基于并行結(jié)構(gòu)的相位恢復(fù)算法在全息激光投影中的應(yīng)用

吳廣志，張晗盛，茆文藝

（中國衛(wèi)星海上測控部，江蘇 江陰 214431）

1 引 言

全息激光投影技術(shù)作為一種新興技術(shù)，已經(jīng)越來越被人們所關(guān)注［1］。它相比傳統(tǒng)圖像技術(shù)有突出的優(yōu)勢——極為高效和安全，而且可以只在特定位置或角度顯示圖像；它不僅能實現(xiàn)傳統(tǒng)顯示器所達到的所有先進技術(shù)指標，如大屏幕、高分辨率、數(shù)字化等，而且以激光作為光源，具有波長可選擇性和高光譜亮度等特性，并擁有色域廣、色彩飽和度高等特點。全息激光投影技術(shù)需要的部件少且成像效果好，這就意味著整個投影系統(tǒng)體積可以做得很小，方便配備到移動設(shè)備上。

作為全息激光投影技術(shù)的關(guān)鍵圖像處理算法——相位恢復(fù)算法［2－3］，近年來已被人們進行了廣泛的研究，這主要是由于相位恢復(fù)在光束整形、設(shè)計光學(xué)衍射元件［4］等方面都能夠有所應(yīng)用，從光強測量中恢復(fù)光學(xué)相位的問題備受重視。迄今為止，己見很多相位恢復(fù)算法報道，它們能夠在所應(yīng)用的范圍內(nèi)取得較好的效果，比如GA算法［5］等。但是就目前的進展來看，這些相位恢復(fù)算法的收斂速率和精度都有待提高，在實際計算中它們的效果多不夠理想，甚至不能保證迭代過程總收斂到正確解。

2 全息術(shù)原理

1948年伽柏提出了一種全新的兩步無透鏡成像法—全息術(shù)，也稱為波陣面再現(xiàn)術(shù)，是利用干涉和衍射原理記錄并再現(xiàn)物體光波波前的一種技術(shù)。整個過程由兩個步驟：波陣面記錄［6－7］和波陣面再現(xiàn)來完成。

第一步是利用干涉原理記錄物體光波信息，即拍攝過程。被攝物體在激光輻照下形成漫反射式的物光束；另一部分激光作為參考光束射到全息底片上，和物光束疊加產(chǎn)生干涉，把物體光波上各點的位相和振幅轉(zhuǎn)換成在空間上變化的強度，從而利用干涉條紋間的反差和間隔將物體光波的全部信息記錄下來。記錄著干涉條紋的底片經(jīng)過顯影、定影等處理程序后，便成為一張全息圖，或稱全息照片。

第二步是利用衍射原理再現(xiàn)物體光波信息，即成像過程。全息圖猶如一個復(fù)雜的光柵，在相干激光照射下，全息圖的衍射光波一般可給出兩個像，即原始像（又稱初始像）和共軛像。再現(xiàn)的圖像立體感強，具有真實的視覺效應(yīng)。全息圖的每一部分都記錄了物體上各點的光信息，故原則上它的每一部分都能再現(xiàn)原物的整個圖像，通過多次曝光還可以在同一張底片上記錄多個不同的圖像，而且能互不干擾地分別顯示出來。

3 ViHPS原理

視頻全息投影系統(tǒng)（ViHPS）是利用純相位全息圖（Phase－Only Hologram）進行投射成像的系統(tǒng)。利用平面相干光照射一幅純相位全息圖，衍射光投射到像平面（Image Plane）上，將形成一幅圖像［8－9］。純相位全息圖是利用光的衍射成像，純相位全息圖的幅值分布為一固定的常數(shù)，因為它不對光的振幅調(diào)制，光幾乎完全透過或反射，充分利用了相位型全息圖衍射效率高的特點，因此，理論上整個成像過程中幾乎沒有光損耗。近年來，LCoS微顯示器件的發(fā)展使得動態(tài)全息術(shù)有了成功的可能。通過LCoS器件實現(xiàn)入射光的相位調(diào)制，就可以得到一幅純相位全息圖。另外，全息圖重建的二維圖像質(zhì)量不易受器件瑕疵的影響，有缺陷的像素或區(qū)域引起的噪聲將分散在整個圖像上，從而大大降低了其對圖像總體質(zhì)量的影響［10－11］。

