教學(xué)中對(duì)知識(shí)內(nèi)容拓展與引申的一些思考

黃冬娟

數(shù)學(xué)課堂中，對(duì)有關(guān)知識(shí)和能力作適當(dāng)?shù)耐卣购鸵晔菙?shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的基本問(wèn)題，處理得好對(duì)學(xué)生的持續(xù)發(fā)展能夠起到不可小視的作用.對(duì)一些知識(shí)加以適當(dāng)?shù)耐卣古c引申，不僅能使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且對(duì)于溝通知識(shí)的聯(lián)系、開(kāi)拓思路、培養(yǎng)創(chuàng)新思維和對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣都十分有益.

那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？對(duì)這些問(wèn)題的把握至關(guān)重要.以個(gè)人之見(jiàn)，我對(duì)這樣的問(wèn)題提出如下幾個(gè)原則，供同行們討論.1 低門(mén)檻原則

低門(mén)檻，就是在原來(lái)知識(shí)的基礎(chǔ)上，作小步伐的拓展和引申，又能得到實(shí)質(zhì)性的提升.這樣做，常常會(huì)在不費(fèi)吹灰之力的情況下，能夠得到很漂亮的結(jié)論，而且結(jié)論很實(shí)用.

例如，在學(xué)習(xí)基本不等式時(shí)，可以考慮推廣到n元基本不等式，即對(duì)n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，取得等號(hào)），這對(duì)將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，具有重要意義.比如，有一類(lèi)函數(shù)需要通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，如果有了推廣的基本不等式，就方便多了.

再如，函數(shù)y=x+ax是高中階段經(jīng)常討論的，其實(shí)在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性和奇偶性）時(shí)，就完全可以把這樣的函數(shù)研究得比較透徹.在學(xué)習(xí)基本不等式的時(shí)候，可以進(jìn)一步探討，來(lái)印證原來(lái)研究所得的結(jié)論.到了學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，又有了更新的方法來(lái)研究這樣的函數(shù).通過(guò)這樣幾個(gè)不同的階段來(lái)研究這樣的函數(shù)，那么對(duì)這樣的函數(shù)或者涉及這樣函數(shù)的問(wèn)題，我們會(huì)把問(wèn)題搞得十分清楚.2 類(lèi)比性原則

數(shù)學(xué)中有很多結(jié)論可以通過(guò)類(lèi)比猜想得到，當(dāng)然不是盲目的猜想，是需要證明的.經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察類(lèi)比，有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維品質(zhì).

例如，我們知道，如果點(diǎn)P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，則方程x0x+y0y=r2表示過(guò)點(diǎn)P的⊙C的切線.其實(shí)這個(gè)結(jié)論完全可以類(lèi)比到橢圓、雙曲線和拋物線這些圓錐曲線中，而且利用這樣的結(jié)論還可以得到圓錐曲線非常有趣的光學(xué)性質(zhì)，學(xué)生會(huì)很有興趣的.在實(shí)際和科學(xué)技術(shù)上也得到了廣泛的應(yīng)用.

再如，在平面直角坐標(biāo)系中，直線可以用關(guān)于x，y的二元一次方程來(lái)表示，點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中，平面可以用關(guān)于x，y，z的三元一次方程來(lái)表示，點(diǎn)P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距離為d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法來(lái)求點(diǎn)到平面的距離的時(shí)候，有相當(dāng)一部分問(wèn)題都可以用這個(gè)公式來(lái)進(jìn)行.3 趣味性原則

有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容之多，已經(jīng)覺(jué)得很累了，老師還要增加教材和考綱中沒(méi)有的東西，多無(wú)聊啊.所以我們應(yīng)該拓展一些學(xué)生普遍都比較感興趣的內(nèi)容，這樣才能取得良好的效果.

例如，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)問(wèn)題是常見(jiàn)問(wèn)題，資料上出現(xiàn)的頻率也很高，三次函數(shù)的形式本身不復(fù)雜，為什么很少有老師舍得花一點(diǎn)時(shí)間和學(xué)生一起來(lái)探討研究一下三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)呢？如果作一點(diǎn)研究后會(huì)發(fā)現(xiàn)：其圖像很規(guī)則，性質(zhì)很穩(wěn)定，尤其是圖像關(guān)于拐點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（這個(gè)性質(zhì)可以解決一類(lèi)流行性競(jìng)賽題）.

