小波變換在多源航跡處理中的應(yīng)用

王玉茜，田建偉

（江南機(jī)電設(shè)計(jì)研究所，貴州 貴陽(yáng) 550006）

多源航跡處理是雷達(dá)組網(wǎng)系統(tǒng)中的重要問(wèn)題，主要包括各信息源航跡濾波及估計(jì)、航跡關(guān)聯(lián)及航跡融合。經(jīng)過(guò)多步處理的航跡信息最后用來(lái)進(jìn)行態(tài)勢(shì)評(píng)估和威脅判斷，為指揮員提供輔助決策。

目前，許多文獻(xiàn)對(duì)多信息源航跡處理方法進(jìn)行了研究探討，但大都是在空間域上對(duì)目標(biāo)的航跡參數(shù)進(jìn)行處理。目標(biāo)航跡數(shù)據(jù)序列實(shí)際上是一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，在航跡的特征向量分析中，低頻部分反映了航跡的總體態(tài)勢(shì)，高頻部分反映了運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)和噪聲干擾[1]。而小波的多分辨率特性可以將信號(hào)的低頻和高頻部分加以區(qū)分，為在頻域中對(duì)目標(biāo)航跡的分析和處理提供了有利條件。因此，本文將小波分析引入目標(biāo)航跡處理問(wèn)題中，通過(guò)小波變換，實(shí)現(xiàn)在頻域中對(duì)目標(biāo)航跡的處理。

1 問(wèn)題描述

假設(shè)航跡特征矢量由目標(biāo)的位置 （包括 x、y、z坐標(biāo)）、目標(biāo)的速度（對(duì)于 x、y、z 方向的速度，即x˙、y˙、z˙）組成，其中x˙、y˙、z˙可以根據(jù) x、y、z 值得出 。

假設(shè)各個(gè)傳感器送來(lái)的目標(biāo)航跡已進(jìn)行了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，且當(dāng)不同傳感器傳送數(shù)據(jù)周期不一致時(shí)，所有目標(biāo)航跡參數(shù)已按最小傳送周期進(jìn)行了插值處理，即保證各個(gè)傳感器傳送的航跡數(shù)據(jù)是在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，且有相同的采樣和更新周期。

由于目標(biāo)的航跡序列可看成帶噪聲的一維信號(hào)，因此可采用小波對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的去噪方法對(duì)各信息源航跡參數(shù)進(jìn)行濾波處理，并提取航跡序列的整體特征進(jìn)行關(guān)聯(lián)配準(zhǔn)，對(duì)關(guān)聯(lián)上的航跡小波分解系數(shù)進(jìn)行綜合處理，最后進(jìn)行小波重構(gòu)，即完成航跡融合。

2 小波變換在航跡處理中的應(yīng)用

2.1 一維信號(hào)的小波分解原理

對(duì)一維離散信號(hào) f（x），首先根據(jù) 尺度 函數(shù) φj0，k（x）和小波函數(shù) ψj，k（x）為 f（x）定義小波序列展開。 離散小波變換對(duì)表示如下[2]：

對(duì)于 j≥j0，有：

其中，f（x）、φj0，k（x）和 ψj，k（x）是離散變量 x=0，1，2，…，M-1的函數(shù)。通常，令j0=0并選擇M為2的冪（即M=2J），對(duì) x=0，1，2，…，M-1，j=0，1，2，…，J-1 和 k=0，1，2，…，2j-1 求和。Wφ（j0，k）通常稱為近似值或尺度系數(shù)，Wψ（j，k）稱為細(xì)節(jié)或小波系數(shù)，這是因?yàn)槭剑?）中的第一個(gè)和式用尺度函數(shù)提供了f（x）在尺度j0的近似，對(duì)于第二個(gè)和式中每個(gè)較高尺度的 j≥j0，更細(xì)分辨率的函數(shù)（即一個(gè)小波和）添加到近似中，以獲得細(xì)節(jié)的增加。

2.2 小波分析在航跡去噪中的應(yīng)用

2.2.1 噪聲信號(hào)的小波分析特性

根據(jù)式（3）可知，小波變換實(shí)際上是將信號(hào)通過(guò)低通和高通兩組濾波器，把信號(hào)分解成低頻和高頻成分。而從信號(hào)處理的角度來(lái)看，低頻部分反映的往往是信號(hào)的整體態(tài)勢(shì)，高頻部分對(duì)應(yīng)了運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)和噪聲。

在小波分析中，低頻部分對(duì)應(yīng)著最大的尺度小波變換低頻系數(shù)。隨著尺度的增加，時(shí)間分辨率的降低，對(duì)信號(hào)的這種發(fā)展趨勢(shì)會(huì)變得更明顯。因此，可以將信號(hào)進(jìn)行多層小波分解，通過(guò)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理的方法進(jìn)行小波去噪。

