考慮金融市場中人的行為等因素，證券市場實際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現(xiàn)出來，所以模型有待進一步改進和修正.如何將更多的因素統(tǒng)一到定價模型中期待更多的學者深入研究.目前，國外已有學者嘗試采用隨機模糊理論對期權(quán)等金融衍生品進行定價，從而為期權(quán)定價開辟了新的方法途徑.

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