再如，在圓錐曲線的一些綜合問(wèn)題中，時(shí)常會(huì)從中發(fā)現(xiàn)、提煉出一些非常有趣的圓錐曲線具有普遍意義的共同的性質(zhì)，結(jié)論真是太漂亮了，學(xué)生對(duì)這樣的探究也頗感興趣.經(jīng)常做一些這樣的工作，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生探究的熱情、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，是十分有益的.4 實(shí)用性原則

我們對(duì)一些知識(shí)作適當(dāng)?shù)耐卣购鸵辏浜苤匾囊粋€(gè)因素是拓展和引申出來(lái)的東西有用嗎？這也會(huì)是學(xué)生經(jīng)常會(huì)關(guān)注的問(wèn)題.這樣的工作做得好，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到很重要的作用.學(xué)生對(duì)學(xué)到的東西會(huì)覺(jué)得學(xué)以致用，有成就感.

例如，圓錐曲線問(wèn)題中，常常出現(xiàn)圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段（簡(jiǎn)稱(chēng)焦半徑）長(zhǎng)度距離問(wèn)題，利用圓錐曲線的第二定義，可以輕松地得到焦半徑公式，使用十分便捷.只是橢圓和雙曲線的焦半徑公式容易混淆，不易記憶，我們只要充分理解公式的由來(lái)，就可以方便的解題.

再如，從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的代數(shù)形式上觀察，我們不難歸納出公式的另外一種形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.這種形式更加體現(xiàn)了數(shù)列函數(shù)的屬性，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)很實(shí)用.5 分階段原則

有些問(wèn)題的拓展和引申，是循序漸進(jìn)的，從學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)水平上來(lái)說(shuō)，都不能一下子到達(dá)一定的高度，這就需要在幾個(gè)不同的階段，對(duì)該問(wèn)題作不同程度的拓展和引申.

例如，在高中數(shù)學(xué)必修1教材中有這樣兩個(gè)問(wèn)題：

（1）已知函數(shù)f（x）=10x，x∈R，對(duì)任意x1，x2∈R，試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大?。?/p>

（2）已知函數(shù)f（x）=lgx，x∈（0，+∞），對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大??；

這兩個(gè)問(wèn)題，在基本不等式內(nèi)容之前出現(xiàn)，似乎著急了一點(diǎn)，但是在教師的引導(dǎo)下，可以克服這個(gè)小小的遺憾.其實(shí)這兩個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)，編者的真實(shí)意圖是想讓學(xué)生在大小關(guān)系的結(jié)論中，進(jìn)一步體會(huì)圖像的凸性與大小的關(guān)系（盡管圖像的凸性不是教材要求內(nèi)容），教師在引導(dǎo)解完問(wèn)題后應(yīng)該及時(shí)揭示，而這個(gè)圖像的凸性在圖像中是非常直觀的，但是在理論上如何進(jìn)一步的研究函數(shù)圖像的凸性，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)就不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的凸性與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系.

其實(shí)，在以上的一些例子中不難發(fā)現(xiàn)，有些例子同時(shí)符合幾個(gè)原則，那就體現(xiàn)了這些例子的拓展和引申更具有意義.哪些知識(shí)在課堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？應(yīng)該是教育長(zhǎng)期探討研究的問(wèn)題，總體應(yīng)該符合以學(xué)生為本，以學(xué)生得到充分發(fā)展為前提.

數(shù)學(xué)課堂中，對(duì)有關(guān)知識(shí)和能力作適當(dāng)?shù)耐卣购鸵晔菙?shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的基本問(wèn)題，處理得好對(duì)學(xué)生的持續(xù)發(fā)展能夠起到不可小視的作用.對(duì)一些知識(shí)加以適當(dāng)?shù)耐卣古c引申，不僅能使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且對(duì)于溝通知識(shí)的聯(lián)系、開(kāi)拓思路、培養(yǎng)創(chuàng)新思維和對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣都十分有益.

那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？對(duì)這些問(wèn)題的把握至關(guān)重要.以個(gè)人之見(jiàn)，我對(duì)這樣的問(wèn)題提出如下幾個(gè)原則，供同行們討論.1 低門(mén)檻原則

低門(mén)檻，就是在原來(lái)知識(shí)的基礎(chǔ)上，作小步伐的拓展和引申，又能得到實(shí)質(zhì)性的提升.這樣做，常常會(huì)在不費(fèi)吹灰之力的情況下，能夠得到很漂亮的結(jié)論，而且結(jié)論很實(shí)用.

例如，在學(xué)習(xí)基本不等式時(shí)，可以考慮推廣到n元基本不等式，即對(duì)n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，取得等號(hào)），這對(duì)將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，具有重要意義.比如，有一類(lèi)函數(shù)需要通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，如果有了推廣的基本不等式，就方便多了.

