劉濤+吳煒+史濟(jì)濤+蔡國平

摘要：以軸向運動柔性梁為對象，采用Hamilton原理建立了軸向運動柔性梁的運動微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對系統(tǒng)運動微分方程離散化，進(jìn)行系統(tǒng)在外激勵作用下的響應(yīng)分析，并在頻域空間導(dǎo)出了隨機外部激勵的功率譜與系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，開展了激勵功率譜的辨識工作。仿真結(jié)果表明，本文所給方法能夠有效地對外部激勵的功率譜進(jìn)行辨識。

關(guān)鍵詞：軸向運動梁；功率譜辨識；復(fù)模態(tài)分析；Ritz法；隨機激勵

中圖分類號：O326；TB123文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運動結(jié)構(gòu)，例如：單索架（索道、帶鋸、動力傳送帶、導(dǎo)彈等等，均可以簡化軸向運動梁（弦）；這類裝置的橫向振動一般會帶來負(fù)面效果。因此研究軸向運動梁的橫向振動問題存在較大的理論意義與工程應(yīng)用價值。

軸向運動梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運動梁的數(shù)學(xué)模型，并采用Galerkin截斷法研究了簡支梁的前三階固有頻率和運動模態(tài)振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行軸向運動梁的研究，并應(yīng)用該方法得出了軸向運動梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導(dǎo)了在超臨界速度范圍，簡支邊界下軸向運動梁的橫向動力學(xué)響應(yīng)。國內(nèi)學(xué)者也積極開展了軸向運動梁的受迫振動、非線性振動、穩(wěn)定性等問題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運動梁在混合邊界條件下的振動與穩(wěn)定性問題；李德雙等[5]研究了軸向運動帶的橫向與縱向運動的耦合問題；王亮等[6]研究了高速軸向運動梁的模態(tài)及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運動Timoshenko梁的橫向振動問題。

上述文獻(xiàn)中，軸向運動梁的橫向振動問題的研究多是考慮兩端簡支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關(guān)于軸向運動梁的激勵功率譜辨識的研究也較少。本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運動柔性梁的運動微分方程，推導(dǎo)兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對運動微分方程進(jìn)行離散化，研究定點隨機激勵下的功率譜辨識問題。

1動力學(xué)方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動，如圖1所示。假定有恒定軸向運動速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長度l。則在x方向的應(yīng)變εxx為[5]

4數(shù)值仿真

數(shù)值仿真考慮兩端簡支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質(zhì)鋼制材料[9]，長度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運動速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負(fù)號表示梁處于軸向受壓狀態(tài)）。考慮梁初始處于靜平衡狀態(tài)，梁上xf=0.4m處定點施加集中力f（t），得出點xs=1.8m處的響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識。數(shù)值仿真中，Ritz法的階數(shù)n取為10。

首先考慮兩端簡支梁邊界條件下的軸向運動梁的功率譜辨識，其響應(yīng)考慮為在隨動坐標(biāo)系下的響應(yīng)值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時間內(nèi)的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計算得到的前三階固有頻率的相對誤差在10-7以內(nèi)，說明Ritz法的分析是有效的。圖2為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖2（a）為xs處的響應(yīng)，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

時間內(nèi)的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對誤差在0.002以內(nèi)，而采用Galerkin方法計算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對比迭代結(jié)果，Ritz法得到的結(jié)果相對誤差略小，說明Ritz法的分析是有效的。圖3為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖3（a）為xs處的響應(yīng)；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

5結(jié)束語

本文以軸向運動梁為研究對象，采用復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運動數(shù)值分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點載荷的功率譜辨識方法。仿真結(jié)果表明，本文的方法能夠有效地對定點隨機外載荷進(jìn)行功率譜辨識。endprint

摘要：以軸向運動柔性梁為對象，采用Hamilton原理建立了軸向運動柔性梁的運動微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對系統(tǒng)運動微分方程離散化，進(jìn)行系統(tǒng)在外激勵作用下的響應(yīng)分析，并在頻域空間導(dǎo)出了隨機外部激勵的功率譜與系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，開展了激勵功率譜的辨識工作。仿真結(jié)果表明，本文所給方法能夠有效地對外部激勵的功率譜進(jìn)行辨識。

關(guān)鍵詞：軸向運動梁；功率譜辨識；復(fù)模態(tài)分析；Ritz法；隨機激勵

中圖分類號：O326；TB123文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運動結(jié)構(gòu)，例如：單索架（索道、帶鋸、動力傳送帶、導(dǎo)彈等等，均可以簡化軸向運動梁（弦）；這類裝置的橫向振動一般會帶來負(fù)面效果。因此研究軸向運動梁的橫向振動問題存在較大的理論意義與工程應(yīng)用價值。

軸向運動梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運動梁的數(shù)學(xué)模型，并采用Galerkin截斷法研究了簡支梁的前三階固有頻率和運動模態(tài)振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行軸向運動梁的研究，并應(yīng)用該方法得出了軸向運動梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導(dǎo)了在超臨界速度范圍，簡支邊界下軸向運動梁的橫向動力學(xué)響應(yīng)。國內(nèi)學(xué)者也積極開展了軸向運動梁的受迫振動、非線性振動、穩(wěn)定性等問題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運動梁在混合邊界條件下的振動與穩(wěn)定性問題；李德雙等[5]研究了軸向運動帶的橫向與縱向運動的耦合問題；王亮等[6]研究了高速軸向運動梁的模態(tài)及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運動Timoshenko梁的橫向振動問題。

