朱 瑩，李建龍，張生華

(揚州職業(yè)大學，江蘇揚州 225009)

中國的古塔，融合了中國古代建筑樓、臺、亭、閣的精華，是中外文明的交匯與升華。中國是世界上建塔最多的國家，現(xiàn)存的古塔就有上萬座，這些古建筑的存在表明了人類歷史的連續(xù)性和人類文化的積累。古塔由于長時間承受自重、氣溫、風力等各種作用，偶然還要受地震、颶風的影響，古塔會產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等［1］。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。

1 問題的提出

某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測，相關(guān)數(shù)據(jù)見有關(guān)網(wǎng)站［2］。2013“高教社杯”數(shù)學建模競賽要求:首先給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標;接著分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況;進而分析該塔的變形趨勢，為決策部門提供依據(jù)。

題目提供的附件中有四次不同時間觀測數(shù)據(jù)，要給出確定古塔各層中心的通用方法，可以平均值求出。對于變形情況，可以分別研究古塔傾斜、彎曲、扭曲三種情況。傾斜是整體發(fā)生偏離豎向或者水平方向的轉(zhuǎn)動，彎曲是指一個物體在外力下偏離中心的軸線的狀態(tài)。根據(jù)相關(guān)文獻［3］，假定古塔的彎曲呈現(xiàn)拋物線趨勢，通過數(shù)據(jù)進行擬合并得到方程，可以確定彎曲情況。扭曲是指線狀物體發(fā)生橫截面方向順(逆)時針扭轉(zhuǎn)的狀態(tài)。以1986年為基礎(chǔ)點，并通過和其他年份以及塔層的計算，最終得到42個扭曲角度，即為扭曲的變形情況。在此基礎(chǔ)上予以進一步合理的分析古塔今后的變形趨勢。建于1056年的山西應(yīng)縣佛光寺釋邇塔是我國現(xiàn)存最大的古塔，外形呈八角形，所以可以假定古塔是八邊形的;并且古塔彎曲呈拋物線形狀;在計算扭曲時弧長和圓上兩點間的距離是相等的。

2 模型建立和求解

2.1 確定古塔各年份各層中心位置

因為測繪數(shù)據(jù)所提供的8個點是對稱分布的，假設(shè)古塔為正八邊形，然后用相應(yīng)的中點坐標公式求出古塔每層的中心位置，具體見表1。

表1 四個年份每層的中心點

2.2 古塔的傾斜、彎曲、扭曲

2.2.1 古塔的傾斜

需要在兩個方向考慮古塔傾斜的問題，分別為南北方向、東西方向，進行分別計算傾斜角度。

從表2中數(shù)據(jù)可以看出古塔向南、向西傾斜逐年增加，但傾斜度變化不是十分明顯。

表2 四個年份古塔傾斜情況

2.2.2 古塔的彎曲度擬合

用最小二乘法分別擬合1986年、1996年、2009年、2011年的古塔在 yoz平面內(nèi)彎曲曲線［4，5］，見圖 1 － 圖 4。

圖1 1986年古塔的彎曲度曲線

圖2 1996年古塔的彎曲度曲線

圖3 2009年古塔的彎曲度曲線

圖4 2011年古塔的彎曲度曲線

從以上圖形可以看出1986年和1996年古塔是彎曲度相似，大致底層與塔身高層的彎曲度大;2009年總體是穩(wěn)定的，2011年越往上彎曲的曲率越大，目前古塔的形狀沒有明顯的突變。

2.2.3 古塔的曲率

表3 四個年份古塔的彎曲曲率值

1986年和1996年底層和第13層彎曲度較大，2009年依然是底部曲率較大，2011年從底層往上彎曲度逐漸增大。

2.2.4 古塔的扭曲度

相對1986年的數(shù)據(jù)，算出逐年塔身相鄰兩層的扭曲度，計算公式為|α|=。計算結(jié)果見表4。從三組數(shù)據(jù)可以看出，從1986年到1996古塔各層的扭曲并不明顯，2009年以后古塔自身扭曲有加大的趨勢，但并不十分明顯，可以在觀測的時候多加關(guān)注。

表4 三個年份古塔扭曲度

3 模型評價與改進

綜上所述，古塔目前的傾斜基本是穩(wěn)定的，彎曲度也基本上沒有十分明顯變化，唯有扭曲度略有增加，需要進一步的注意觀察。古塔一般都經(jīng)歷了自然界幾百甚至上千年的風風雨雨，本文嘗試通過有關(guān)數(shù)學模型將監(jiān)測的數(shù)據(jù)具體化，并采取從整體到部分，運用相關(guān)數(shù)學模型，同時通過大量的數(shù)據(jù)計算、總結(jié)與歸納，從而給相關(guān)部門的決策提供依據(jù)。

［1］金磊.漫話全球的古建筑與古塔的保護［J］.今日科苑，1996(3):15－16.

［2］2013年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽賽題［EB/OL］.(2013－03－09)［2013－09－14］.http://www.mcm.edu.cn/problem/2013/cumcm2013 problems.rar.

［3］高凱.立木樹干彎曲度自動識別方法的研究［D］.北京:北京林業(yè)大學，2007.

［4］丁大正.科學計算強檔Mathematica4教程［M］.北京:電子電子工業(yè)出版社，2002.

［5］曹瑞成，姜海勤.大學數(shù)學［M］.蘇州:蘇州大學出版社，2011.