付云鵬+馬樹才

摘要：本文以模糊變量的截集為切入點，給出隨機變量取值為模糊數(shù)時加權可能性均值、方差和協(xié)方差的定義，將其分別作為證券投資收益為模糊數(shù)時未來收益、風險和不同證券收益之間相關程度的度量，構建了基于加權可能性均值-方差的組合投資決策模型；通過在加權可能性均值-方差模型中加入無風險資產和投資比例限制而使模型結構更加完整，應用過程中更加貼近實際情況，并結合中國證券市場的實際運行狀況將三個模型的實證結果進行了對比分析。

關鍵詞： 模糊數(shù)； 加權可能性均值； 加權可能性方差； 無風險資產； 投資比例

中圖分類號： F830 文獻標識碼： A

證券市場是現(xiàn)代金融體系的一個重要的組成部分，證券市場的基本功能之一就是為資金盈余者提供投資對象，為資金短缺者提供資金來源。由于受到國際形勢、國家宏觀經濟狀況、企業(yè)自身經營情況和自然災害等不確定性因素的影響，投資的收益和風險無法精確地描述和刻畫，如何在投資過程中尋求到投資的收益高而風險低的最優(yōu)策略是投資者關心的首要問題。組合投資使投資者投資于各種證券的資金適當分散化，將不同的資金份額投資于不同的證券，通過多種證券風險的彼此抵消，達到在保證其收益的同時降低風險的目的。

鑒于組合投資理論研究對象的復雜性，面對這樣極為復雜的系統(tǒng)，除了證券收益和風險的自身不確定性外，對該系統(tǒng)的描述也往往不確定。證券組合投資問題的主要研究內容就是在不確定性的系統(tǒng)中分析不確定性的收益及風險，研究建立滿足不同類型的投資需求和不同投資環(huán)境約束的模型，以及如何獲得模型的有效邊界。這種不確定性表現(xiàn)為兩種不同的形式：一種是事件發(fā)生與否以及發(fā)生的概率有多大的不確定性，即所謂的隨機性；另一種是事件所處的系統(tǒng)狀態(tài)自身的復雜性，及投資者思維判斷的主觀性所導致的邊界不明確的不確定性，即所謂的模糊性。從信息觀點看，隨機性只涉及到信息的量，而模糊性則關系到信息的含義，可以說模糊性是一種比隨機性更為深刻的不確定性。模糊性的存在在現(xiàn)實中也比隨機性的存在更為廣泛，尤其是在主觀認識領域，模糊性的作用遠比隨機性的作用更為重要。因此，對證券市場中的不確定性進行研究，在模糊環(huán)境下研究組合投資問題，將模糊信息考慮到組合投資決策模型的構建之中，建立基于模糊信息處理的組合投資模型，從理論上講具有非常重要的意義。

一、加權可能性均值、方差的定義及性質

（一）加權可能性均值及性質

定義1：設∈F（R）為模糊變量，的α（α∈（0，1））截集為Aα=[A-α，A+α]，則模糊變量的基于截集的加權可能性均值為：

Ew（）=∫01[λE（A+α）+（1-λ）E（A-α）]dα（1）

其中E（A-α）表示模糊變量的截集左端點的均值，E（A+α）分別表示模糊變量的截集右端點的均值，權重參數(shù)λ∈[0，1]為決策者的樂觀程度系數(shù)。λ值越大，加權可能性均值越偏向于模糊變量的α截集的右端點。此時加權可能性均值越大，說明決策者越樂觀；λ值越小，投資者的風險態(tài)度越悲觀。

當模糊變量為三角型模糊變量=時，設其取值分別為i=，i=1，2，…，n，其中pi，qi分別為三角型模糊變量i的左、右寬度，由定義1可知的加權可能性均值為：

Ew（）=∫01[λE（A+α）+（1-λ）E（A-α）]dα

=+[SX（]1[]2[SX）]λ-[SX（]1[]2[SX）]（1-λ）（2）

其中=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]ai，=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]pi，=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]qi為實數(shù)平均值。

定理1：設兩個模糊變量，的α截集分別為Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，k為非負實數(shù)，則：

