趙金榮

摘 要：金星過境是當(dāng)金星與地球和太陽(yáng)在一條直線上時(shí)，人們觀察到的天文現(xiàn)象。在過去的400多年里，每次的金星過境都會(huì)讓天文學(xué)家、探險(xiǎn)家以及對(duì)天文知識(shí)感興趣的大眾感到興奮。本文利用這樣一個(gè)天文現(xiàn)象，說(shuō)明平面三角學(xué)知識(shí)對(duì)天文學(xué)的發(fā)展所起的重要意義。

關(guān)鍵詞：金星過境；平面三角學(xué)；直角三角形；正弦函數(shù)

David Sellers曾經(jīng)說(shuō)過，幾乎所有的高中學(xué)生都知道太陽(yáng)距地球96百萬(wàn)英里（或者150百萬(wàn)公里）。盡管這個(gè)數(shù)值與我們?nèi)粘Ｋ玫某叨认啾龋瑫?huì)讓人感覺巨大的無(wú)法想象，也可能因?yàn)椤@類龐大的天文數(shù)據(jù)很難理解，所以被大多數(shù)受過教育的人不加思考地接受。很少人會(huì)停一下想一想怎樣測(cè)量這樣的一個(gè)距離。。。很少人會(huì)意識(shí)到最早對(duì)這些距離進(jìn)行測(cè)量的人為之付出了什么樣的努力。本文用這樣的一個(gè)事例來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)在科學(xué)上、數(shù)學(xué)上前人在測(cè)量方面曾經(jīng)做過的努力，讓大家體會(huì)知識(shí)不僅僅是智慧的結(jié)晶，也是汗水的濃縮。

金星過境是當(dāng)金星與地球和太陽(yáng)在一條直線上時(shí)，人們觀察到的天文現(xiàn)象。在過去的400多年里，每次的金星過境都會(huì)讓天文學(xué)家、探險(xiǎn)家以及對(duì)天文知識(shí)感興趣的大眾感到興奮。從十七世紀(jì)到二十一世紀(jì)，金星過境分別發(fā)生在1631、1639、1761、1769、1874和2004年。2012年發(fā)生的進(jìn)行過境是本世紀(jì)中最后一次，在美國(guó)西部能夠觀察到。根據(jù)埃德蒙德。哈雷 （1656-1742）在1716年提交給皇家科學(xué)協(xié)會(huì)的一篇論文中，可以發(fā)現(xiàn)，探險(xiǎn)家們到全球各地邊遠(yuǎn)的地方去觀察1761和1769年的金星過境。十八世紀(jì)，這些著名的探險(xiǎn)家們和制圖師們中，查爾斯。曼森和詹姆斯。庫(kù)克上校在Tahiti觀察到了1869年的過境現(xiàn)象。當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，太陽(yáng)系的尺度也被確定為介于8。5和8。9角秒之間。現(xiàn)今的數(shù)據(jù)是8。794148角秒。

哈雷的方法用到了球面三角學(xué)的復(fù)雜工具。本文中，我們會(huì)看到一個(gè)金星過境觀察和一些基礎(chǔ)的平面三角學(xué)怎樣用于求太陽(yáng)系的視差，以及地球到太陽(yáng)的距離。這樣的課題可以讓學(xué)過平面三角學(xué)知識(shí)，并對(duì)此感興趣的學(xué)生單人或組成小組完成，小組進(jìn)行會(huì)更有意思，更能讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，并將知識(shí)用于實(shí)踐的樂趣，感受團(tuán)隊(duì)精神。

2000多年前，埃拉托色尼計(jì)算了地球的周長(zhǎng)大約是250，000stade（古希臘羅馬的）賽跑場(chǎng)（長(zhǎng)607英尺）。Stade的精確長(zhǎng)度人們無(wú)法得知，估計(jì)大約是160米，由此給出地球周長(zhǎng)大約是40，000公里。

練習(xí)2 設(shè)地球周長(zhǎng)是40，000公里，證明地球的半徑大約是6400公里。（現(xiàn)代的數(shù)據(jù)是6371公里。）

