切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

摘 要：今年來，切換系統(tǒng)的研究成為了控制領域研究的核心問題之一，得到了越來越多的學者的關注。切換系統(tǒng)涉及到了很多廣泛的領域，如：電子科技領域、通訊領域、交通領域等，對于切換系統(tǒng)的研究變得尤為重要。本文見以切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究現狀，進而研究了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析，為了切換系統(tǒng)的研究與發(fā)展，繼而提供了切換系統(tǒng)的最優(yōu)穩(wěn)定性的設計，以此展開此文的論述。

關鍵詞：切換系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分析；設計；研究

中圖分類號：TP273

切換系統(tǒng)是混雜動態(tài)系統(tǒng)中的其中一種重要的模型，具有特殊性，混雜動態(tài)系統(tǒng)包括了兩種動態(tài)系統(tǒng)，即離散事件動態(tài)系統(tǒng)和連續(xù)或離散時間變量動態(tài)系統(tǒng)。切換系統(tǒng)在混雜動態(tài)系統(tǒng)中是非常重要的其中的模型。

1 切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

切換系統(tǒng)的正常運行，是基于系統(tǒng)的穩(wěn)定性能的前提下的，所以，穩(wěn)定性是切換系統(tǒng)的研究的話題。研究為了提高切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使切換系統(tǒng)正常運行。由于對于系統(tǒng)內部的復雜的程序與序列進行符號識別與切換，并保證切換得當，方能確保切換系統(tǒng)的穩(wěn)定操作與運行。對于切換系統(tǒng)內的子系統(tǒng)的穩(wěn)定性能如何，若切換得當，切換系統(tǒng)都能穩(wěn)定運行。因此，切換系統(tǒng)中的切換是否得當，關系到切換系統(tǒng)能否穩(wěn)定運行。以下通過介紹公共Lyapunov函數與多Lyapunov函數是如何控制切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。

1.1 公共Lyapunov函數

為了研究切換系統(tǒng)在任意的切換信號下都能保持穩(wěn)定性，其中達到該目的需要有什么條件，在公共Lyapunov函數的系統(tǒng)中對于任意的切換信號下切換系統(tǒng)保持著相對穩(wěn)定地狀態(tài)，因此，公共Lyapunov函數可以解決在任意切換信號下控制切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的問題。對于公共Lyapunov函數的假設，我們可以認為：切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)都存在公共Lyapunov函數，切換系統(tǒng)在任意切換信號下，都能保持切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對于公共Lyapunov函數，如果Lyapunov函數V（x）>0，那么有：

上式則是公共Lyapunov函數，由以上的式子可以看出，當V（x）>0時，系統(tǒng)能夠達到趨于穩(wěn)定狀態(tài)，但是，如果V（x）沒有這一局限性，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性是全局性的，不能很好地保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在一組穩(wěn)定地矩陣Ai（i∈Q），則存在一個正定矩陣P>0，有：

該式稱為公共二次Lyapunov函數。

對于切換系統(tǒng)中的公共Lyapunov函數若符合以下兩個條件：若線性切換系統(tǒng)Lie代數 可解，全部指數穩(wěn)定，則存在二次型公共Lyapunov函數；若非線性切換系統(tǒng)，當且僅當 ，系統(tǒng)趨向穩(wěn)定，不分指數穩(wěn)定，則存在公共Lyapunov函數。

1.2 多Lyapunov函數

由于公共Lyapunov函數需要滿足的條件非常多且復雜，具有一定的局限性，且許多的切換系統(tǒng)中并不存在公共Lyapunov函數，因此，也就研制出了多Lyapunov函數，該函數是可以根據需要設置出適當的切換信號，使得切換系統(tǒng)穩(wěn)定運行，相對于公共Lyapunov函數的局限性較少，具有更廣泛地應用。對于多Lyapunov函數，其構思是，先定義一組類Lyapunov函數，然后對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判定。

1.3 基于逗留時間的穩(wěn)定性

長逗留時間穩(wěn)定性，是指切換系統(tǒng)在各個子系統(tǒng)中進行的序列切換時間足夠長，足以抵消且超過切換過程導致的系統(tǒng)總能量的增長趨勢，這樣，就能使得切換系統(tǒng)保持穩(wěn)定運行的狀態(tài)。該長逗留時間穩(wěn)定性的方法，是保證了切換系統(tǒng)在對序列的切換過程中的切換是否得當的過程，與上述的兩種公共Lyapunov函數和多Lyapunov函數不同。

最簡單的長逗留時間穩(wěn)定性的方法是，在切換系統(tǒng)的切換過程中，引入一個正常數x>0，并且進行相應的假設，相鄰的兩個切換過程所用的時間差大于等于x的切換信號，也就是切換系統(tǒng)每次在各自的子系統(tǒng)中的切換過程所逗留的時間不小于x。

