正互反矩陣在層次分析法中的運用

左連萍

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關(guān)定義結(jié)論，通過層次分析法的簡單介紹指出正互反矩陣在其中的運用。

關(guān)鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號：N94 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關(guān)定義、結(jié)論

定義1 設(shè)階矩陣，如果滿足以下條件：

（?。?/p>

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據(jù)定義1，顯然可以推出當(dāng)時。

定義2 對于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對于正互反矩陣，若隨機一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設(shè)是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻(xiàn)1）

2 層次分析法

20世紀(jì)70年代，美國匹茲堡大學(xué)教授沙丁（T.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，在應(yīng)用上具有系統(tǒng)性、實用性、適應(yīng)性、實用性的優(yōu)點，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應(yīng)用上可信、靈活而且實用，它在理論上也存在原理簡單、結(jié)構(gòu)層次明確、理論基礎(chǔ)扎實的優(yōu)點，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時不夠精；一致性檢驗和調(diào)整要反復(fù)多次進(jìn)行，直到獲得滿意的一致性準(zhǔn)等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環(huán)境問題、安全問題等多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

總之，對于層次分析法來說，把定性和定量分析相結(jié)合是其最大的特點，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進(jìn)行決策的系統(tǒng)分析，是一種實用性強，而且簡潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對所要研究的問題進(jìn)行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關(guān)系。

第二步：建立層次結(jié)構(gòu)模型

經(jīng)過調(diào)查、研究、分析，將相關(guān)的各個因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個層次排列，在同一層次中的各個因素對自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標(biāo)層，通常只有一個因素，它表示所要解決問題應(yīng)達(dá)到的目的；中間層可有一個或幾個層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構(gòu)造判斷矩陣

構(gòu)造判斷矩陣是從層次結(jié)構(gòu)第二層次開始，用1—9比較尺度構(gòu)造對于從屬于（或影響）上一層每個因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個影響因素，則由此構(gòu)造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對而言，對相對重要性的比較數(shù)值，數(shù)值是由1～9數(shù)字及其倒數(shù)組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗

此步驟是對上一步驟中建立的判斷矩陣計算特征根和特征向量。具體方法是首先計算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對應(yīng)得特征向量，此特征向量即為本層次中各個因素的重要性次序的排序權(quán)值。

對于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來檢驗判斷矩陣是否一致性。

3 結(jié)語

通過對正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個步驟中用1—9比較尺度構(gòu)造判斷矩陣，構(gòu)造此判斷矩陣就是構(gòu)造一個正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗是進(jìn)行層次分析法的關(guān)鍵步驟——排序。排序的結(jié)果就是對第三步驟中構(gòu)造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進(jìn)行一致性檢驗。在層次分析法中當(dāng)正互反判斷矩陣的一致性檢驗不合格，排序的結(jié)果可靠性就不強，故要對正互反判斷矩陣取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，直至檢驗合格，具體調(diào)整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎(chǔ)，有了強有力的理論支持，使得學(xué)者方便進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2001（1）.

[2] 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1990.endprint

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關(guān)定義結(jié)論，通過層次分析法的簡單介紹指出正互反矩陣在其中的運用。

關(guān)鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號：N94 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關(guān)定義、結(jié)論

定義1 設(shè)階矩陣，如果滿足以下條件：

（?。?/p>

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據(jù)定義1，顯然可以推出當(dāng)時。

定義2 對于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對于正互反矩陣，若隨機一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設(shè)是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻(xiàn)1）

2 層次分析法

20世紀(jì)70年代，美國匹茲堡大學(xué)教授沙?。═.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，在應(yīng)用上具有系統(tǒng)性、實用性、適應(yīng)性、實用性的優(yōu)點，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應(yīng)用上可信、靈活而且實用，它在理論上也存在原理簡單、結(jié)構(gòu)層次明確、理論基礎(chǔ)扎實的優(yōu)點，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時不夠精；一致性檢驗和調(diào)整要反復(fù)多次進(jìn)行，直到獲得滿意的一致性準(zhǔn)等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環(huán)境問題、安全問題等多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

總之，對于層次分析法來說，把定性和定量分析相結(jié)合是其最大的特點，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進(jìn)行決策的系統(tǒng)分析，是一種實用性強，而且簡潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對所要研究的問題進(jìn)行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關(guān)系。