（1）Ew（k）=kEw（）；

（2）Ew（+）=Ew（）+Ew（）。

（二）加權可能性方差與協(xié)方差的定義及性質

定義2：設∈F（R）為模糊變量，的α截集為Aα=[A-α，A+α]，則模糊變量的基于截集的加權可能性方差為：

Varw（）=∫01[λVar（A+α）+（1-λ）Var（A-α）]dα（3）

其中Var（A-α）為模糊變量的截集左端點的方差，Var（A+α）為模糊變量的截集右端點的方差，加權可能性方差定義為模糊變量的每個截集的左端點方差Var（A-α）和右端點方差Var（A+α）的加權平均值。權重λ∈[0，1]的值越大，加權可能性方差越接近于截集右端點的方差；λ值越小，加權可能性方差越接近于截集左端點的方差。

定義3：設，∈F（R）為模糊變量，，的α截集分別為Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，則模糊變量，的基于截集的加權可能性協(xié)方差為：

Covw（，）=∫01[λCov（A+α，B+α）+（1-λ）Cov（A-α，B-α）]dα（4）

其中Cov（A-α，B-α）為模糊變量，截集的左端點的協(xié)方差，Cov（A+α，B+α）Var（A+α）為模糊變量，截集的右端點的協(xié)方差。權重λ∈[0，1]值越大，加權可能性協(xié)方差越接近于截集右端點的協(xié)方差；λ值越小，加權可能性方差越接近于截集左端點的協(xié)方差。

定理2：設兩個模糊變量，的α截集分別為Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，k為非負實數(shù)，則：

（1）Varw（k）=k2Varw（）；

（2）Varw（+）=Varw（）+Varw（）+2Covw（，）。

推論1：設，為模糊變量，m，n為非負實數(shù)，則：

Varw（m+n）=m2Varw（）+n2Varw（）+2mnCovw（，）

三角型模糊變量的加權可能性方差為：

Varw（）=∫01[λVar（A+α）+（1-λ）Var（A-α）]dα=Var（a）+λCov（a，q）-（1-λ）Cov（a，p）+[SX（]1[]3[SX）]λVar（q）+[SX（]1[]3[SX）]（1-λ）Var（p）（5）

當i，j為三角型模糊變量i=和j=時，i，j的加權可能性協(xié)方差為：

Covw（i，j）=Cov（ai，aj）+[SX（]1[]2[SX）]λ[Cov（ai，qj）+Cov（aj，qi）]-[SX（]1[]2[SX）]（1-λ）[Cov（ai，pj）+Cov（aj，pi）]（6）

二、加權可能性均值-方差的組合投資模型

（一）模型構建

假設市場上有n種風險資產可以進行組合投資，設風險資產i資產的預期收益率為i（i=1，2，…，n），xi（0xi1）為投資者投資于證券i的比例，于是該證券組合投資的預期收益率=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii也是一個模糊數(shù)，若模糊收益率i的α∈[0，1]）截集為（ri）α={x∈X|i（x）α}=[r-iα，r+iα]，根據(jù)加權可能性均值的定義，可知組合投資的預期收益率的可能性均值為：

Ew（）=Ew∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xiEw（i）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi∫01[λE（r+iα+（1-λ）E（r-iα）]dα]

其中權重參數(shù)λ的取值反映了投資者對組合資產的未來收益的樂觀程度，組合資產的模糊收益率的加權可能性方差為：

Varw（）=Varw（∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2Varw（i）+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixjCovw（i，j）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2∫01[λVar（r+iα+（1-λ）Var（r-iα）]dα+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixj∫01[λCov（r+iα，r+jα+（1-λ）Cov（r-iα，r-jα）]dα

其中，權重參數(shù)λ的取值反映了投資者對組合投資的未來風險的樂觀程度。若用證券組合投資的預期收益率的加權可能性均值和加權可能性方差，分別作為證券投資未來收益和風險的度量，則在預先給定收益率的下限為μ（μ>0）的條件下，選擇投資組合使其總風險最小的組合投資模型可表示為：

min Varw（）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2Varw（i）+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixjCovw（i，j）

