杜 輝 楊云峰 曾昭英 趙提財(cái)

（1.東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，黑龍江 大慶163000；2.東北石油大學(xué)研究生院，黑龍江 大慶 163000）

在科技高速發(fā)展的今天，高精尖人才的培養(yǎng)是其強(qiáng)有力的后盾。而研究生階段就是培養(yǎng)高精尖技術(shù)型人才的重要階段。創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是研究生階段培養(yǎng)的重要能力之一。數(shù)學(xué)建模課程就是培養(yǎng)研究生創(chuàng)新實(shí)踐能力的重要課程。只有理論是不夠的，很多理論都是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上得以應(yīng)用和延伸，所以研究生數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)就變得非常重要了。

既然是實(shí)驗(yàn)，就離不開(kāi)計(jì)算機(jī)編程。計(jì)算機(jī)編程就離不開(kāi)數(shù)學(xué)軟件。在東北石油大學(xué)研究生數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)中，主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)軟件有Matlab、Lingo、R等軟件，這些軟件的學(xué)習(xí)與使用將理論與實(shí)際緊密的聯(lián)系在了一起。本文將舉例一些東北石油大學(xué)研究生數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)實(shí)例，并應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解。

1 Matlab軟件在數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

例1 一年生植物春季發(fā)芽，夏季開(kāi)花，秋季產(chǎn)種，有一部分種子可以活過(guò)冬天，其中的一部分能在第二年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花、產(chǎn)種，剩下的種子雖然未發(fā)芽，但如果又能活過(guò)第二年冬天，則其中的一部分還能在第三年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花、產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活一年，假設(shè)種子最多能活過(guò)兩個(gè)冬天，建立數(shù)學(xué)模型研究該植物的數(shù)量變化規(guī)律，以及它能一直繁殖下去的條件。

1.1 符號(hào)引入

xk——該一年生植物在第k年的數(shù)量；

c——每棵植物秋季產(chǎn)種的平均數(shù)，c>0;

a1——一歲的種子能在春季發(fā)芽的比例，0＜a1＜1;

a2——兩歲的種子能在春季發(fā)芽的比例，0＜a2＜1;

b0——零歲的種子能活過(guò)冬天的比例，0＜b0＜1;

b1——一歲的種子能活過(guò)冬天的比例，0＜b1＜1;

b——種子能活過(guò)一個(gè)冬天的比例，0＜b＜1；

1.2 模型假設(shè)

假設(shè) a1>a2；b0=b1=b；a1，a2，b，c 均為常數(shù)。

1.3 模型建立和求解

根據(jù)模型假設(shè)，列式得

x1=a1bcx0（1）

xk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2,k=2,3… （2）

令 p=a1bc （3）

q=a2(1-a1)b2c （4）

（1）和（2）可以改寫(xiě)為

x1=px0（5）

xk=pxk-1+qxk-2,k=2,3… （6）

由二階常系數(shù)線性齊次差分方程解法可得(3.6)的解為

通過(guò)分析可知一年生植物能一直繁殖下去的充分必要條件是

Matlab程序：

a1=0.5;a2=0.25;c=10;

bs=2/(sqrt(a1.*c).^2+4.*a2.*(1-a1).*c)+a1.*c);

b=bs+bs.*[.01,0,-.01]

p=a1.*c.*b;q=a2.*(1-a1).*c.*b.^2;

x=[100,100,100];x(2,：)=p.*x(1,：);n=20;

for k=2:n;

x(k+1,：)=p.*x(k,：)+q.*x(k-1,：);

disp(‘在b>b*,b=b*,b＜b*三種情況下一年生植物數(shù)量的演變’);

disp(‘年 b>b*b=b*b＜b*’);

disp[(0:n)’,round(x)];