上述文獻(xiàn)中，軸向運動梁的橫向振動問題的研究多是考慮兩端簡支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關(guān)于軸向運動梁的激勵功率譜辨識的研究也較少。本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運動柔性梁的運動微分方程，推導(dǎo)兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對運動微分方程進(jìn)行離散化，研究定點隨機激勵下的功率譜辨識問題。

1動力學(xué)方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動，如圖1所示。假定有恒定軸向運動速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長度l。則在x方向的應(yīng)變εxx為[5]

4數(shù)值仿真

數(shù)值仿真考慮兩端簡支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質(zhì)鋼制材料[9]，長度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運動速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負(fù)號表示梁處于軸向受壓狀態(tài)）。考慮梁初始處于靜平衡狀態(tài)，梁上xf=0.4m處定點施加集中力f（t），得出點xs=1.8m處的響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識。數(shù)值仿真中，Ritz法的階數(shù)n取為10。

首先考慮兩端簡支梁邊界條件下的軸向運動梁的功率譜辨識，其響應(yīng)考慮為在隨動坐標(biāo)系下的響應(yīng)值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時間內(nèi)的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計算得到的前三階固有頻率的相對誤差在10-7以內(nèi)，說明Ritz法的分析是有效的。圖2為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖2（a）為xs處的響應(yīng)，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

時間內(nèi)的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對誤差在0.002以內(nèi)，而采用Galerkin方法計算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對比迭代結(jié)果，Ritz法得到的結(jié)果相對誤差略小，說明Ritz法的分析是有效的。圖3為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖3（a）為xs處的響應(yīng)；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

5結(jié)束語

本文以軸向運動梁為研究對象，采用復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運動數(shù)值分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點載荷的功率譜辨識方法。仿真結(jié)果表明，本文的方法能夠有效地對定點隨機外載荷進(jìn)行功率譜辨識。endprint

摘要：以軸向運動柔性梁為對象，采用Hamilton原理建立了軸向運動柔性梁的運動微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對系統(tǒng)運動微分方程離散化，進(jìn)行系統(tǒng)在外激勵作用下的響應(yīng)分析，并在頻域空間導(dǎo)出了隨機外部激勵的功率譜與系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，開展了激勵功率譜的辨識工作。仿真結(jié)果表明，本文所給方法能夠有效地對外部激勵的功率譜進(jìn)行辨識。

關(guān)鍵詞：軸向運動梁；功率譜辨識；復(fù)模態(tài)分析；Ritz法；隨機激勵

中圖分類號：O326；TB123文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運動結(jié)構(gòu)，例如：單索架（索道、帶鋸、動力傳送帶、導(dǎo)彈等等，均可以簡化軸向運動梁（弦）；這類裝置的橫向振動一般會帶來負(fù)面效果。因此研究軸向運動梁的橫向振動問題存在較大的理論意義與工程應(yīng)用價值。

軸向運動梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運動梁的數(shù)學(xué)模型，并采用Galerkin截斷法研究了簡支梁的前三階固有頻率和運動模態(tài)振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行軸向運動梁的研究，并應(yīng)用該方法得出了軸向運動梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導(dǎo)了在超臨界速度范圍，簡支邊界下軸向運動梁的橫向動力學(xué)響應(yīng)。國內(nèi)學(xué)者也積極開展了軸向運動梁的受迫振動、非線性振動、穩(wěn)定性等問題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運動梁在混合邊界條件下的振動與穩(wěn)定性問題；李德雙等[5]研究了軸向運動帶的橫向與縱向運動的耦合問題；王亮等[6]研究了高速軸向運動梁的模態(tài)及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運動Timoshenko梁的橫向振動問題。

上述文獻(xiàn)中，軸向運動梁的橫向振動問題的研究多是考慮兩端簡支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關(guān)于軸向運動梁的激勵功率譜辨識的研究也較少。本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運動柔性梁的運動微分方程，推導(dǎo)兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對運動微分方程進(jìn)行離散化，研究定點隨機激勵下的功率譜辨識問題。

1動力學(xué)方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動，如圖1所示。假定有恒定軸向運動速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長度l。則在x方向的應(yīng)變εxx為[5]

4數(shù)值仿真

數(shù)值仿真考慮兩端簡支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質(zhì)鋼制材料[9]，長度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運動速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負(fù)號表示梁處于軸向受壓狀態(tài)）?？紤]梁初始處于靜平衡狀態(tài)，梁上xf=0.4m處定點施加集中力f（t），得出點xs=1.8m處的響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識。數(shù)值仿真中，Ritz法的階數(shù)n取為10。

首先考慮兩端簡支梁邊界條件下的軸向運動梁的功率譜辨識，其響應(yīng)考慮為在隨動坐標(biāo)系下的響應(yīng)值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時間內(nèi)的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計算得到的前三階固有頻率的相對誤差在10-7以內(nèi)，說明Ritz法的分析是有效的。圖2為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖2（a）為xs處的響應(yīng)，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

時間內(nèi)的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對誤差在0.002以內(nèi)，而采用Galerkin方法計算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對比迭代結(jié)果，Ritz法得到的結(jié)果相對誤差略小，說明Ritz法的分析是有效的。圖3為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖3（a）為xs處的響應(yīng)；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

5結(jié)束語

本文以軸向運動梁為研究對象，采用復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運動數(shù)值分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點載荷的功率譜辨識方法。仿真結(jié)果表明，本文的方法能夠有效地對定點隨機外載荷進(jìn)行功率譜辨識。endprint