s.t.Ew（）μ

∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi=1

xi0（7）

（二）實證分析

選取上海證券交易所中上市的8種股票進行組合投資，具體名稱和代碼見表1，樣本數(shù)據(jù)選取上述8種股票從2007年1月到2010年3月，共39個月的月收益率數(shù)據(jù)的均值作為每種股票的預期收益率。由于股票的價格在同一天中也是波動變化的，本文采用三角型模糊數(shù)來表示股票的月收益率，設第i種股票第t個月的最高價格為Git，最低價格為Dit，第一個交易日的開盤價格為Kit，最后一個交易日的收盤價格為Sit，則第i種股票第t個月的月收益率可用三角型模糊數(shù)it=（i=1，2，…，8；t=1，2，…，39）來表示，其中αit=rit-nit，βit=mit-rit，mit=[SX（]Git-Kit[]Kit[SX）]×100%，rit=[SX（]Sit-Kit[]Kit[SX）]×100%，nit=[SX（]Dit-Kit[]Kit[SX）]×100%，則顯然有nitritmit。這樣得到的每月的收益率都反映了該月收益率的波動情況，于是第i種股票的模糊預期收益率可用三角型模糊數(shù)表示：

i==[SX（]1[]T[SX）]∑[DD（]T[]t=1[DD）]it（8）

其中T為樣本數(shù)據(jù)的時期數(shù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求得上述8種股票的模糊收益率的中心值及左、右寬度的均值數(shù)據(jù)見表1。

假設某投資者對投資的收益和風險均持中立的態(tài)度，取風險樂觀系數(shù)為λ=05，此時8種證券的加權可能性均值和加權可能性方差數(shù)據(jù)分別見表2和表3。將表2和表3中的數(shù)據(jù)代入到模型（7），可得不同預期收益率下限的不同投資比例與風險見表4。從表4中可以看出隨著預期收益率下限的增大，模型的風險值隨之增大。投資者根據(jù)不同的收益率的下限選擇不同的投資比例，同時承擔相應的風險。

三、存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型

（一）模型構建

假設投資者將其持有資金按x0（x00）的比例存入銀行，視利息收益為無風險收益，其收益率為r0，風險值為0；將其余的資金投資于n種風險資產，第i種風險資產的模糊收益率為i=（i=1，2，…，n），投資比例為xi（xi0），則存在無風險資產條件下的加權可能性均值-方差模型可表示為：

（二）實證分析

若投資者除了將全部的持有的資金投資于8種股票外，還將其部分資金存入銀行，即投資于無風險資產，當前一年期定期存款利率為225%，將其折合為月收益平均利率后為01856%，將表2、表3中的數(shù)據(jù)和月存款收益率代入模型（9）中，可得不同預期收益率下限的不同投資比例與風險見表5。

從表5中可以看出當投資者的預期收益率小于銀行存款月利率01856%時，投資者會將其全部資產存入銀行，此時不需要承擔任何風險；當預期收益率下限在025%到2%之間時，投資者為了獲得更多的收益，將其持有資金投資于股票3、股票5和股票7，隨著預期收益率的提高，三種股票的投資比例相應增加，銀行存款的比例相應下降；當預期收益率下限為2%時，銀行存款的比例下降到5437%，股票3的投資比例增加到1474%，股票5的投資比例增加到2259%，股票7的投資比例增加到829%，在此過程中投資者所需承擔的風險值也由00722增加到572324；當預期收益率下限在25%到4%之間時，股票3、股票5和股票7的投資比例繼續(xù)增加，銀行存款的投資比例繼續(xù)下降，由4809%下降到408%，股票5的投資比例由2571%上升到475%，風險值也由740908上升到2529464；當預期收益率下限為42686%時，此時銀行存款的投資比例為0，全部資金投資于股票4，此時模型的風險達到最大值3572106。

四、存在投資比例限制的加權可能性均值-方差組合投資模型

（一）模型構建

在證券交易市場中，證券的交易數(shù)量往往會受到一定的限制，投資者在實際投資決策中也可能基于各方面因素的綜合考慮，常常對于資金的分配有一定的最高投資比例和最低投資比例的主觀限制。為滿足上述要求，本文建立存在投資限制條件下的加權可能性均值-方差投資模型如下：

（二）實證分析

若投資者為避免風險將其資金存入銀行的比例限制在10%-30%之間，為保證投資的分散性將每種股票的投資比例也做適當?shù)南拗疲O投資比例的上、下界限制向量分別為：