命令窗口顯示的計(jì)算結(jié)果為

bs=0.19089 b=0.1928 0.19089 0.18898

結(jié)果分析：（1）當(dāng)b>b*時(shí)，一年生植物數(shù)量將無(wú)限增長(zhǎng)；

（2）當(dāng)b=b*時(shí)，一年生植物數(shù)量將趨于穩(wěn)定值；

（3）當(dāng)b＜b*時(shí)，一年生植物將瀕于滅絕。

2 R軟件在數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

把（3）、（4）代入（8）得

則一年生植物能一直繁殖下去的充分必要條件是

b*≤b＜1

1.4 Matlab 求解

取 a1=0.5,a2=0.25,c=10,由(10)計(jì)算臨界值 b*,然后取 x0=100,分別在b>b*,b=b*和b＜b*三種不同情況下用循環(huán)語(yǔ)句計(jì)算一年生植物的數(shù)量在20年內(nèi)的演變過(guò)程。

例2假定某電池廠宣稱該廠生產(chǎn)的某種型號(hào)電池壽命的中位數(shù)為140A.h.為了檢驗(yàn)該廠生產(chǎn)的電池是否符合其規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)從新近生產(chǎn)的一批電池中抽取20個(gè)隨機(jī)樣本，并對(duì)這20個(gè)電池的壽命進(jìn)行了測(cè)試，其結(jié)果如下（單位：A.h）:

137.0 140.0 138.3 139.0 144.3 139.1 141.7 137.3 133.5 138.2

141.1 139.2 136.5 136.5 135.6 138.0 140.9 140.6 136.3 134.1

試用Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)分析該廠生產(chǎn)的電池是否符合其標(biāo)準(zhǔn)。

R程序：

>X＜-scan()

1:137.0 140.0 138.3 139.0 144.3 139.1 141.7 137.3 133.5 138.2

11:141.1 139.2 136.5 136.5 135.6 138.0 140.9 140.6 136.3 134.1

21:

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>Wilcox.test(X,mu=140,alternative= ”less”,exact=FALSE,correct=FALSE,conf.int=TRUE)

Wilcoxon signed rank test

data:X

V=34,p-value=0.00703

Alternative hypothesis:true mu is less than 140

95 percent confidence interval:

-Inf 139.2000

Sample estimates:

(pseudo)median

138.2000

結(jié)果分析：這里 V=34 是 Wilcoxon 統(tǒng)計(jì)量，P 值 0.007034＜0.05，拒絕原假設(shè)，即中位數(shù)達(dá)不到140A.h.

3 Lingo在數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

例3 分配甲、乙、丙、丁、戊去完成A,B,C,D,E五項(xiàng)任務(wù)，每人完成一項(xiàng)，每項(xiàng)任務(wù)只能由一個(gè)人去完成，五個(gè)人分別完成各項(xiàng)任務(wù)所需時(shí)間如下表所示，試作出任務(wù)分配使總時(shí)間最少。

表1

Lingo程序如下：

MODEL:

SETS:

WORKER/W1.W5/;

JOB/J1.J5/;

LINKS(WORKER,JOB):C,X;

ENDSETS

DATA:

C=

表2

ENDDATA

MIN=@SUM(LINKS:C*X);

@for(WORKER(I):@SUM(JOB(J):X(I,J))=1);

@for(JOB(J):@SUM(WORKER(I):X(I,J))=1);

@for(LINKS:@BIN(X));

END

求解得到五個(gè)變量x11,x25,x33,x42,x54等于1，其他變量等于0，代表甲完成任務(wù)A，乙完成任務(wù)E，以此類推。目標(biāo)函數(shù)值為30。

4 結(jié)論

本文列舉了將Matlab、R、Lingo應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模中的實(shí)例。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)不僅讓學(xué)生們學(xué)到了很多課上學(xué)不到的東西，擴(kuò)展了自身的理論知識(shí)，提高了計(jì)算機(jī)編程水平，同時(shí)也使得理論與應(yīng)用緊密的結(jié)合在一起，理論得以實(shí)現(xiàn)。如何選擇合適的教學(xué)模式，選擇合適的實(shí)驗(yàn)題目將是今后研究的一個(gè)方向。

［1］章紹輝,編.數(shù)學(xué)建模[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

［2］薛毅，陳立萍,編.R 統(tǒng)計(jì)建模與 R 軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

［3］袁新生，邵大宏，郁時(shí)煉,編.LINGO 和 EXCEL在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.