溫州技師學(xué)院 繆海芬

數(shù)學(xué)建模在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

溫州技師學(xué)院 繆海芬

數(shù)學(xué)建?；貞?yīng)了教育界提出的“以問(wèn)題為紐帶的教學(xué)”這一教育新理念，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模順應(yīng)了當(dāng)前教學(xué)改革的需要。中學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，滲透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中。本文采用建立相關(guān)初等數(shù)學(xué)模型的建模方法，以若干個(gè)初等數(shù)學(xué)模型為例，介紹初等數(shù)學(xué)模型的組建及應(yīng)用，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供參考。

數(shù)學(xué)模型 函數(shù)模型 不等式模型 數(shù)列模型

一、引言

數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁，它是解決問(wèn)題的常用方法，常用來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。它要求學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一些具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。中學(xué)教材重視數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模作為問(wèn)題解決的重要工具之一．中學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，滲透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中。本文以若干個(gè)初等數(shù)學(xué)模型為例，介紹初等數(shù)學(xué)模型的組建及應(yīng)用，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供參考。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模舉例

中學(xué)數(shù)學(xué)建模的模型常見(jiàn)的主要有函數(shù)模型、不等式模型、方程模型。

1.函數(shù)模型

用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要、最常用的方法。兩個(gè)變量或幾個(gè)變量，凡能找到它們之間的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，建立起一個(gè)函數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，這些都屬于函數(shù)模型的范疇。

案例1：函數(shù)的應(yīng)用舉例

以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表：

身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170體重/kg 6．13 7．90 9．99 12．15 15．0217．50 20．92 26．86 31．11 38．85 47．25 55．05

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，建立該地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)模型，并分析和討論。規(guī)定體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，問(wèn)該地區(qū)某中學(xué)一男生身高為175cm，體重為78kg，他的體重是否正常？

Step1.模型假設(shè)

（1）該地區(qū)未成年人人數(shù)固定。

（2）假設(shè)體重只與身高相關(guān)，忽略其他一切因素。

Step2.建立模型

用計(jì)算機(jī)擬合表中數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖（圖1）：

根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀判斷，我們猜測(cè)在該地區(qū)，體重與身高的關(guān)系為y=a?bx。

Step3.求模型參數(shù)

任選兩組數(shù)據(jù)代入y=a?bx，近似求出參數(shù)a,b，所選式子的待定常數(shù)的值。

例如，選數(shù)據(jù)x=70,y=7.90和x=160,y=47.25，代入

所以，該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高的近似函數(shù)關(guān)系式可選為y=2×1.02x。

Step4.檢驗(yàn)

將已知數(shù)據(jù)代入所得函數(shù)解析式，或作出所得函數(shù)的圖象（圖2），可知所求函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系。

把表中數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=2×1.02x，檢驗(yàn)函數(shù)值是否與已知體重?cái)?shù)據(jù)基本吻合。

Step5.模型的改進(jìn)

為了使所求得的參數(shù)a,b的值更精確，可采用參數(shù)估計(jì)法，例如線性回歸模型求參數(shù)，并進(jìn)行各種檢驗(yàn)或殘差分析等。

2.不等式模型

在現(xiàn)實(shí)生活中，存在著大量的不等關(guān)系，例如投資決策、生產(chǎn)規(guī)劃、追求利潤(rùn)、人口控制、環(huán)境保護(hù)、交通運(yùn)輸?shù)葐?wèn)題的求解過(guò)程，都可歸結(jié)為不等關(guān)系的論證與求解。利用不等式知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題中的一些變量如何對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化到這些模型中去，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

