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      非線性方程數(shù)值解法的研究

      2014-11-21 05:23:50譚振江肖春英
      關(guān)鍵詞:二分法迭代法流程圖

      譚振江,肖春英

      (吉林師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,吉林四平136000)

      0 引言

      隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,一些非線性方程模型在實(shí)際問題中頻頻出現(xiàn).經(jīng)常要求非線性方程f(x)=0的根,方程f(x)=0的根叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).很多我們非常熟悉的線性模型都是一定條件下的非線性問題簡(jiǎn)化得到的.由于非線性方程在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域與工程計(jì)算等領(lǐng)域中地位越來越重要,因此我們有必要就有關(guān)非線性方程的解法做一些探討和研究.

      由于非線性方程有其自身的復(fù)雜性,在除了少數(shù)特殊的非線性方程外,直接法求得結(jié)果的情況是不可能的,這時(shí)我們需要借助于牛頓迭代法、二分法和弦截法進(jìn)行近似求解.本文簡(jiǎn)要的分析了這些數(shù)值算法的計(jì)算效果,適用范圍以及優(yōu)劣性等特點(diǎn),運(yùn)用實(shí)例化進(jìn)行系統(tǒng)分析[1-3].

      (1)引入一個(gè)非線性方程的例子,運(yùn)用三種思想分別進(jìn)行分析,得到三種解法的根本思想;

      (2)把數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想提取出來,同時(shí)對(duì)該數(shù)學(xué)方法進(jìn)行一定程度上的理解;

      (3)給出各種算法的循環(huán)思想以及相應(yīng)的程序?qū)崿F(xiàn)流程圖,展現(xiàn)出一個(gè)清晰明了的框架;

      (4)基于c語言的基礎(chǔ)上,寫出可執(zhí)行的程序.

      1 三種解法的簡(jiǎn)單概述

      牛頓迭代法(Newton’s method)(又稱為牛頓—拉夫遜方法(Newton-Raphson method)),它是牛頓提出的關(guān)于實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的一種方法.多數(shù)方程不存在直接的求根公式,想要求出其精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得格外重要.牛頓迭代法是一種重要和常用的迭代法,使用函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來尋找f(x)=0方程的根.其基本思想為將非線性函數(shù)f(x)逐步線性化,繼而將非線性方程f(x)=0的求解近似地轉(zhuǎn)化為線性方程求解.此方法廣泛用于計(jì)算機(jī)編程中.

      二分法(或稱對(duì)分法、二分區(qū)間法),是求方程f(x)=0近似解的一種常用的簡(jiǎn)單直觀的方法.設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且 f(a)f(b)<0,則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=0在(a,b)內(nèi)務(wù)必有實(shí)根,稱區(qū)間[a,b]為有根區(qū)間,這是高等數(shù)學(xué)微積分中的介值定理,也是二分法可以使用的前題條件[4-5].

      弦截法也是一種求方程根的基本方法,在計(jì)算機(jī)編程中有廣泛應(yīng)用.它的基本思想是:任取兩個(gè)數(shù)x1、x2,求得其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f(x1)、f(x2).如果兩函數(shù)值同號(hào),則重新取數(shù),直到這兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)為止.連接(x1,f(x1))與(x2,f(x2))這兩點(diǎn)形成的直線與x軸相交于一點(diǎn)x,求得對(duì)應(yīng)的f(x),判斷其與f(x1)、f(x2)中的哪個(gè)值同號(hào).如f(x)與f(x1)同號(hào),則f(x)為新的f(x1).將新的f(x1)與f(x2)連接,如此進(jìn)行循環(huán).這里體現(xiàn)的是極限的思想[6].

      2 三種解法的實(shí)例化分析過程

      2.1 牛頓迭代法

      實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法的數(shù)學(xué)思想的基本步驟如下:

      (1)給出初始近似根x0及其精度e;

      牛頓迭代法對(duì)于初值的選取尤其重要,初值要求必須足夠接近精確值才能保證局部收斂.

      (2)計(jì)算x1=x0-f(x0)/f'(x0);

      (3)若|x1-x0|<0,轉(zhuǎn)向(4);否則 x0=x1,轉(zhuǎn)向(2);

      (4)輸出滿足精度的根x1,結(jié)束.

      算法流程圖如圖1所示.

      實(shí)例:用牛頓迭代法求方程在1.5附近的根:

      程序輸出結(jié)果,如圖2所示.

      圖2 牛頓迭代法的程序輸出結(jié)果

      2.2 二分法

      二分法是求方程近似根的方法中行之有效的最簡(jiǎn)單的方法,它的遞推過程簡(jiǎn)單易行,便于計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).

