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      基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析

      2015-01-13 18:41胡杰
      計算機(jī)輔助工程 2014年6期

      摘要: 針對ANSYS等商業(yè)有限元軟件無法進(jìn)行基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析的問題,將以絕對響應(yīng)為變量的動力學(xué)方程改寫為基礎(chǔ)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)相對響應(yīng)之和的形式,重新推導(dǎo)以相對響應(yīng)為變量的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程.以組合梁結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行MATLAB程序仿真,并以ANSYS的PSD分析結(jié)果驗證所推導(dǎo)的動力學(xué)方程的正確性,說明基礎(chǔ)激勵下利用模態(tài)疊加法進(jìn)行諧響應(yīng)分析的可行性.

      關(guān)鍵詞: 基礎(chǔ)激勵; 模態(tài)疊加法; 諧響應(yīng)分析; 絕對響應(yīng); 相對響應(yīng); ANSYS; MATLAB

      中圖分類號: O324文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A

      0引言

      諧響應(yīng)分析可用以分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)與載荷之間的傳遞特性,獲得結(jié)構(gòu)振動的傳遞函數(shù).該傳遞函數(shù)包括響應(yīng)與載荷之間的幅值和相位關(guān)系.在工作中通過模態(tài)試驗獲得某結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性,測量得到結(jié)構(gòu)的前幾階固有頻率和模態(tài)阻尼比,通過ANSYS建模獲得基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù).但是,在ANSYS的諧響應(yīng)分析中,若采用全方法,則無法輸入各階模態(tài)阻尼比,且計算耗費時間;若采用模態(tài)疊加法,則能提高計算速度,節(jié)約機(jī)時,但其幫助文件和相關(guān)文獻(xiàn)指出其缺點是不能施加非零約束[12],即不能進(jìn)行基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析.ANSYS中的PSD分析能夠得到基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)譜,但是忽略響應(yīng)與激勵之間的相位關(guān)系.針對這一問題,本文進(jìn)行基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析動力學(xué)方程推導(dǎo),對典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值仿真,進(jìn)一步獲得結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動響應(yīng)的功率譜,并與ANSYS軟件的PSD分析結(jié)果進(jìn)行對比,兩者吻合非常好,證實推導(dǎo)的動力學(xué)方程的正確性.1理論分析

      在有限元分析時,頻域下線性系統(tǒng)動力學(xué)方程[35]為MX¨(ω)+CX·(ω)+KX(ω)=F(ω) (1)式中:M,C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;X¨,X·和X分別為系統(tǒng)的加速度、速度和位移響應(yīng),均為絕對量;Fω為系統(tǒng)的外載荷.

      假設(shè)系統(tǒng)受到基礎(chǔ)加速度激勵,此時可將式(1)按照約束節(jié)點和非約束節(jié)點[69]進(jìn)行分塊,寫為MddMds

      MsdMssX¨d

      X¨s+CddCds

      CsdCssX·d

      X·s+KddKds

      KsdKssXd

      Xs=0 (2)式中:下標(biāo)d和s分別為結(jié)構(gòu)非約束節(jié)點的集合和約束節(jié)點的集合;X¨d,X·d和Xd為非約束節(jié)點的絕對響應(yīng);X¨s,X·s和Xs為基礎(chǔ)約束節(jié)點的絕對響應(yīng);Mds,Cds和Kds分別為結(jié)構(gòu)邊界單元的耦合質(zhì)量、耦合阻尼和耦合剛度矩陣.

      式(2)中第一部分可改寫為MddX¨d+CddX·d+KdsXd=-MdsX¨s-CdsX·s-KsdXs (3)進(jìn)行基礎(chǔ)加速度激勵下的諧響應(yīng)分析,即進(jìn)行單位基礎(chǔ)加速度激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算.式(3)可以利用全方法直接進(jìn)行計算,但當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度規(guī)模較大時,計算困難,耗費機(jī)時.式(3)不能直接采用模態(tài)疊加法進(jìn)行計算,其原因在于模態(tài)疊加法的假設(shè)前提不成立.模態(tài)疊加法是假設(shè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可表示為振型向量的線性組合,即X=Ψη (4)式中:Ψ為結(jié)構(gòu)的振型矩陣;η為結(jié)構(gòu)在正則坐標(biāo)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng).需要指出的是,式(4)計算的是結(jié)構(gòu)的相對約束點的響應(yīng),是結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng),而式(3)中的響應(yīng)是結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng),不能直接采用模態(tài)疊加法進(jìn)行計算.因此,需要重新推導(dǎo)動力學(xué)方程.

