高中數(shù)學(xué)探求軌跡方程的常用技法

楊建茹

摘 要：軌跡方程的求解在高考中占據(jù)重要地位，軌跡問題，是每年高考必備的內(nèi)容，它注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，求軌跡方程的常用技法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、變軌法等。

關(guān)鍵詞：直接法 定義法 相關(guān)點(diǎn)法 參數(shù)法 變軌法

中圖分類號(hào)：G412 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（c）-0256-01

作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，軌跡方程的求解在高考中占據(jù)重要地位。軌跡問題，是每年高考必備的內(nèi)容，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的掌握程度?？梢?，對(duì)軌跡問題的研究是非常重要的。該+文通過典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。

1 直接法

如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成x，y的等式，就得到曲線的軌跡方程。由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法。

例1已知點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P滿足=12，求P點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)P（x，y），則=（-2-x，-y），=（2-x，y），

所以=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=-4+=12，整理得+=16為所求P點(diǎn)的軌跡方程。

注 求曲線軌跡方程的基本步驟：

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x，y）；（2）尋找動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式；（3）將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入；（4）化簡(jiǎn)整理方程；（5）證明所得方程為所求曲線的軌跡方程。通常求軌跡方程時(shí)，可以將步驟（2）和（5）省略。

2 定義法

其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

例2已知△ ABC的周長(zhǎng)為18，且B（-4，0）、C（4，0），求點(diǎn)A的軌跡方程。

解：由題知，|BC|=8，

所以 |AC|+|AB|=10>（|BC|），

所以點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）。

因?yàn)?=10，2c=8

所以=5，c=4，

由=-得b===3，

所以點(diǎn)A的軌跡方程為+=1（y≠0）。

3 相關(guān)點(diǎn)法（代換法、轉(zhuǎn)化法）

有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）而運(yùn)動(dòng)的，如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們就可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。

例3已知P在以、為焦點(diǎn)的雙曲線-=1上運(yùn)動(dòng)，求△的重心G的軌跡方程。

4 參數(shù)法

有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等）的制約，或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的x ，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法。如果需要得到軌跡的參數(shù)方程，選用的參數(shù)變量應(yīng)具有某種物理或幾何的性質(zhì)，如時(shí)間、速度、角度、直線的斜率、點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，選定參數(shù)還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍的影響。

5 變軌法

在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常通過方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求出所求軌跡的方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

例5如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線-=1于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀。

解：設(shè)及-），又（-，0），可得

直線的方程為①；

直線的方程為②.

①×②得③.

又，代入③得，

化簡(jiǎn)得，此即點(diǎn)的軌跡方程.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓。

注意：求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需要說明討論清楚。求軌跡是首先要求出軌跡方程，然后再說明方程的軌跡圖形，最后補(bǔ)漏和去掉增多的點(diǎn)，若軌跡由不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。

參考文獻(xiàn)

[1] 郝安軍.求軌跡方程的幾種方法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（10）.

[2] 梁達(dá).探究圓錐曲線的切線的交點(diǎn)軌跡問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（2）.endprint

摘 要：軌跡方程的求解在高考中占據(jù)重要地位，軌跡問題，是每年高考必備的內(nèi)容，它注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，求軌跡方程的常用技法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、變軌法等。

關(guān)鍵詞：直接法 定義法 相關(guān)點(diǎn)法 參數(shù)法 變軌法

中圖分類號(hào)：G412 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（c）-0256-01

作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，軌跡方程的求解在高考中占據(jù)重要地位。軌跡問題，是每年高考必備的內(nèi)容，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的掌握程度?？梢姡瑢?duì)軌跡問題的研究是非常重要的。該+文通過典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。

1 直接法

如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成x，y的等式，就得到曲線的軌跡方程。由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法。

例1已知點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P滿足=12，求P點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)P（x，y），則=（-2-x，-y），=（2-x，y），

所以=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=-4+=12，整理得+=16為所求P點(diǎn)的軌跡方程。

注 求曲線軌跡方程的基本步驟：

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x，y）；（2）尋找動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式；（3）將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入；（4）化簡(jiǎn)整理方程；（5）證明所得方程為所求曲線的軌跡方程。通常求軌跡方程時(shí)，可以將步驟（2）和（5）省略。