如圖1所示，入射光束為同相位的平行光束，經(jīng)LCoS反射后，全息平面（Hologram plane）上不同像素點的反射光線的相位值將被改變，這就完成了光束的相位調(diào)制［12］，相位調(diào)制后的反射光線再經(jīng)過傅里葉透鏡形成最終的圖像。在LCoS進行相位調(diào)制的過程中，光信號的振幅保持不變，輸出相位可以通過LCoS器件進行調(diào)制。因此只要適當(dāng)選取一個相位矩陣，最終就可以在像平面上得到一幅完整的圖像。

圖1 視頻全息投影系統(tǒng)原理示意圖Fig.1 Principle schematic diagram of video holographic projection system

4 相位恢復(fù)算法

ViHPS中LCoS器件可以完成純相位全息圖的調(diào)制，從而最終復(fù)現(xiàn)出圖像。但是目前大多顯示系統(tǒng)的圖像都采用灰度調(diào)制辦法，即輸入信號是灰度幅值的矩陣，不是ViHPS中所需要的相位矩陣，因此如何根據(jù)圖像的灰度幅值信息得出純相位全息圖信息成了本課題需要迫切解決的問題。這類問題在物理學(xué)很多領(lǐng)域中都存在，即如何利用容易測量的強度信息找回丟失了的相位信息，重建波函數(shù)——相位恢復(fù)問題。

對于電子顯微技術(shù)中由雙強度測量恢復(fù)相位的比較成功和有效的算法是1971年Gerchberg和Saxton提出的一套GS算法，隨后，不少學(xué)者提出了有效的GS修正算法。1981年，顧本源和楊國禎以及董碧珍等人根據(jù)一般光學(xué)變換理論公式，提出了一般變換系統(tǒng)下的振幅一相位恢復(fù)更普遍的描述方式，并通過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給出確定振幅一相位的方程組，利用迭代的方法，可以處理各種振幅一相位恢復(fù)問題［4］。

在目前解決相位恢復(fù)問題的算法體系中，GS算法最具代表性，有時它能夠很快地收斂并得到誤差較小的結(jié)果，尤其是針對輸入輸出平面之間存在解析傅里葉變換對的情況。大多數(shù)的相位恢復(fù)算法都是GS算法的修改。

但在實際的計算中，由于情況并不很理想化，GS算法收斂速度就會大大降低，并常常出現(xiàn)幾乎完全停滯的現(xiàn)象，使計算速度和結(jié)果都受到影響。GS算法是跟蹤高維變量函數(shù)梯度的負方向來尋求極值的，其實本質(zhì)是一種最速下降法。用于搜索函數(shù)的極小值時往往與本次開始搜索的點有關(guān)；若初始值取得不恰當(dāng)，執(zhí)行少數(shù)幾次搜索往往找不到函數(shù)定義域范圍內(nèi)的最小值，僅能得到一些指標不太令人滿意的局部最小值［13］。

Fienup算法是GS算法的改進算法，也稱為輸入輸出算法。Fienup算法通過重建圖像的振幅的反饋使得收斂速度更快。利用重建圖像g和目標圖像G0來計算誤差。誤差可以用來改變目標圖像平面的振幅到Gn。一般情況下，如果圖像平面上的一個點的值比目標值要小時，Gn會改變使得其值增加，反之，Gn會改變使得其值減小。

