如何靈活應(yīng)用垂徑定理及其推論

杭靜

垂徑定理及其推論，主要應(yīng)用于研究直徑與同圓中的弦、弧之間的垂直平分關(guān)系，其內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但要靈活應(yīng)用卻非易事.現(xiàn)舉例說(shuō)明.

1. 利用垂徑平分弦所對(duì)的弧構(gòu)成相等的圓心（周）角

例1 （2013·廣西梧州）如圖1，AB是☉O的直徑，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，則∠ABD=（ ）.

A. 20° B. 46°

C. 55° D. 70°

【解析】連接OD，∵AB垂直于弦CD，∴=，∠BOD=∠BOC=70°；∵OB=OD，∴∠ABD=×（180°-70°）=55°，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】圓中通常把圓周角和圓心角以及它們所對(duì)的弧的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，怎么轉(zhuǎn)換需要根據(jù)題目的要求來(lái)確定.

2. 利用垂徑垂直平分弦，構(gòu)成等線段

例2 （2013·湖北黃石）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，因?yàn)椤螦CB=90°，AC=3，BC=4，則AB=5；因?yàn)锳C×BC=AB×CF，所以CF=；因?yàn)锳C=3，在Rt△ACF中，利用勾股定理可求得：AF=，因?yàn)锳F=FD，所以AD=，故選擇C.

【點(diǎn)評(píng)】在有關(guān)圓的計(jì)算問(wèn)題中，當(dāng)求圓的一條弦的長(zhǎng)時(shí)，常常要考慮垂徑定理的應(yīng)用.本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、面積法、勾股定理等知識(shí)，能正確地作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

3. 利用垂徑垂直弦，構(gòu)造特殊四邊形

例3 （2013·四川自貢）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，☉A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，已知B（8，0），C（0，6），則☉A的半徑為（ ）.

A. 3 B. 4

C. 5 D. 8

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸、AE⊥y軸，垂足分別為D、E. ∵B（8，0），C（0，6），∴OB=8，OC=6，∴OD=4，OE=3，∵∠BOC=∠ADO=∠AEO=90°，∴四邊形ADOE是矩形，∴AD=OE=3，∴AO===5. 故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面直角坐標(biāo)系、垂徑定理、矩形的判定等知識(shí).找出直徑或半徑是解答本題的關(guān)鍵.

4. 利用垂徑垂直弦，構(gòu)造特殊三角形

例4 （ 2013·黑龍江牡丹江）在半徑為13的☉O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距離為7，若AB=24，則CD的長(zhǎng)為（ ）.

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

【解析】連接OA，OC. 過(guò)O作直線EF⊥CD于E，交AB于F，則EF⊥AB. ∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF=AB=12，CE=CD. 在 Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理，得OF==5. ①當(dāng)AB和CD在圓心的兩側(cè)時(shí)，如圖4，則OE=EF-OF=2，在Rt△COE中，據(jù)勾股定理，得CE==，CD=2；②當(dāng)AB和CD在圓心的同側(cè)時(shí)，如圖5，則OE=EF+OF=12，在Rt△COE中，據(jù)勾股定理，得CE==5，CD=10. 則CD的長(zhǎng)為10或2. 選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理和勾股定理，作輔助線構(gòu)造應(yīng)用垂徑定理和勾股定理的基本圖形是關(guān)鍵. 由于本題沒(méi)有畫(huà)出圖形，所以兩弦的位置有兩種可能：兩弦在圓心的同側(cè)或兩弦在圓心的兩側(cè).

小試身手

1. AB是☉O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2 cm，OC=1 cm，則☉O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____ cm.

2. 圓的半徑為13 cm，兩弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，則兩弦AB，CD的距離是（ ）.

A. 7 cm B. 17 cm

C. 12 cm D. 7 cm或17 cm

（作者單位：江蘇省興化市第一中學(xué)）