      將式(2)中結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng)表示為結(jié)構(gòu)相對于約束節(jié)點的相對響應(yīng)與基礎(chǔ)節(jié)點響應(yīng)之和,即Xd=Xd,c+Xs (5)式中:Xd,c為結(jié)構(gòu)非約束節(jié)點的相對響應(yīng).

      式(2)可改寫為MddMds

      MsdMssX¨d,c+X¨s

      X¨s+CddCds

      CsdCssX·d,c+X·s

      X·s+KddKds

      KsdKssXd,c+Xs

      Xs=0 (6)式(6)的第一個部分可寫為MddX¨d,c+CddX·d,c+KddXd,c=-MddX¨s-MdsX¨s-CddX·s-CdsX·s-KddXs-KdsXs (7)式(7)可采用模態(tài)疊加法進(jìn)行諧響應(yīng)計算,得到相對響應(yīng),由式(5)可得到結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng).

      2數(shù)值仿真

      組合梁結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖1.結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1,邊界約束為支撐梁底部的固支約束.

      圖 1組合梁結(jié)構(gòu)有限元模型,mm

      Fig.1Finite element model of composite beam structure, mm

      表 1組合梁結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)

      Tab.1Parameters of composite beam structure截面高度/

      mm截面寬度/

      mm密度/

      (kg/m3)彈性模量/

      Pa泊松比10102 7007.1E+100.3

      本算例模型未實際加工,因此未通過模態(tài)試驗測量得到各階模態(tài)阻尼比.在數(shù)值仿真中,可按經(jīng)驗值取模型前2階模態(tài)阻尼比為0.02,根據(jù)下式得到比例阻尼的系數(shù),ξi=12αωi+βωi,i=1,2 (8)結(jié)構(gòu)的比例阻尼矩陣可表示為C=αM+βK (9)此時,邊界耦合阻尼矩陣可表示為Cds=αMds+βKds (10)計算的頻率范圍為10~200 Hz,在此頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)共有11階模態(tài).第3~11階模態(tài)阻尼比可根據(jù)如下方法得到.

      將阻尼矩陣在正則坐標(biāo)下解耦,得Cη=ΨTCΨ (11)式中:Cη為11×11維的矩陣,其對角線元素滿足關(guān)系式Cη(i,i)=2ξiωi,(i=1,2,…,11) (12)由式(12)可獲得模態(tài)阻尼比向量ξi(i=1,2,…,11).

      基礎(chǔ)載荷設(shè)置幅值為1 m/s2的加速度譜,采用MATLAB對式(7)采用模態(tài)疊加法進(jìn)行編程計算得到結(jié)構(gòu)諧響應(yīng).endprint

      由于ANSYS無法計算基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng),無法直接將上述推導(dǎo)方程的諧響應(yīng)計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行對比,因此在編程計算時,得到結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)和絕對響應(yīng),并與ANSYS的PSD分析結(jié)果進(jìn)行對比.選擇圖1中標(biāo)號為①和的y方向(橫向)絕對加速度響應(yīng)為例,對比結(jié)果見圖2.

      a)①號節(jié)點b)號節(jié)點

      圖 2節(jié)點y方向響應(yīng)絕對值對比

      Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

      由圖2可知:本文所推導(dǎo)的基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的響應(yīng)譜與ANSYS的PSD仿真結(jié)果基本一致,說明所推導(dǎo)的方程正確.

      3結(jié)束語

      推導(dǎo)基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)計算公式,典型組合結(jié)構(gòu)的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結(jié)果完全一致,為ANSYS等商業(yè)有限元軟件實現(xiàn)非零約束下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析提供理論支持.參考文獻(xiàn):

      [1]葉先磊, 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應(yīng)用實例[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003: 239240.

      [2]張洪才, 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0從入門到實戰(zhàn)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2011: 152153.

      [3]倪振華. 振動力學(xué)[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2006: 239240.

      [4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003: 469471.

      [5]SINGIRESU S R. 機(jī)械振動[M]. 4版. 李欣業(yè), 張明路, 譯. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2009: 316319.

      [6]張亞輝, 智浩, 呂峰. 結(jié)構(gòu)多點隨機(jī)地震響應(yīng)分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學(xué)學(xué)報, 2004, 21(5): 564570.

      ZHANG Yahui, ZHI Hao, LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech, 2004, 21(5): 564570.

      [7]張雷明, 張昌金. 多點激勵下結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計算擬靜力位移法[J]. 工程抗震與加固改造, 2005, 27(4): 2427.