練習(xí)3 在1761年和1769年的觀察數(shù)據(jù)被分析過后，太陽(yáng)視差的最佳近似值是大約8。7角秒。設(shè) 是8。7角秒，使用公式（?。┣蟮厍虻教?yáng)的距離。（不要忘記把8。7角秒轉(zhuǎn)換成度數(shù)。）這個(gè)計(jì)算值與現(xiàn)代數(shù)據(jù)149，600，000公里比較結(jié)果如何？

金星過境是指地球、金星和太陽(yáng)位于同一條直線上時(shí)發(fā)生的現(xiàn)象。原因是因?yàn)閮深w行星位于與太陽(yáng)在內(nèi)的同一個(gè)平面內(nèi)，這樣的景象非常少見，因?yàn)榻鹦堑能壍榔矫嫦鄬?duì)于地球的軌道平面，形成了3。4度的傾斜度。見圖B。只有當(dāng)三個(gè)天體沿如圖B和圖C所示的節(jié)線排成一條直線時(shí)才會(huì)發(fā)生金星過境現(xiàn)象。金星過境總是成對(duì)出現(xiàn)，大約相隔8年，每世紀(jì)大約一次。盡管地球和金星的軌道不是正圓，但在我們的討論中，假設(shè)的運(yùn)行軌道是以太陽(yáng)為圓心的同心圓；做了這個(gè)假設(shè)后，三個(gè)天體的俯瞰圖類似于圖C。

由于地球和太陽(yáng)的半徑與二者中心之間的距離相比都非常小，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要把用于計(jì)算地球軌道半徑的幾何信息簡(jiǎn)化為圖F中的三角圖像，這里的點(diǎn)與圖D中各點(diǎn)的意思相同。這個(gè)簡(jiǎn)化表示涉及到了地球和太陽(yáng)的中心位置位于二者所在弦的中點(diǎn)處，而不是兩個(gè)天體作為個(gè)體的中心。在計(jì)算過程中，誤差的引入是不可避免地。

為了得到從幾何學(xué)轉(zhuǎn)到物理學(xué)的另一個(gè)等式。需要使用開普勒第三定律（首先發(fā)表于1616年，起初作為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，后來(lái)使用牛頓的運(yùn)動(dòng)定律和引力定律推導(dǎo)得到）。利用假設(shè)的圓形軌道，對(duì)于兩顆圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的行星，根據(jù)開普勒第三定律，行星運(yùn)行軌道半徑的比值的三次方等于軌道周期比值的平方。對(duì)于地球和金星，這里有

練習(xí)7 解方程組（ii）和（iii），比較得到的地球的軌道半徑與練習(xí)3中的結(jié)果是否一致。

到此為止，利用金星過境觀測(cè)數(shù)據(jù)確定地球和金星的軌道半徑的工作就完成了。

這部分內(nèi)容可以使用一個(gè)歷史筆記總結(jié)。經(jīng)過幾個(gè)世紀(jì)的觀測(cè)，太陽(yáng)系內(nèi)的六顆行星的軌道周期被叫做開普勒時(shí)間。遵循著等式（ii）的推導(dǎo)結(jié)果和開普勒第三定律，如果我們能發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系內(nèi)介于任意兩顆行星之間的距離的值，那么就能夠得到所有行星的軌道半徑。首先測(cè)量到的行星間的距離，從地球到火星（不是到金星）是在早于本文中討論的金星過境100多年進(jìn)行的。基于1672年“火星視差”測(cè)量（以火星為頂點(diǎn)，以地球上相距相當(dāng)遠(yuǎn)的觀察位置為射線組成的角）是由巴黎的Cassini和Rocher在現(xiàn)在法國(guó)的Guiana進(jìn)行的，Cassini確定了地球到太陽(yáng)的距離是140，000，000公里。100多年后，探險(xiǎn)家們對(duì)金星過境的觀察極大地改進(jìn)了這個(gè)結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1]Precalculus A Problem-Oriented Approach，Cohen，Lee，6ed，Thomson Learning，Inc。， 2005。