楊國禎和顧本源提出任意線性變換系統(tǒng)中相位恢復(fù)的一般理論［3－4］以及楊－顧算 法（Y－G 算法），并且成功地應(yīng)用在各種變換系統(tǒng)中，解決各類實際問題，提出振幅－相位恢復(fù)問題可分為3類：純相位型、純振幅型、振幅相位混合型，并給出相應(yīng)方程組和有效的迭代算法。楊－顧相位恢復(fù)算法是繼GS算法之后的一種具有普適性的優(yōu)化算法，其迭代過程中有兩個循環(huán)體。在計算次數(shù)相同的情況下，楊－顧相位恢復(fù)算法計算速度比GS算法慢，但收斂精度要比GS算法高，它可以看成是GS算法的推廣。Y－G算法與GS算法一樣，對初始值十分敏感。

5 基于并行結(jié)構(gòu)的相位恢復(fù)算法

楊－顧相位恢復(fù)算法其迭代過程中有兩個循環(huán)體，在計算次數(shù)相同的情況下，楊－顧相位恢復(fù)算法計算速度比GS算法慢，因此本文考慮基于GS算法進行加速。考慮到GS算法的收斂速度與相位初值的選取有關(guān)，因此可以考慮同時對多個初值進行并行運算，不斷“篩”出最優(yōu)結(jié)果的方法來對GS算法進行加速。考慮到并行結(jié)構(gòu)運算的特點，這里借鑒遺傳算法［5］中的交叉算子和變異算子對相位進行修正，這樣可以使得修正后的相位結(jié)果盡可能多得向最優(yōu)結(jié)果靠近，使得迭代結(jié)果更接近最優(yōu)解，從而進一步對GS算法進行加速優(yōu)化?；诖藬?shù)據(jù)處理思想，本文提出了基于并行結(jié)構(gòu)，利用遺傳算法中的遺傳、變異算子進行相位修正來加速的GS相位恢復(fù)算法（即PGSGA算法）。其具體運算過程如下：

上述K組式子使用了相同的運算單元，該運算單元包括二維離散傅里葉逆變換（FT－1）、hologram相位計算、二維離散傅里葉變換（FT）、圖像相位計算、誤差計算，共5個運算模塊。由于上述K組式子是同時進行運算的，因此整個運算時間和只算一組的時間相同，當(dāng)然，K組所消耗的運算處理資源是一組的K倍。

式（4）中，Phase＿Correction處理模塊根據(jù)前面K個處理單元各自的誤差，挑選出誤差最小的一組，并將其他某些并行線的相位數(shù)據(jù)利用交叉、變異算子進行修正，防止算法過早收斂到局部極小點，同時也可以加速算法的收斂速度。

在相位校正中，引進遺傳算法中的交叉變異算子對前面算出來的相位進行校正。在遺傳算法中，交叉、變異算子所起的作用是產(chǎn)生新的染色體，改變搜索路徑。此處引用可以改變下一次迭代的初值，使得在下一次迭代中，迭代結(jié)果停滯在局部極小值的概率變低，從而有更多的機率逼近最優(yōu)解，進而達到加速的目的。下面闡述本文所采取的交叉、變異方法。