      ZHANG Leiming, ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting, 2005, 27(4): 2427.

      [8]胡杰, 張希農(nóng). 基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集. 南京, 2011: 672676.

      [9]ALKHALEEFI A M, ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure, 2002, 80(22): 16891697.

      (編輯武曉英)endprint

      由于ANSYS無法計算基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng),無法直接將上述推導(dǎo)方程的諧響應(yīng)計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行對比,因此在編程計算時,得到結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)和絕對響應(yīng),并與ANSYS的PSD分析結(jié)果進(jìn)行對比.選擇圖1中標(biāo)號為①和的y方向(橫向)絕對加速度響應(yīng)為例,對比結(jié)果見圖2.

      a)①號節(jié)點b)號節(jié)點

      圖 2節(jié)點y方向響應(yīng)絕對值對比

      Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

      由圖2可知:本文所推導(dǎo)的基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的響應(yīng)譜與ANSYS的PSD仿真結(jié)果基本一致,說明所推導(dǎo)的方程正確.

      3結(jié)束語

      推導(dǎo)基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)計算公式,典型組合結(jié)構(gòu)的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結(jié)果完全一致,為ANSYS等商業(yè)有限元軟件實現(xiàn)非零約束下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析提供理論支持.參考文獻(xiàn):

      [1]葉先磊, 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應(yīng)用實例[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003: 239240.

      [2]張洪才, 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0從入門到實戰(zhàn)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2011: 152153.

      [3]倪振華. 振動力學(xué)[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2006: 239240.

      [4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003: 469471.

      [5]SINGIRESU S R. 機(jī)械振動[M]. 4版. 李欣業(yè), 張明路, 譯. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2009: 316319.

      [6]張亞輝, 智浩, 呂峰. 結(jié)構(gòu)多點隨機(jī)地震響應(yīng)分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學(xué)學(xué)報, 2004, 21(5): 564570.

      ZHANG Yahui, ZHI Hao, LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech, 2004, 21(5): 564570.

      [7]張雷明, 張昌金. 多點激勵下結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計算擬靜力位移法[J]. 工程抗震與加固改造, 2005, 27(4): 2427.

      ZHANG Leiming, ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting, 2005, 27(4): 2427.

      [8]胡杰, 張希農(nóng). 基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集. 南京, 2011: 672676.

      [9]ALKHALEEFI A M, ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure, 2002, 80(22): 16891697.

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      由于ANSYS無法計算基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng),無法直接將上述推導(dǎo)方程的諧響應(yīng)計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行對比,因此在編程計算時,得到結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)和絕對響應(yīng),并與ANSYS的PSD分析結(jié)果進(jìn)行對比.選擇圖1中標(biāo)號為①和的y方向(橫向)絕對加速度響應(yīng)為例,對比結(jié)果見圖2.

      a)①號節(jié)點b)號節(jié)點

      圖 2節(jié)點y方向響應(yīng)絕對值對比

      Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

      由圖2可知:本文所推導(dǎo)的基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的響應(yīng)譜與ANSYS的PSD仿真結(jié)果基本一致,說明所推導(dǎo)的方程正確.

      3結(jié)束語

      推導(dǎo)基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)計算公式,典型組合結(jié)構(gòu)的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結(jié)果完全一致,為ANSYS等商業(yè)有限元軟件實現(xiàn)非零約束下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析提供理論支持.參考文獻(xiàn):

      [1]葉先磊, 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應(yīng)用實例[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003: 239240.

      [2]張洪才, 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0從入門到實戰(zhàn)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2011: 152153.

      [3]倪振華. 振動力學(xué)[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2006: 239240.

      [4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003: 469471.

      [5]SINGIRESU S R. 機(jī)械振動[M]. 4版. 李欣業(yè), 張明路, 譯. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2009: 316319.

      [6]張亞輝, 智浩, 呂峰. 結(jié)構(gòu)多點隨機(jī)地震響應(yīng)分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學(xué)學(xué)報, 2004, 21(5): 564570.

      ZHANG Yahui, ZHI Hao, LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech, 2004, 21(5): 564570.

      [7]張雷明, 張昌金. 多點激勵下結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計算擬靜力位移法[J]. 工程抗震與加固改造, 2005, 27(4): 2427.

      ZHANG Leiming, ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting, 2005, 27(4): 2427.

      [8]胡杰, 張希農(nóng). 基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集. 南京, 2011: 672676.

      [9]ALKHALEEFI A M, ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure, 2002, 80(22): 16891697.

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