2 定義法

其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

例2已知△ ABC的周長(zhǎng)為18，且B（-4，0）、C（4，0），求點(diǎn)A的軌跡方程。

解：由題知，|BC|=8，

所以 |AC|+|AB|=10>（|BC|），

所以點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）。

因?yàn)?=10，2c=8

所以=5，c=4，

由=-得b===3，

所以點(diǎn)A的軌跡方程為+=1（y≠0）。

3 相關(guān)點(diǎn)法（代換法、轉(zhuǎn)化法）

有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）而運(yùn)動(dòng)的，如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們就可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。

例3已知P在以、為焦點(diǎn)的雙曲線-=1上運(yùn)動(dòng)，求△的重心G的軌跡方程。

4 參數(shù)法

有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等）的制約，或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的x ，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法。如果需要得到軌跡的參數(shù)方程，選用的參數(shù)變量應(yīng)具有某種物理或幾何的性質(zhì)，如時(shí)間、速度、角度、直線的斜率、點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，選定參數(shù)還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍的影響。

5 變軌法

在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常通過方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求出所求軌跡的方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

例5如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線-=1于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀。

解：設(shè)及-），又（-，0），可得

直線的方程為①；

直線的方程為②.

①×②得③.

又，代入③得，

化簡(jiǎn)得，此即點(diǎn)的軌跡方程.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓。

注意：求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需要說明討論清楚。求軌跡是首先要求出軌跡方程，然后再說明方程的軌跡圖形，最后補(bǔ)漏和去掉增多的點(diǎn)，若軌跡由不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。

參考文獻(xiàn)

[1] 郝安軍.求軌跡方程的幾種方法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（10）.

[2] 梁達(dá).探究圓錐曲線的切線的交點(diǎn)軌跡問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（2）.endprint

摘 要：軌跡方程的求解在高考中占據(jù)重要地位，軌跡問題，是每年高考必備的內(nèi)容，它注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，求軌跡方程的常用技法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、變軌法等。

關(guān)鍵詞：直接法 定義法 相關(guān)點(diǎn)法 參數(shù)法 變軌法

中圖分類號(hào)：G412 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（c）-0256-01

作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，軌跡方程的求解在高考中占據(jù)重要地位。軌跡問題，是每年高考必備的內(nèi)容，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的掌握程度?？梢?，對(duì)軌跡問題的研究是非常重要的。該+文通過典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。

1 直接法

如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成x，y的等式，就得到曲線的軌跡方程。由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法。

例1已知點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P滿足=12，求P點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)P（x，y），則=（-2-x，-y），=（2-x，y），

所以=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=-4+=12，整理得+=16為所求P點(diǎn)的軌跡方程。

注 求曲線軌跡方程的基本步驟：

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x，y）；（2）尋找動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式；（3）將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入；（4）化簡(jiǎn)整理方程；（5）證明所得方程為所求曲線的軌跡方程。通常求軌跡方程時(shí)，可以將步驟（2）和（5）省略。

2 定義法

其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

例2已知△ ABC的周長(zhǎng)為18，且B（-4，0）、C（4，0），求點(diǎn)A的軌跡方程。

解：由題知，|BC|=8，

所以 |AC|+|AB|=10>（|BC|），

所以點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）。

因?yàn)?=10，2c=8

所以=5，c=4，

由=-得b===3，

所以點(diǎn)A的軌跡方程為+=1（y≠0）。

3 相關(guān)點(diǎn)法（代換法、轉(zhuǎn)化法）

有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）而運(yùn)動(dòng)的，如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們就可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。

例3已知P在以、為焦點(diǎn)的雙曲線-=1上運(yùn)動(dòng)，求△的重心G的軌跡方程。

4 參數(shù)法

有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等）的制約，或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的x ，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法。如果需要得到軌跡的參數(shù)方程，選用的參數(shù)變量應(yīng)具有某種物理或幾何的性質(zhì)，如時(shí)間、速度、角度、直線的斜率、點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，選定參數(shù)還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍的影響。

5 變軌法

在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常通過方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求出所求軌跡的方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

例5如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線-=1于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀。

解：設(shè)及-），又（-，0），可得

直線的方程為①；

直線的方程為②.

①×②得③.

又，代入③得，

化簡(jiǎn)得，此即點(diǎn)的軌跡方程.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓。

注意：求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需要說明討論清楚。求軌跡是首先要求出軌跡方程，然后再說明方程的軌跡圖形，最后補(bǔ)漏和去掉增多的點(diǎn)，若軌跡由不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。

參考文獻(xiàn)

[1] 郝安軍.求軌跡方程的幾種方法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（10）.

[2] 梁達(dá).探究圓錐曲線的切線的交點(diǎn)軌跡問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（2）.endprint