（a）交叉算子

這里以對兩條并行線上的GS運算出來的相位進行交叉處理為例，說明本文中的交叉算子是如何進行交叉運算的。

按照各個相位對應(yīng)的像素的灰階進行分組，假設(shè)圖像為256灰階，這里以分4組為例：（0～63，64～127，128～191，192～255）

這樣并行線1，2的GS相位結(jié)果可以分別分為4組，

并行線1的第一組為，對應(yīng)的灰階值處于0～63之間的相位，

并行線1的第二組為，對應(yīng)的灰階值處于64～127之間的相位，

并行線1的第三組為，對應(yīng)的灰階值處于128～191之間的相位，

并行線1的第四組為，對應(yīng)的灰階值處于192～255之間的相位。

并行線2的第一組為，對應(yīng)的灰階值處于0～63之間的相位，

并行線2的第二組為，對應(yīng)的灰階值處于64～127之間的相位，

并行線3的第三組為，對應(yīng)的灰階值處于128～191之間的相位，

并行線4的第四組為，對應(yīng)的灰階值處于192～255之間的相位。

交叉運算就是，將并行線1，2某一組或某幾組的相位值進行互換，（例如，將1，2并行線的第1，2兩組的相位值互換——像素位置不變）。具體操作如圖2所示。

圖2 交叉運算Fig.2 Crossover operator

（b）變異算子

變異算子就是將任何一條并行線上的GS相位的某一組或某幾組進行變化，其他組的相位不變化。具體操作如圖3所示。

圖3 變異運算Fig.3 Mutation operator

圖中給出了某條并行線相位結(jié)果的第二組相位數(shù)據(jù)進行變異運算的示范，具體變異運算可以是相位取反，增加一個固定值等，視具體情況而定。

進行交叉變異的目的一是防止GS算法停滯在局部最小點，二是可以加速GS算法收斂到最優(yōu)點的速度（通過改變初始迭代相位）。

純相位全息圖可以通過上述迭代方法進行計算，對于純相位全息圖相應(yīng)的幅度信息（對應(yīng)的是一個常數(shù)）可以直接計算得出。假設(shè)純相位全息圖相應(yīng)的幅度信息值為常數(shù)a，圖像灰度矩陣為M，矩陣大小為m×n，根據(jù)帕賽瓦爾定理，有：

由于ViHPS是利用純相位全息圖進行成像，純相位全息圖的幅值信息為一固定的常數(shù)a。

6 仿真實驗

利用Matlab軟件分別仿真GS、Fieup、PGSGA算法，分別討論各自的性能參數(shù)，并進行比較和分析。

對256×256分辨率的lena圖片進行GS，F(xiàn)ieup，PGSGA算法迭代5、10、20、30次，記錄其迭代結(jié)果如下：

為實現(xiàn)可比較性，這里將迭代的圖像初始相位均定為0矩陣。各算法參數(shù)設(shè)置如下：

（1）GS算法中灰度進行歸一化；

（2）Fieup算法中灰度歸一化，反饋系數(shù)為0.8；

（3）PGSGA中灰度歸一化，并行線17條，灰度分成256組。

這里給出3種算法的迭代收斂曲線，曲線描述了恢復(fù)出的圖像與原圖像的均方誤差隨迭代次數(shù)的變化曲線，如圖4所示。

圖4曲線中描述了GS、Fieup、PGSGA算法的迭代收斂曲線。根據(jù)圖中的曲線，可以發(fā)現(xiàn)在前10次迭代中，PGSGA的收斂速度明顯高于GS，F(xiàn)ieup算法。在前15次迭代中PGSGA的收斂結(jié)果也優(yōu)于GS，F(xiàn)ieup。算法的迭代次數(shù)越少，硬件的運算時間也就相對會減少。

因此PGSGA算法在性能參數(shù)上都較GS，F(xiàn)ieup算法優(yōu)越，迭代10次RMS誤差都要減少60%以上，這意味著在硬件實現(xiàn)該PGSGA算法時，可以以很少的迭代的次數(shù)達到甚至超過GS，F(xiàn)ieup算法較多的迭代次數(shù)的迭代效果。

圖4 均方誤差隨迭代次數(shù)的變化曲線Fig.4 Change curves of mean square error with the number of iteration

7 結(jié) 論

在研究分析GS迭代算法的基礎(chǔ)上，提出了基于并行結(jié)構(gòu)的GS迭代算法（PGSGA），該算法的運算采用并行結(jié)構(gòu)，同時借鑒遺傳算法中交叉和變異算子的思想對迭代結(jié)果不太理想的部分進行修正，通過改變下一次相位迭代的初值來加速收斂。結(jié)果表明，PGSGA算法能夠很好地計算出純相位全息圖，恢復(fù)出的圖像質(zhì)量和均方誤差都較GS、Fieup算法優(yōu)越。通過軟件Matlab仿真，驗證了PGSGA算法的有效性，通過與GS，F(xiàn)ieup算法比較，驗證了算法的優(yōu)越性。

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