      實(shí)現(xiàn)二分法的數(shù)學(xué)思想的基本步驟如下:

      (1)輸入有根區(qū)間的端點(diǎn)a,b及預(yù)先給定的精度e;

      二分法確定有根區(qū)間的一般方法:為了確定方程根的初值,必須圈定根所在的范圍,即圈定根(或稱根的隔離);在此基礎(chǔ)上,采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)值方法確定有一定精度要求的初值;關(guān)于代數(shù)方程,根的個(gè)數(shù)(實(shí)根或復(fù)根)與其次數(shù)相同.對(duì)于超越方程,其根的個(gè)數(shù)可能是一個(gè)、幾個(gè)或者無解,沒有固定的圈根方法[7-8].

      (2)計(jì)算x=(a+b)/2;

      (3)若 f(a)f(x)<0,則b=x;否則a=x;

      (4)若 |b-a|<e,則輸出方程滿足精度要求的根x,則計(jì)算結(jié)束;否則轉(zhuǎn)(2).

      二分法算法流程圖如圖3所示.

      圖3 二分法算法實(shí)現(xiàn)流程圖

      實(shí)例:用二分法求方程在(-10,10)之間的根:2x3-4x2+3x-6=0.

      程序輸出結(jié)果如圖4所示.

      圖4 二分法程序輸出結(jié)果

      2.3 弦截法

      實(shí)現(xiàn)弦截法的數(shù)學(xué)思想的基本步驟如下:

      (1)選擇迭代的初始值x0,x1及其精度e;

      (2)計(jì)算x2=x1-(f(x1)(x1-0)/f(x1)-f(x0));

      (3)若|x2-x1|<0,轉(zhuǎn)向(4);否則 x0=x1,x1=x2,轉(zhuǎn)向(2);

      (4)輸出滿足精度的根x2,結(jié)束.

      弦截法算法流程圖如圖5所示.

      圖5 弦截法算法實(shí)現(xiàn)流程圖

      實(shí)例:用弦截法求方程2x3-4x2+3x-6=0的根.

      程序輸出結(jié)果如圖6所示.

      圖6 弦截法程序輸出結(jié)果

      3 結(jié)語

      通常非線性方程根的數(shù)值解法大致分為3個(gè)步驟進(jìn)行:首先判定根的存在性.即方程有沒有根存在,如果有根,有幾個(gè)根;其次確定根的分布范圍.即將每一個(gè)根用區(qū)間隔離開來;獲得方程各根的初始近似值;最后進(jìn)行根的精確化,根的初始近似值按某種方法逐步精確化,直到滿足預(yù)先要求的精度為止.迭代法具有計(jì)算精度高收斂速度快的優(yōu)點(diǎn),但是需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)或者矩陣逆的情況,具有一定程度的局限性.針對(duì)不同特點(diǎn)的非線性方程選擇不同的解法或者不同解法的綜合使用,探討出一種高效率解法,以便使方程達(dá)到快速準(zhǔn)確求解[9-12].

      [1]高虹霓,曹澤陽.一種新的非線性方程求根迭代法[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào),2002,3(2):84~86.

      [2]郭春石,段學(xué)新.生化系統(tǒng)的極限環(huán)的數(shù)值計(jì)算研究方法[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,25(3):36~37.

      [3]文 武.一階非線性微分方程解法的探討[J].達(dá)縣師范高等??茖W(xué)校學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,15(5):10~11.

      [4]周德亮,陳 躍.MATLAB使用中的幾個(gè)問題的解決方法[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,28(1):19~20.

      [5]黃寬娜,劉 徽,李木華.基于信息技術(shù)的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式研究[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2011,36(2):210~215.

      [6]劉 滔.牛頓法在架空導(dǎo)線應(yīng)力計(jì)算中的應(yīng)用[J].科技風(fēng),2010,23:212,220.

      [7]郭曦娟.Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收斂性的判定[J].東北重型機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào),1995,19(1):78~82.

      [8]程小力.牛頓法的收斂性[J].浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1997,25(3):230~235.

      [9]仝秋娟.幾種特殊線性方程組的解法研究[D].西安:西安電子科技大學(xué),2012.

      [10]陶 會(huì),曾德強(qiáng),覃燕梅.求解非線性方程組的一種新的數(shù)值解法[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,27(10):11~13.

      [11]朱 宏,付 軍.一類Lienard方程周期解的穩(wěn)定性[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,27(1):70~71.

      [12]夏林林,戶晗蕾,吳開騰.非線性方程組數(shù)值方法的研究進(jìn)展[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,28(10):12~17.

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