將表2和表3中數(shù)據(jù)代入模型（10），可得到不同預期收益率下限的投資比例和風險見表6。從表6中可以看出當預期收益率下限小于1669%時，投資者將其全部資金的30%投資于無風險資產，1%投資于風險資產1，將167%投資于風險資產2，1%投資于風險資產3，213%投資于風險資產4，452%投資于風險資產5，131%投資于風險資產6，1%投資于風險資產7，2641%投資于風險資產8，在8種風險資產中投資比例最大的是資產8，風險資產1、3、7只達到預先給的投資比例下限，此時投資者所有承擔的風險為873144。在本例中投資者所能達到的最高的收益率為36561%，此時承擔的風險值為2256776。雖然在投資者對風險的樂觀程度為中性的時候，即λ=05時，8種風險資產收益率的加權可能性均值中有兩種資產：資產3的收益率的加權可能性均值為42686%，資產5的收益率的加權可能性均值為4117%，大于模型中所能達到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投資比例的限制，無法達到更高的收益水平；同時，投資者所有承擔的最高風險值2256776，也要小于沒有投資比例限制的最高風險值3572016。

五、模型的比較分析

本文構建的模型（9）在模型（7）的基礎上增加了無風險資產，由于無風險資產的收益率相對較低，在預期收益率下限較小的時候，投資者可以獲得無風險的收益。隨著投資者預期收益率的提高，投資于無風險資產的比例在逐漸地下降，但是當投資者的預期收益率的下限很大的時候，無風險資產的投資比例為0。模型（10）在模型（9）的基礎上增加了投資比例的限制。在為了保證投資的分散性，事先對每種資產的投資比例做了最高和最低的投資比例限制，雖然投資者在這種情況下所能達到的預期收益率水平降低了，但是其承擔的風險的最大值也變小了。

三種模型的風險收益關系圖見圖1，從圖1中可以看出三種模型中投資者所承擔的風險值都是隨著預期收益率的增加而增加；在不存在無風險資產的模型中，盡管預期收益率下限很低，小于225%，這時投資者仍要承擔較大的風險，其值為1764268；同樣對于存在無風險資產的模型，對應于同一個預期收益率下限水平225%，投資者所需承擔的風險值僅為740908。因為此時投資者將其全部資產的4809%存入銀行，這部分投資無需承擔任何風險，只有其投資于股票3的1474%、投資于股票5的2259%和投資于股票7的829%是需要承擔風險的。但是，當預期收益率下限大于425%時，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中無風險資產的投資比例下降為0，也就是說決策者將全部資產投資于風險資產。此時兩種模型的預期值相同時，風險值也相同，兩個模型的風險-收益關系圖像重合。

存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的風險收益關系圖像，位于存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型和加權可能性均值-方差模型的風險收益關系圖之間，這說明對應于同一個預期收益率下限的值，存在投資比例限制的模型加權可能性均值-方差模型的風險值，介于加權可能性均值-方差模型和存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值中間。例如當投資者的預期收益率為275%時，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的風險值為1204906，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值為1143266，加權可能性均值-方差模型的風險值為1824404。這是因為在存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型中有30%的資金投資于無風險資產，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中3551%的資金投資于無風險資產，而加權可能性均值-方差模型將全部資金投資于風險資產，故其風險值最大。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型最大收益無法達到另外兩個模型同樣的42686%，其所能到達的最大值為36561%。因此，在圖1中存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的收益-風險曲線要比另外兩條曲線短。

六、結論

本文通過在基于加權均值-方差的組合投資模型中加入無風險資產和投資比例限制的條件，使得模型更加完善、應用過程中更加貼近實際情況。在預期收益率較低的情況下，研究表明存在無風險資產的模型比沒有無風險資產的模型具有更小的風險。但是，當預期收益率下限大于425%時，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中無風險資產的投資比例下降為0，此時兩種模型的預期值相同時，風險值也相同。在同一個預期收益率下限的情況下，存在投資比例限制的模型加權可能性均值-方差模型的風險值，介于加權可能性均值-方差模型和存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值中間。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型最大預期收益的最大值比另外兩個模型的最小。

參考文獻：

[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.

[2] Carlsson C.， Fuller R.， Mailender P.Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，131：13-21.

[3] 張衛(wèi)國.現(xiàn)代投資組合理論——模型、方法與應用[M].北京：科學出版社，2007.

[4] 陳煒，張潤彤，楊玲.存在融資條件下證券組合選擇的一種模糊決策方法[J].北京交通大學學報， 2007（3）：67-70.