2.2.2 小波閾值去噪方法

小波閾值去噪方法是一種非線性去噪方法，在最小均方誤差意義下可達(dá)近似最優(yōu)，且這種方法是實(shí)現(xiàn)最簡(jiǎn)單、計(jì)算量最小的一種方法，便于在工程實(shí)際中應(yīng)用。本文采用 Donoho和 Johnstone提出 λ=σ·閾值對(duì)航跡序列進(jìn)行進(jìn)行去噪處理。目標(biāo)的航跡分坐標(biāo)序列可看作是隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，可對(duì)目標(biāo)的三坐標(biāo)序列分別進(jìn)行去噪處理。對(duì)目標(biāo)航跡序列的去噪方法如下：

（1）分別對(duì)目標(biāo)航跡三坐標(biāo)的參數(shù)序列做小波變換，得到對(duì)應(yīng)的小波系數(shù) dj，k；

（2）對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，得到新的小波系數(shù)為：

其中，α取值為 0～1之間，n為航跡序列采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，σ為航跡中隨機(jī)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差；

（3）利用估計(jì)出的小波系數(shù)d^j，k進(jìn)行小波重構(gòu)，得到新的航跡參數(shù)序列，即為噪聲抑制之后的航跡。

2.3 小波變換在航跡關(guān)聯(lián)中的應(yīng)用

在分布式多傳感器信息融合系統(tǒng)中，判斷2條航跡是否關(guān)聯(lián)，主要是比較兩目標(biāo)之間的態(tài)勢(shì)和距離[3]，而經(jīng)小波變換后的航跡序列的整體走勢(shì)可以在低頻部分反映出來(lái)，因此可以利用小波分解的低頻系數(shù)來(lái)進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)處理。

設(shè)2條航跡在X軸方向上的參數(shù)序列為{x1（k）}、{x2（k）}（其中，k為采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)），在尺度 N上對(duì)兩航跡參數(shù)序列小波分解后得到的低頻系數(shù)序列分別為{d1（j）}、{d2（j）}（其中，j為尺度 N 上的低頻系數(shù)長(zhǎng)度）。 對(duì)2個(gè)系數(shù)序列進(jìn)行信噪比計(jì)算：

若Rsn1、Rsn2都大于給定閾值 θ，則表明 2條航跡序列關(guān)聯(lián)。同理，可以判斷Y、Z方向目標(biāo)航跡是否關(guān)聯(lián)。當(dāng)3個(gè)方向上都關(guān)聯(lián)時(shí)可以認(rèn)為2條目標(biāo)航跡是關(guān)聯(lián)的。

2.4 小波變換在航跡融合中的應(yīng)用

當(dāng)2條航跡序列經(jīng)過(guò)預(yù)處理并關(guān)聯(lián)上后，可以利用在頻域中對(duì)分解得到的小波系數(shù)進(jìn)行融合處理，然后進(jìn)行小波重構(gòu)得到空間域上的融合航跡。此時(shí)，仍然對(duì)目標(biāo)航跡3個(gè)不同方向上的參數(shù)序列分別進(jìn)行處理。融合處理的基本步驟如下：

（1）對(duì)每一段原始航跡序列分別進(jìn)行小波變換，求出各自小波分解系數(shù)，建立航跡的小波塔型分解，即與小波去噪時(shí)的第一步相同；

（2）對(duì)步驟（1）中產(chǎn)生的小波分解系數(shù)分別閾值處理，方法同 2.2.2章節(jié)步驟（2），然后進(jìn)行等加權(quán)處理，形成新的融合小波系數(shù)和新的小波金字塔形結(jié)構(gòu)；

（3）對(duì)步驟（2）中形成的新的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，所得到的重構(gòu)航跡即為融合航跡序列。

目標(biāo)3個(gè)方向上的參數(shù)序列都按照上述3個(gè)步驟處理完成后，即為融合后的航跡特征序列。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

3.1 基于小波變換的航跡去噪

假設(shè)目標(biāo)做等高變速曲線運(yùn)動(dòng)，即飛行軌跡在與大地平行的一個(gè)二維平面內(nèi)，取該水平面建立坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

采樣周期為0.1 s，平均觀測(cè)誤差方差為 0.1 km，模擬產(chǎn)生連續(xù)100個(gè)周期的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)數(shù)據(jù)，生成目標(biāo)航跡見圖 1（a）。

取 σ=0.5，α=0.1， 利用 db3小波對(duì)目標(biāo)分坐標(biāo)航跡進(jìn)行5層分解，對(duì)分解得到的小波系數(shù)按2.2.2章節(jié)的方法進(jìn)行處理，濾波后的目標(biāo)航跡見圖1（b）。

由圖1（b）可看出，經(jīng)過(guò)小波系數(shù)處理后，噪聲得到極大抑制，且目標(biāo)機(jī)動(dòng)部分也得到很好地保留。證明了小波去噪方法的可行性和有效性。