第二步：建立層次結(jié)構(gòu)模型

經(jīng)過調(diào)查、研究、分析，將相關(guān)的各個因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個層次排列，在同一層次中的各個因素對自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標(biāo)層，通常只有一個因素，它表示所要解決問題應(yīng)達(dá)到的目的；中間層可有一個或幾個層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構(gòu)造判斷矩陣

構(gòu)造判斷矩陣是從層次結(jié)構(gòu)第二層次開始，用1—9比較尺度構(gòu)造對于從屬于（或影響）上一層每個因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個影響因素，則由此構(gòu)造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對而言，對相對重要性的比較數(shù)值，數(shù)值是由1～9數(shù)字及其倒數(shù)組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗

此步驟是對上一步驟中建立的判斷矩陣計算特征根和特征向量。具體方法是首先計算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對應(yīng)得特征向量，此特征向量即為本層次中各個因素的重要性次序的排序權(quán)值。

對于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來檢驗判斷矩陣是否一致性。

3 結(jié)語

通過對正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個步驟中用1—9比較尺度構(gòu)造判斷矩陣，構(gòu)造此判斷矩陣就是構(gòu)造一個正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗是進(jìn)行層次分析法的關(guān)鍵步驟——排序。排序的結(jié)果就是對第三步驟中構(gòu)造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進(jìn)行一致性檢驗。在層次分析法中當(dāng)正互反判斷矩陣的一致性檢驗不合格，排序的結(jié)果可靠性就不強，故要對正互反判斷矩陣取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，直至檢驗合格，具體調(diào)整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎(chǔ)，有了強有力的理論支持，使得學(xué)者方便進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2001（1）.

[2] 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1990.endprint

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關(guān)定義結(jié)論，通過層次分析法的簡單介紹指出正互反矩陣在其中的運用。

關(guān)鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號：N94 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關(guān)定義、結(jié)論

定義1 設(shè)階矩陣，如果滿足以下條件：

（ⅰ）

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據(jù)定義1，顯然可以推出當(dāng)時。

定義2 對于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對于正互反矩陣，若隨機一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設(shè)是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻(xiàn)1）

2 層次分析法

20世紀(jì)70年代，美國匹茲堡大學(xué)教授沙?。═.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，在應(yīng)用上具有系統(tǒng)性、實用性、適應(yīng)性、實用性的優(yōu)點，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應(yīng)用上可信、靈活而且實用，它在理論上也存在原理簡單、結(jié)構(gòu)層次明確、理論基礎(chǔ)扎實的優(yōu)點，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時不夠精；一致性檢驗和調(diào)整要反復(fù)多次進(jìn)行，直到獲得滿意的一致性準(zhǔn)等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環(huán)境問題、安全問題等多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

總之，對于層次分析法來說，把定性和定量分析相結(jié)合是其最大的特點，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進(jìn)行決策的系統(tǒng)分析，是一種實用性強，而且簡潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對所要研究的問題進(jìn)行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關(guān)系。

第二步：建立層次結(jié)構(gòu)模型

經(jīng)過調(diào)查、研究、分析，將相關(guān)的各個因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個層次排列，在同一層次中的各個因素對自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標(biāo)層，通常只有一個因素，它表示所要解決問題應(yīng)達(dá)到的目的；中間層可有一個或幾個層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構(gòu)造判斷矩陣

構(gòu)造判斷矩陣是從層次結(jié)構(gòu)第二層次開始，用1—9比較尺度構(gòu)造對于從屬于（或影響）上一層每個因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個影響因素，則由此構(gòu)造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對而言，對相對重要性的比較數(shù)值，數(shù)值是由1～9數(shù)字及其倒數(shù)組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗

此步驟是對上一步驟中建立的判斷矩陣計算特征根和特征向量。具體方法是首先計算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對應(yīng)得特征向量，此特征向量即為本層次中各個因素的重要性次序的排序權(quán)值。

對于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來檢驗判斷矩陣是否一致性。

3 結(jié)語

通過對正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個步驟中用1—9比較尺度構(gòu)造判斷矩陣，構(gòu)造此判斷矩陣就是構(gòu)造一個正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗是進(jìn)行層次分析法的關(guān)鍵步驟——排序。排序的結(jié)果就是對第三步驟中構(gòu)造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進(jìn)行一致性檢驗。在層次分析法中當(dāng)正互反判斷矩陣的一致性檢驗不合格，排序的結(jié)果可靠性就不強，故要對正互反判斷矩陣取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，直至檢驗合格，具體調(diào)整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎(chǔ)，有了強有力的理論支持，使得學(xué)者方便進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2001（1）.

[2] 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1990.endprint