[5] 洪雁，邵全，吳祈宗.模糊機會約束規(guī)劃下的投資組合模型研究[J].數(shù)量經濟技術經濟研究，2005（9）：112-118.

[6] 許若寧，翟曉燕.風險投資決策的模糊分析模型[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2008（1）：120-126.

[7] 姚邵文.模糊環(huán)境下的投資組合模型[J].統(tǒng)計與決策，2009（8）：149-150.

[8] 付云鵬，馬樹才.一種新的基于可能性均值的證券組合投資決策模型[J].統(tǒng)計與決策，2011（3）：164-166.

[9] 付云鵬，馬樹才，宋琪.基于模糊空間距離的組合投資模型及應用研究[J].數(shù)量經濟技術經濟研究，2012（8）：124-136.endprint

四、存在投資比例限制的加權可能性均值-方差組合投資模型

（一）模型構建

在證券交易市場中，證券的交易數(shù)量往往會受到一定的限制，投資者在實際投資決策中也可能基于各方面因素的綜合考慮，常常對于資金的分配有一定的最高投資比例和最低投資比例的主觀限制。為滿足上述要求，本文建立存在投資限制條件下的加權可能性均值-方差投資模型如下：

（二）實證分析

若投資者為避免風險將其資金存入銀行的比例限制在10%-30%之間，為保證投資的分散性將每種股票的投資比例也做適當?shù)南拗?，設投資比例的上、下界限制向量分別為：

將表2和表3中數(shù)據(jù)代入模型（10），可得到不同預期收益率下限的投資比例和風險見表6。從表6中可以看出當預期收益率下限小于1669%時，投資者將其全部資金的30%投資于無風險資產，1%投資于風險資產1，將167%投資于風險資產2，1%投資于風險資產3，213%投資于風險資產4，452%投資于風險資產5，131%投資于風險資產6，1%投資于風險資產7，2641%投資于風險資產8，在8種風險資產中投資比例最大的是資產8，風險資產1、3、7只達到預先給的投資比例下限，此時投資者所有承擔的風險為873144。在本例中投資者所能達到的最高的收益率為36561%，此時承擔的風險值為2256776。雖然在投資者對風險的樂觀程度為中性的時候，即λ=05時，8種風險資產收益率的加權可能性均值中有兩種資產：資產3的收益率的加權可能性均值為42686%，資產5的收益率的加權可能性均值為4117%，大于模型中所能達到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投資比例的限制，無法達到更高的收益水平；同時，投資者所有承擔的最高風險值2256776，也要小于沒有投資比例限制的最高風險值3572016。

五、模型的比較分析

本文構建的模型（9）在模型（7）的基礎上增加了無風險資產，由于無風險資產的收益率相對較低，在預期收益率下限較小的時候，投資者可以獲得無風險的收益。隨著投資者預期收益率的提高，投資于無風險資產的比例在逐漸地下降，但是當投資者的預期收益率的下限很大的時候，無風險資產的投資比例為0。模型（10）在模型（9）的基礎上增加了投資比例的限制。在為了保證投資的分散性，事先對每種資產的投資比例做了最高和最低的投資比例限制，雖然投資者在這種情況下所能達到的預期收益率水平降低了，但是其承擔的風險的最大值也變小了。

三種模型的風險收益關系圖見圖1，從圖1中可以看出三種模型中投資者所承擔的風險值都是隨著預期收益率的增加而增加；在不存在無風險資產的模型中，盡管預期收益率下限很低，小于225%，這時投資者仍要承擔較大的風險，其值為1764268；同樣對于存在無風險資產的模型，對應于同一個預期收益率下限水平225%，投資者所需承擔的風險值僅為740908。因為此時投資者將其全部資產的4809%存入銀行，這部分投資無需承擔任何風險，只有其投資于股票3的1474%、投資于股票5的2259%和投資于股票7的829%是需要承擔風險的。但是，當預期收益率下限大于425%時，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中無風險資產的投資比例下降為0，也就是說決策者將全部資產投資于風險資產。此時兩種模型的預期值相同時，風險值也相同，兩個模型的風險-收益關系圖像重合。