案例2： 飲料罐制造用材問(wèn)題

問(wèn)題：怎樣使飲料罐制造用材最??？

模型假設(shè)：

（1）把飲料罐假設(shè)為圓柱體。

（2）假設(shè)用金屬（如鋁材）制造飲料罐，并設(shè)其厚度為b。

（3）設(shè)飲料罐各部分厚度均勻，即飲料罐上、下底和側(cè)面的厚度相同。

（4）制造中不考慮折邊（焊接）長(zhǎng)度。

引入?yún)?shù)：罐裝飲料的體積為V，半徑為r，圓柱高為h，制罐用材的總面積為A。

模型建立和求解：

制罐用材的總面積A，即A=(2πr2＋2πrh)b。

討論和改進(jìn)：由上知，罐高h(yuǎn)為半徑r的2倍，即罐高與直徑相等時(shí)，飲料罐制造用材最省。事實(shí)上，測(cè)量幾家著名的飲料如可口可樂(lè)、百事可樂(lè)、健力寶等飲料罐后，發(fā)現(xiàn)其高和半徑的比約為4：1。難道它們都沒(méi)發(fā)現(xiàn)h:r=2:1時(shí)，用材最省嗎？查閱相關(guān)資料后，得知由于飲料罐上底的厚度比罐的其它部分厚，一般厚三倍左右。因此，假設(shè)（3）進(jìn)一步改為“飲料罐上底的厚度為3b, 其它部分為b”。

3.方程模型

霍金曾說(shuō)，科學(xué)家和工程師喜歡用方程的形式表達(dá)他們的思想，因?yàn)榉匠淌敲枋鰯?shù)學(xué)思想簡(jiǎn)明而精確的方法和手段，有了方程就能夠得到數(shù)量的準(zhǔn)確值。

案例1 ：“錘子、剪刀、布”

問(wèn)題背景：約定：“布”贏“錘子”得9分，“錘子”贏“剪刀”得5分，“剪刀”贏“布”得2分。小明和某同學(xué)玩游戲過(guò)程中，小明贏了21次，得108分。列出各種可能的贏法。

分析：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的一次不定方程,由初中二元一次方程組的應(yīng)用題改編而成。

Step1.問(wèn)題假設(shè)

①假設(shè)約定：“布”贏“錘子”得9分，“錘子”贏“剪刀”得5分，“剪刀”贏“布”得2分。

②假設(shè)“小明贏了21次，得108分”符合客觀事實(shí)。

Step2.模型建立

設(shè)“布”贏“錘子” 為x次，“錘子”贏“剪刀”為y次,“剪刀”贏“布”為z次, （x,y,z均為正整數(shù)）。

由問(wèn)題得不定方程

Step3.模型求解

方程⑴有若干組正整數(shù)解，利用maple語(yǔ)句：

＞ for z from 0 to 21 do

isolve({x+y+z=21,9*x+5*y+2*z=108});

od;

很容易求得解為：

{x=3,y=15,z=3},{x=6,y=8,z=7},{x=9,y=1,z=11}

Step4.小結(jié)

本題中，小明贏了21次，得108分，共有三種贏法，列表如下：

“剪刀”贏“布”第一種 3 15 3第二種 6 8 7第三種 9 1 11“布”贏“錘子”“錘子”贏“剪刀”

Step5.討論

在不考慮客觀事實(shí)下，即將贏的次數(shù)或總得分任意更改，則所有的可能贏法會(huì)相應(yīng)改變，例如：

①將“21次、108分”改為 “21次、142分”，則有兩種贏法：

｛x=10,y=10,z=1｝,{x=13,y=3,z=5}；②將“21次、108分”改為 “21次、45分”，則有一種贏法：｛x=0,y=1,z=20｝；③將“21次、108分”改為 “21次、32分”，則無(wú)解。如果更改假設(shè)①的約定，則贏法種類又會(huì)相應(yīng)變化。利用maple編程很容易得到。

三、結(jié)論和討論

數(shù)學(xué)建模能幫助我們獨(dú)辟蹊徑，簡(jiǎn)潔有效地解決一些實(shí)際問(wèn)題。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要選擇具有關(guān)鍵作用的變量及相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，具體問(wèn)題抽象化。最后將實(shí)際數(shù)據(jù)代人數(shù)學(xué)模型，即模型的應(yīng)用。在高中階段，教材非常重視數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，并滲透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中，在教學(xué)中不斷進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，并不斷加以完善，以發(fā)展的眼光豐富中學(xué)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容。

[1]姜啟源．?dāng)?shù)學(xué)模型（第二版）[M]．北京:高等教育出版社，1998

[2]劉來(lái)福，曾文藝．?dāng)?shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模[M]．北京:北京師范大學(xué)出版社，1998

[3]黃忠裕．初等數(shù)學(xué)建模[M]．成都:四川大學(xué)出版社，2004

[4]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室．全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）[M]．北京:人民教育出版社，2003

ISSN2095-6711/Z01-2015-08-0191