圖1 模擬機(jī)動(dòng)目標(biāo)航跡及濾波后結(jié)果圖

在工程實(shí)際中應(yīng)實(shí)時(shí)地對(duì)收到的航跡點(diǎn)進(jìn)行濾波，因此更實(shí)際的做法是當(dāng)接收到M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后應(yīng)啟動(dòng)濾波函數(shù)，依次對(duì)M個(gè)連續(xù)的采樣點(diǎn)進(jìn)行上述小波去噪處理，即對(duì)一條完整的航跡進(jìn)行窗口大小為M的滑窗濾波處理。經(jīng)多次試驗(yàn)證明，采樣點(diǎn)越多，濾波得到的航跡曲線越光滑，但濾波器啟動(dòng)越晚。為保證濾波實(shí)時(shí)性和去噪的有效性，試驗(yàn)中取M=10。

進(jìn)行50次蒙特卡洛仿真，得去噪后目標(biāo)航跡的均方差，見圖2所示。

圖2 濾波后航跡誤差均方差

從圖2看出，濾波處理后觀測(cè)誤差均方差從0.1 km降至0.05 km以下，證明利用小波變換方法進(jìn)行的濾波可以有效去除隨機(jī)噪聲。

3.2 基于小波變換的航跡關(guān)聯(lián)

假設(shè)4個(gè)傳感器送來(lái)的目標(biāo)航跡見圖3。其中，航跡1和航跡3由理論航跡分別加入均方差為0.1 km和0.15 km的噪聲得到，航跡2和航跡4由另一條理論航跡加入相同量級(jí)的噪聲得到。

當(dāng)收到10個(gè)采樣點(diǎn)后啟動(dòng)關(guān)聯(lián)濾波器，分別對(duì)航跡1和航跡2計(jì)算其與另外3條航跡的關(guān)聯(lián)度，用式（5）計(jì)算的信噪比除以航跡本身的信噪比產(chǎn)生的比值作為航跡的關(guān)聯(lián)度θ。航跡1和航跡2與其他3條航跡的關(guān)聯(lián)度如圖4所示。

圖3 模擬目標(biāo)航跡

圖4 航跡之間的關(guān)聯(lián)度

取θ=0.5，從圖 4可看出，在前 30拍，每條航跡與其他航跡的關(guān)聯(lián)度都大于0.6，不能對(duì)4條航跡進(jìn)行區(qū)分，認(rèn)為4條航跡互相關(guān)聯(lián)。從第30拍起，航跡1和航跡2、航跡4的關(guān)聯(lián)度持續(xù)降低，與航跡3的關(guān)聯(lián)度始終保持在0.5之上，航跡 2與航跡1、3的關(guān)聯(lián)度持續(xù)降低，與航跡4的關(guān)聯(lián)度始終保持在0.5之上，說(shuō)明航跡1和航跡3互相關(guān)聯(lián)，航跡2和航跡4也互相關(guān)聯(lián)，這與圖3中航跡的變化特征相符。

此關(guān)聯(lián)方法僅用少數(shù)幾個(gè)小波低頻系數(shù)就能考慮局部航跡的整體趨勢(shì)，計(jì)算量小，關(guān)聯(lián)效果較好，證明了小波分析在航跡關(guān)聯(lián)應(yīng)用中的有效性。

3.3 基于小波變換的航跡融合

本節(jié)對(duì)3.2章節(jié)中關(guān)聯(lián)上的航跡進(jìn)行融合處理，仍舊采用db3小波對(duì)其進(jìn)行5層分解，融合方法見2.4章節(jié)。其中取 σ=0.9，α=0.1進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真，得到2條融合航跡的誤差均方差圖，見圖5。

圖5 融合航跡的誤差均方差圖

從圖5可看出，經(jīng)小波變換融合后的航跡觀測(cè)誤差均方差降到了0.1 km以下，處于0.05 km附近，比融合前兩條航跡的觀測(cè)精度都要高，說(shuō)明了本文的融合算法能夠使處理后的融合航跡精度得到有效提高。

本文將小波分析理論引入多源目標(biāo)航跡處理領(lǐng)域，并給出了基于小波變換的航跡去噪、航跡關(guān)聯(lián)和航跡融合算法，其本質(zhì)上是在頻域中對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行處理。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的可行性和有效性，且經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得出以下結(jié)論：在進(jìn)行小波去噪時(shí)，分解層數(shù)為5層比較合適，此時(shí)既能很好地抑制噪聲，又能最大限度地保留目標(biāo)航跡的機(jī)動(dòng)特征；取閾值時(shí)，σ的取值要比航跡本身的觀測(cè)誤差均方差大，此時(shí)才能有效抑噪，考慮到實(shí)際中一般傳感器的測(cè)量噪聲最大不會(huì)超過(guò)1 km，因此σ取值為0.8～1時(shí)即能滿足要求。

本文僅對(duì)小波分析在航跡處理中的應(yīng)用作了初步的探討，同時(shí)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，證明了基于小波變換的航跡處理方法在實(shí)際工程應(yīng)用中有較大的實(shí)用價(jià)值。對(duì)于小波系數(shù)與航跡機(jī)動(dòng)特征的關(guān)系及在航跡關(guān)聯(lián)時(shí)怎樣更好地利用小波系數(shù)還需進(jìn)一步研究。

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