存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的風險收益關系圖像，位于存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型和加權可能性均值-方差模型的風險收益關系圖之間，這說明對應于同一個預期收益率下限的值，存在投資比例限制的模型加權可能性均值-方差模型的風險值，介于加權可能性均值-方差模型和存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值中間。例如當投資者的預期收益率為275%時，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的風險值為1204906，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值為1143266，加權可能性均值-方差模型的風險值為1824404。這是因為在存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型中有30%的資金投資于無風險資產，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中3551%的資金投資于無風險資產，而加權可能性均值-方差模型將全部資金投資于風險資產，故其風險值最大。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型最大收益無法達到另外兩個模型同樣的42686%，其所能到達的最大值為36561%。因此，在圖1中存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的收益-風險曲線要比另外兩條曲線短。

六、結論

本文通過在基于加權均值-方差的組合投資模型中加入無風險資產和投資比例限制的條件，使得模型更加完善、應用過程中更加貼近實際情況。在預期收益率較低的情況下，研究表明存在無風險資產的模型比沒有無風險資產的模型具有更小的風險。但是，當預期收益率下限大于425%時，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中無風險資產的投資比例下降為0，此時兩種模型的預期值相同時，風險值也相同。在同一個預期收益率下限的情況下，存在投資比例限制的模型加權可能性均值-方差模型的風險值，介于加權可能性均值-方差模型和存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值中間。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型最大預期收益的最大值比另外兩個模型的最小。

參考文獻：

[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.

[2] Carlsson C.， Fuller R.， Mailender P.Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，131：13-21.

[3] 張衛(wèi)國.現(xiàn)代投資組合理論——模型、方法與應用[M].北京：科學出版社，2007.

[4] 陳煒，張潤彤，楊玲.存在融資條件下證券組合選擇的一種模糊決策方法[J].北京交通大學學報， 2007（3）：67-70.

[5] 洪雁，邵全，吳祈宗.模糊機會約束規(guī)劃下的投資組合模型研究[J].數(shù)量經濟技術經濟研究，2005（9）：112-118.

[6] 許若寧，翟曉燕.風險投資決策的模糊分析模型[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2008（1）：120-126.

[7] 姚邵文.模糊環(huán)境下的投資組合模型[J].統(tǒng)計與決策，2009（8）：149-150.

[8] 付云鵬，馬樹才.一種新的基于可能性均值的證券組合投資決策模型[J].統(tǒng)計與決策，2011（3）：164-166.

[9] 付云鵬，馬樹才，宋琪.基于模糊空間距離的組合投資模型及應用研究[J].數(shù)量經濟技術經濟研究，2012（8）：124-136.endprint

四、存在投資比例限制的加權可能性均值-方差組合投資模型

（一）模型構建

在證券交易市場中，證券的交易數(shù)量往往會受到一定的限制，投資者在實際投資決策中也可能基于各方面因素的綜合考慮，常常對于資金的分配有一定的最高投資比例和最低投資比例的主觀限制。為滿足上述要求，本文建立存在投資限制條件下的加權可能性均值-方差投資模型如下：

（二）實證分析

若投資者為避免風險將其資金存入銀行的比例限制在10%-30%之間，為保證投資的分散性將每種股票的投資比例也做適當?shù)南拗?，設投資比例的上、下界限制向量分別為：

將表2和表3中數(shù)據(jù)代入模型（10），可得到不同預期收益率下限的投資比例和風險見表6。從表6中可以看出當預期收益率下限小于1669%時，投資者將其全部資金的30%投資于無風險資產，1%投資于風險資產1，將167%投資于風險資產2，1%投資于風險資產3，213%投資于風險資產4，452%投資于風險資產5，131%投資于風險資產6，1%投資于風險資產7，2641%投資于風險資產8，在8種風險資產中投資比例最大的是資產8，風險資產1、3、7只達到預先給的投資比例下限，此時投資者所有承擔的風險為873144。在本例中投資者所能達到的最高的收益率為36561%，此時承擔的風險值為2256776。雖然在投資者對風險的樂觀程度為中性的時候，即λ=05時，8種風險資產收益率的加權可能性均值中有兩種資產：資產3的收益率的加權可能性均值為42686%，資產5的收益率的加權可能性均值為4117%，大于模型中所能達到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投資比例的限制，無法達到更高的收益水平；同時，投資者所有承擔的最高風險值2256776，也要小于沒有投資比例限制的最高風險值3572016。