如果各子系統(tǒng)都趨于穩(wěn)定，切換系統(tǒng)的切換信號在子系統(tǒng)中的序列切換逗留足夠長的時間，x足夠大，那么就能夠保證切換系統(tǒng)的所有指數穩(wěn)定。

2 切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

由于時滯效應廣泛存在于各種類型的系統(tǒng)中，如網絡系統(tǒng)、電子通訊系統(tǒng)、氣壓系統(tǒng)等都存在著時滯效應，因此切換系統(tǒng)內部同樣也存在著時滯效應。時滯效應往往會導致切換系統(tǒng)不能穩(wěn)定運行、切換系統(tǒng)運行過程中劇烈震蕩等不良的情形。以下簡要分析時滯切換系統(tǒng)的兩種不同形式，即一類狀態(tài)時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析和一類多時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析。

2.1 一類狀態(tài)時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析

對于一類時滯切換非線性系統(tǒng)，有如下函數關系式：

以上兩個式子中的g、m是關于t的分段連續(xù)函數，其中β：[0，∞）→{1，2……，N}為切換信號。為了保證上式滿足普遍性，通常是設為右連續(xù)。{1，2……，N}表示子系統(tǒng)順序對應的序號集合，N表示子系統(tǒng)的總數目，以β=i，i∈{1，2，……，N}。

另外，連續(xù)函數中的α：[0，a）→[0，∞）需要以遞增的形式，并且需要滿足α（0）=0，則有α∈K函數。相反，如果a=∞，且r→∞，則α（r）→∞，則α∈k函數。

對于連續(xù)函數β：[0，a）×[0，∞）→[0，∞），則有，對于任意一個固定的s，都會有一個相應的β（r，s）是關于r的K函數，且對于每個一定的r，則都會有相應的β（r，s）關于s的遞減函數。當s→∞，則有β（r，s）→0，β屬于KL函數。

在基于長逗留時間的輸入狀態(tài)-穩(wěn)定性的分析中，首先需要考慮的是當切換系統(tǒng)中的子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，則會有gi（t，x）、mi（t，x）關于t的分段連續(xù)函數。當αi>0、βi>0、θi>0，則

滿足以上條件，則切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定。以該式子來推算出的最后切換非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的結論，主要是通過限制了自治切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)是指數穩(wěn)定，并且能夠使得切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)都處于輸入-狀態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 一類多時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析

對于一類多狀態(tài)時滯仿射切換非線性系統(tǒng)，有如下式子出現：

上式中的g1、m1是關于t的分段連續(xù)函數。β：[0，∞）→{1，2……，N}為切換信號，是一個時間的變量分段的常數值的函數。為了保證上式滿足普遍性，通常是設為右連續(xù)。{1，2……，N}表示子系統(tǒng)順序對應的序號集合，N表示子系統(tǒng)的總數目，以β=i，i∈{1，2，……，N}。

對于以上的多狀態(tài)時滯切換系統(tǒng)的式子，當系統(tǒng)內輸入u1（t）=0時，則可以得到多狀態(tài)的時滯自治切換系統(tǒng)，如下：

在上式中， 是一個狀態(tài)的向量，其余的所有數學字符表示的含義與多狀態(tài)時滯切換系統(tǒng)中的字符表示的含義相同。假設在上式中，為一個多狀態(tài)時滯的自治切換系統(tǒng)，取N=1時，就可以得到普通的多狀態(tài)時滯自治系統(tǒng)。當切換系統(tǒng)內的各個子系統(tǒng)進行心寒的轉化時， 仍然是連續(xù)性的。

當多狀態(tài)時滯的自治切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)均為穩(wěn)定的，則會有g1、m1是關于t的分段連續(xù)函數。β：[0，∞）→{1，2……，N}為切換信號，u1（t）表示的是控制輸入信號，該函數是一個關于t的連續(xù)有界函數，且需要滿足條件||u1（t）||<=sup||u1（t）||。r1（t，x）是有界函數，該有界函數的絕對值需要小于等于r2，。在子系統(tǒng)內，存在有函數 ，αi>0、βi>0、θi>0，則會推出以下式子

則會得出多狀態(tài)時滯切換系統(tǒng)中的輸入-狀態(tài)是穩(wěn)定的，其中可以算得平均逗留時間為

3 結束語

研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，已成為現今時代的熱門話題之一，為了今后的切換系統(tǒng)能夠快速的更新換代，為以后的通訊領域、網絡領域、交通領域等各個領域界的發(fā)展貢獻。

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作者簡介：柳智鑫（1982.09-），女，內蒙古赤峰人，碩士研究生，講師，研究方向：電氣自動化；蘇波寧（1981.04-），男，內蒙古烏蘭察布人，碩士研究生，研究方向：物聯網技術

作者單位：內蒙古電子信息職業(yè)技術學院，呼和浩特 010070；內蒙古京泰發(fā)電有限責任公司，內蒙古鄂爾多斯 010300

基金項目：2013內蒙古自治區(qū)高等學院科學技術研究項目（項目編號：NJZC13349）。