再如，函數(shù)y=x+ax是高中階段經(jīng)常討論的，其實(shí)在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性和奇偶性）時(shí)，就完全可以把這樣的函數(shù)研究得比較透徹.在學(xué)習(xí)基本不等式的時(shí)候，可以進(jìn)一步探討，來(lái)印證原來(lái)研究所得的結(jié)論.到了學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，又有了更新的方法來(lái)研究這樣的函數(shù).通過(guò)這樣幾個(gè)不同的階段來(lái)研究這樣的函數(shù)，那么對(duì)這樣的函數(shù)或者涉及這樣函數(shù)的問(wèn)題，我們會(huì)把問(wèn)題搞得十分清楚.2 類(lèi)比性原則

數(shù)學(xué)中有很多結(jié)論可以通過(guò)類(lèi)比猜想得到，當(dāng)然不是盲目的猜想，是需要證明的.經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察類(lèi)比，有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維品質(zhì).

例如，我們知道，如果點(diǎn)P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，則方程x0x+y0y=r2表示過(guò)點(diǎn)P的⊙C的切線.其實(shí)這個(gè)結(jié)論完全可以類(lèi)比到橢圓、雙曲線和拋物線這些圓錐曲線中，而且利用這樣的結(jié)論還可以得到圓錐曲線非常有趣的光學(xué)性質(zhì)，學(xué)生會(huì)很有興趣的.在實(shí)際和科學(xué)技術(shù)上也得到了廣泛的應(yīng)用.

再如，在平面直角坐標(biāo)系中，直線可以用關(guān)于x，y的二元一次方程來(lái)表示，點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中，平面可以用關(guān)于x，y，z的三元一次方程來(lái)表示，點(diǎn)P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距離為d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法來(lái)求點(diǎn)到平面的距離的時(shí)候，有相當(dāng)一部分問(wèn)題都可以用這個(gè)公式來(lái)進(jìn)行.3 趣味性原則

有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容之多，已經(jīng)覺(jué)得很累了，老師還要增加教材和考綱中沒(méi)有的東西，多無(wú)聊啊.所以我們應(yīng)該拓展一些學(xué)生普遍都比較感興趣的內(nèi)容，這樣才能取得良好的效果.

例如，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)問(wèn)題是常見(jiàn)問(wèn)題，資料上出現(xiàn)的頻率也很高，三次函數(shù)的形式本身不復(fù)雜，為什么很少有老師舍得花一點(diǎn)時(shí)間和學(xué)生一起來(lái)探討研究一下三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)呢？如果作一點(diǎn)研究后會(huì)發(fā)現(xiàn)：其圖像很規(guī)則，性質(zhì)很穩(wěn)定，尤其是圖像關(guān)于拐點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（這個(gè)性質(zhì)可以解決一類(lèi)流行性競(jìng)賽題）.

再如，在圓錐曲線的一些綜合問(wèn)題中，時(shí)常會(huì)從中發(fā)現(xiàn)、提煉出一些非常有趣的圓錐曲線具有普遍意義的共同的性質(zhì)，結(jié)論真是太漂亮了，學(xué)生對(duì)這樣的探究也頗感興趣.經(jīng)常做一些這樣的工作，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生探究的熱情、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，是十分有益的.4 實(shí)用性原則

我們對(duì)一些知識(shí)作適當(dāng)?shù)耐卣购鸵辏浜苤匾囊粋€(gè)因素是拓展和引申出來(lái)的東西有用嗎？這也會(huì)是學(xué)生經(jīng)常會(huì)關(guān)注的問(wèn)題.這樣的工作做得好，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到很重要的作用.學(xué)生對(duì)學(xué)到的東西會(huì)覺(jué)得學(xué)以致用，有成就感.

例如，圓錐曲線問(wèn)題中，常常出現(xiàn)圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段（簡(jiǎn)稱(chēng)焦半徑）長(zhǎng)度距離問(wèn)題，利用圓錐曲線的第二定義，可以輕松地得到焦半徑公式，使用十分便捷.只是橢圓和雙曲線的焦半徑公式容易混淆，不易記憶，我們只要充分理解公式的由來(lái)，就可以方便的解題.

再如，從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的代數(shù)形式上觀察，我們不難歸納出公式的另外一種形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.這種形式更加體現(xiàn)了數(shù)列函數(shù)的屬性，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)很實(shí)用.5 分階段原則

有些問(wèn)題的拓展和引申，是循序漸進(jìn)的，從學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)水平上來(lái)說(shuō)，都不能一下子到達(dá)一定的高度，這就需要在幾個(gè)不同的階段，對(duì)該問(wèn)題作不同程度的拓展和引申.