五、模型的比較分析

本文構建的模型（9）在模型（7）的基礎上增加了無風險資產，由于無風險資產的收益率相對較低，在預期收益率下限較小的時候，投資者可以獲得無風險的收益。隨著投資者預期收益率的提高，投資于無風險資產的比例在逐漸地下降，但是當投資者的預期收益率的下限很大的時候，無風險資產的投資比例為0。模型（10）在模型（9）的基礎上增加了投資比例的限制。在為了保證投資的分散性，事先對每種資產的投資比例做了最高和最低的投資比例限制，雖然投資者在這種情況下所能達到的預期收益率水平降低了，但是其承擔的風險的最大值也變小了。

三種模型的風險收益關系圖見圖1，從圖1中可以看出三種模型中投資者所承擔的風險值都是隨著預期收益率的增加而增加；在不存在無風險資產的模型中，盡管預期收益率下限很低，小于225%，這時投資者仍要承擔較大的風險，其值為1764268；同樣對于存在無風險資產的模型，對應于同一個預期收益率下限水平225%，投資者所需承擔的風險值僅為740908。因為此時投資者將其全部資產的4809%存入銀行，這部分投資無需承擔任何風險，只有其投資于股票3的1474%、投資于股票5的2259%和投資于股票7的829%是需要承擔風險的。但是，當預期收益率下限大于425%時，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中無風險資產的投資比例下降為0，也就是說決策者將全部資產投資于風險資產。此時兩種模型的預期值相同時，風險值也相同，兩個模型的風險-收益關系圖像重合。

存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的風險收益關系圖像，位于存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型和加權可能性均值-方差模型的風險收益關系圖之間，這說明對應于同一個預期收益率下限的值，存在投資比例限制的模型加權可能性均值-方差模型的風險值，介于加權可能性均值-方差模型和存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值中間。例如當投資者的預期收益率為275%時，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的風險值為1204906，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值為1143266，加權可能性均值-方差模型的風險值為1824404。這是因為在存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型中有30%的資金投資于無風險資產，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中3551%的資金投資于無風險資產，而加權可能性均值-方差模型將全部資金投資于風險資產，故其風險值最大。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型最大收益無法達到另外兩個模型同樣的42686%，其所能到達的最大值為36561%。因此，在圖1中存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型的收益-風險曲線要比另外兩條曲線短。

六、結論

本文通過在基于加權均值-方差的組合投資模型中加入無風險資產和投資比例限制的條件，使得模型更加完善、應用過程中更加貼近實際情況。在預期收益率較低的情況下，研究表明存在無風險資產的模型比沒有無風險資產的模型具有更小的風險。但是，當預期收益率下限大于425%時，存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型中無風險資產的投資比例下降為0，此時兩種模型的預期值相同時，風險值也相同。在同一個預期收益率下限的情況下，存在投資比例限制的模型加權可能性均值-方差模型的風險值，介于加權可能性均值-方差模型和存在無風險資產的加權可能性均值-方差模型的風險值中間。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權可能性均值-方差模型最大預期收益的最大值比另外兩個模型的最小。

參考文獻：

[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.

[2] Carlsson C.， Fuller R.， Mailender P.Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，131：13-21.

[3] 張衛(wèi)國.現(xiàn)代投資組合理論——模型、方法與應用[M].北京：科學出版社，2007.

[4] 陳煒，張潤彤，楊玲.存在融資條件下證券組合選擇的一種模糊決策方法[J].北京交通大學學報， 2007（3）：67-70.

[5] 洪雁，邵全，吳祈宗.模糊機會約束規(guī)劃下的投資組合模型研究[J].數(shù)量經濟技術經濟研究，2005（9）：112-118.

[6] 許若寧，翟曉燕.風險投資決策的模糊分析模型[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2008（1）：120-126.

[7] 姚邵文.模糊環(huán)境下的投資組合模型[J].統(tǒng)計與決策，2009（8）：149-150.

[8] 付云鵬，馬樹才.一種新的基于可能性均值的證券組合投資決策模型[J].統(tǒng)計與決策，2011（3）：164-166.

[9] 付云鵬，馬樹才，宋琪.基于模糊空間距離的組合投資模型及應用研究[J].數(shù)量經濟技術經濟研究，2012（8）：124-136.endprint