例如，在高中數(shù)學(xué)必修1教材中有這樣兩個(gè)問(wèn)題：

（1）已知函數(shù)f（x）=10x，x∈R，對(duì)任意x1，x2∈R，試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

（2）已知函數(shù)f（x）=lgx，x∈（0，+∞），對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大??；

這兩個(gè)問(wèn)題，在基本不等式內(nèi)容之前出現(xiàn)，似乎著急了一點(diǎn)，但是在教師的引導(dǎo)下，可以克服這個(gè)小小的遺憾.其實(shí)這兩個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)，編者的真實(shí)意圖是想讓學(xué)生在大小關(guān)系的結(jié)論中，進(jìn)一步體會(huì)圖像的凸性與大小的關(guān)系（盡管圖像的凸性不是教材要求內(nèi)容），教師在引導(dǎo)解完問(wèn)題后應(yīng)該及時(shí)揭示，而這個(gè)圖像的凸性在圖像中是非常直觀的，但是在理論上如何進(jìn)一步的研究函數(shù)圖像的凸性，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)就不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的凸性與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系.

其實(shí)，在以上的一些例子中不難發(fā)現(xiàn)，有些例子同時(shí)符合幾個(gè)原則，那就體現(xiàn)了這些例子的拓展和引申更具有意義.哪些知識(shí)在課堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？應(yīng)該是教育長(zhǎng)期探討研究的問(wèn)題，總體應(yīng)該符合以學(xué)生為本，以學(xué)生得到充分發(fā)展為前提.

數(shù)學(xué)課堂中，對(duì)有關(guān)知識(shí)和能力作適當(dāng)?shù)耐卣购鸵晔菙?shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的基本問(wèn)題，處理得好對(duì)學(xué)生的持續(xù)發(fā)展能夠起到不可小視的作用.對(duì)一些知識(shí)加以適當(dāng)?shù)耐卣古c引申，不僅能使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且對(duì)于溝通知識(shí)的聯(lián)系、開(kāi)拓思路、培養(yǎng)創(chuàng)新思維和對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣都十分有益.

那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？對(duì)這些問(wèn)題的把握至關(guān)重要.以個(gè)人之見(jiàn)，我對(duì)這樣的問(wèn)題提出如下幾個(gè)原則，供同行們討論.1 低門(mén)檻原則

低門(mén)檻，就是在原來(lái)知識(shí)的基礎(chǔ)上，作小步伐的拓展和引申，又能得到實(shí)質(zhì)性的提升.這樣做，常常會(huì)在不費(fèi)吹灰之力的情況下，能夠得到很漂亮的結(jié)論，而且結(jié)論很實(shí)用.

例如，在學(xué)習(xí)基本不等式時(shí)，可以考慮推廣到n元基本不等式，即對(duì)n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，取得等號(hào)），這對(duì)將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，具有重要意義.比如，有一類(lèi)函數(shù)需要通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，如果有了推廣的基本不等式，就方便多了.

再如，函數(shù)y=x+ax是高中階段經(jīng)常討論的，其實(shí)在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性和奇偶性）時(shí)，就完全可以把這樣的函數(shù)研究得比較透徹.在學(xué)習(xí)基本不等式的時(shí)候，可以進(jìn)一步探討，來(lái)印證原來(lái)研究所得的結(jié)論.到了學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，又有了更新的方法來(lái)研究這樣的函數(shù).通過(guò)這樣幾個(gè)不同的階段來(lái)研究這樣的函數(shù)，那么對(duì)這樣的函數(shù)或者涉及這樣函數(shù)的問(wèn)題，我們會(huì)把問(wèn)題搞得十分清楚.2 類(lèi)比性原則

數(shù)學(xué)中有很多結(jié)論可以通過(guò)類(lèi)比猜想得到，當(dāng)然不是盲目的猜想，是需要證明的.經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察類(lèi)比，有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維品質(zhì).

例如，我們知道，如果點(diǎn)P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，則方程x0x+y0y=r2表示過(guò)點(diǎn)P的⊙C的切線.其實(shí)這個(gè)結(jié)論完全可以類(lèi)比到橢圓、雙曲線和拋物線這些圓錐曲線中，而且利用這樣的結(jié)論還可以得到圓錐曲線非常有趣的光學(xué)性質(zhì)，學(xué)生會(huì)很有興趣的.在實(shí)際和科學(xué)技術(shù)上也得到了廣泛的應(yīng)用.

再如，在平面直角坐標(biāo)系中，直線可以用關(guān)于x，y的二元一次方程來(lái)表示，點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中，平面可以用關(guān)于x，y，z的三元一次方程來(lái)表示，點(diǎn)P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距離為d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法來(lái)求點(diǎn)到平面的距離的時(shí)候，有相當(dāng)一部分問(wèn)題都可以用這個(gè)公式來(lái)進(jìn)行.3 趣味性原則

有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容之多，已經(jīng)覺(jué)得很累了，老師還要增加教材和考綱中沒(méi)有的東西，多無(wú)聊啊.所以我們應(yīng)該拓展一些學(xué)生普遍都比較感興趣的內(nèi)容，這樣才能取得良好的效果.

例如，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)問(wèn)題是常見(jiàn)問(wèn)題，資料上出現(xiàn)的頻率也很高，三次函數(shù)的形式本身不復(fù)雜，為什么很少有老師舍得花一點(diǎn)時(shí)間和學(xué)生一起來(lái)探討研究一下三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)呢？如果作一點(diǎn)研究后會(huì)發(fā)現(xiàn)：其圖像很規(guī)則，性質(zhì)很穩(wěn)定，尤其是圖像關(guān)于拐點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（這個(gè)性質(zhì)可以解決一類(lèi)流行性競(jìng)賽題）.

再如，在圓錐曲線的一些綜合問(wèn)題中，時(shí)常會(huì)從中發(fā)現(xiàn)、提煉出一些非常有趣的圓錐曲線具有普遍意義的共同的性質(zhì)，結(jié)論真是太漂亮了，學(xué)生對(duì)這樣的探究也頗感興趣.經(jīng)常做一些這樣的工作，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生探究的熱情、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，是十分有益的.4 實(shí)用性原則

我們對(duì)一些知識(shí)作適當(dāng)?shù)耐卣购鸵?，其很重要的一個(gè)因素是拓展和引申出來(lái)的東西有用嗎？這也會(huì)是學(xué)生經(jīng)常會(huì)關(guān)注的問(wèn)題.這樣的工作做得好，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到很重要的作用.學(xué)生對(duì)學(xué)到的東西會(huì)覺(jué)得學(xué)以致用，有成就感.

例如，圓錐曲線問(wèn)題中，常常出現(xiàn)圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段（簡(jiǎn)稱(chēng)焦半徑）長(zhǎng)度距離問(wèn)題，利用圓錐曲線的第二定義，可以輕松地得到焦半徑公式，使用十分便捷.只是橢圓和雙曲線的焦半徑公式容易混淆，不易記憶，我們只要充分理解公式的由來(lái)，就可以方便的解題.

再如，從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的代數(shù)形式上觀察，我們不難歸納出公式的另外一種形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.這種形式更加體現(xiàn)了數(shù)列函數(shù)的屬性，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)很實(shí)用.5 分階段原則

有些問(wèn)題的拓展和引申，是循序漸進(jìn)的，從學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)水平上來(lái)說(shuō)，都不能一下子到達(dá)一定的高度，這就需要在幾個(gè)不同的階段，對(duì)該問(wèn)題作不同程度的拓展和引申.

例如，在高中數(shù)學(xué)必修1教材中有這樣兩個(gè)問(wèn)題：

（1）已知函數(shù)f（x）=10x，x∈R，對(duì)任意x1，x2∈R，試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大?。?/p>

（2）已知函數(shù)f（x）=lgx，x∈（0，+∞），對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大?。?/p>

這兩個(gè)問(wèn)題，在基本不等式內(nèi)容之前出現(xiàn)，似乎著急了一點(diǎn)，但是在教師的引導(dǎo)下，可以克服這個(gè)小小的遺憾.其實(shí)這兩個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)，編者的真實(shí)意圖是想讓學(xué)生在大小關(guān)系的結(jié)論中，進(jìn)一步體會(huì)圖像的凸性與大小的關(guān)系（盡管圖像的凸性不是教材要求內(nèi)容），教師在引導(dǎo)解完問(wèn)題后應(yīng)該及時(shí)揭示，而這個(gè)圖像的凸性在圖像中是非常直觀的，但是在理論上如何進(jìn)一步的研究函數(shù)圖像的凸性，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)就不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的凸性與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系.

其實(shí)，在以上的一些例子中不難發(fā)現(xiàn)，有些例子同時(shí)符合幾個(gè)原則，那就體現(xiàn)了這些例子的拓展和引申更具有意義.哪些知識(shí)在課堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？應(yīng)該是教育長(zhǎng)期探討研究的問(wèn)題，總體應(yīng)該符合以學(xué)生為本，以學(xué)生得到充分發(fā)展為前提.