劉 凱，羅偉林*，賴宇陽(yáng)，方立橋

(1.福州大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116;2.北京樹優(yōu)信息技術(shù)有限公司，北京100062)

0 引言

一個(gè)復(fù)雜的工程系統(tǒng)往往由多個(gè)子系統(tǒng)組成并且存在相互耦合關(guān)系，從而使得系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)存在著較大的難度。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法是將在系統(tǒng)中占主要作用的成分作為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)，而將其他次要因素作為約束條件，這種方法人為地割離了學(xué)科間的耦合關(guān)系。因此，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化方法已經(jīng)不能滿足工程實(shí)際需要。多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(MDO)方法為解決這一難題提供了一種有效途徑［1］。MDO 方法一般包括單級(jí)優(yōu)化方法和多級(jí)優(yōu)化方法。并行子空間優(yōu)化方法(concurrent subspace optimization，CSSO)是其中的一種多級(jí)優(yōu)化方法［2-3］。該方法在系統(tǒng)級(jí)采用學(xué)科近似模型，在學(xué)科級(jí)采用精確分析模型，將多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行分解，是一種適合于大型工程系統(tǒng)分布式設(shè)計(jì)的MDO 方法。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的研究者對(duì)此開展了廣泛的研究。李發(fā)生等人［4］將CSSO 方法應(yīng)用到無(wú)人機(jī)總體設(shè)計(jì)中，并對(duì)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面的CSSO 方法及其在無(wú)人機(jī)總體方案設(shè)計(jì)優(yōu)化中進(jìn)行了研究。程家林等人［5］將CSSO 方法應(yīng)用于復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，有效的解決了變量耦合的問(wèn)題，同時(shí)避免了對(duì)大量的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。鄧思琪等人［6］利用外懲罰函數(shù)法對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行了建模優(yōu)化。賀謙等人［7］基于單循環(huán)方法的可靠性分析與并行子空間設(shè)計(jì)優(yōu)化方法結(jié)合進(jìn)行了渦輪葉片優(yōu)化設(shè)計(jì)。馮玉龍等人［8］使用并行子空間協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)的布局參數(shù)和鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。姚雯等人［9］在處理協(xié)調(diào)子學(xué)科優(yōu)化結(jié)果和保證整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的穩(wěn)定收斂的困難時(shí)，提出了基于多學(xué)科活躍區(qū)域交叉優(yōu)化的CSSO 方法。出于綜合開發(fā)利用多個(gè)現(xiàn)有的優(yōu)化程序的想法，姚雯等人［10］提出了多學(xué)科可行法與CSSO 方法相結(jié)合的多階段多層次的MDO 方法，給相關(guān)研究工作者提供了新思路。

為了使CSSO 方法在系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化時(shí)能自主篩選來(lái)自各子學(xué)科間的設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)值，提高系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化效率和收斂的快速性，本研究提出一種改進(jìn)型的并行子空間優(yōu)化方法(improved concurrent subspace optimization，I-CSSO)。首先應(yīng)用拉丁超立方采取樣本點(diǎn)并構(gòu)建數(shù)據(jù)庫(kù)，然后基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建近似模型，最后將各子學(xué)科優(yōu)化方案及系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化方案進(jìn)行對(duì)比，從中優(yōu)選出最優(yōu)方案作為下一輪迭代的初始方案進(jìn)行優(yōu)化。筆者將該方法應(yīng)用于某一機(jī)床主軸設(shè)計(jì):以主軸剛度為約束條件，主軸質(zhì)量、外伸端撓度和主軸切應(yīng)力為子學(xué)科目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)歸一化處理，將這3 個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成單一目標(biāo)并作為系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

1 I-CSSO 方法

1.1 傳統(tǒng)CSSO 方法分析

CSSO 方法是一種兩級(jí)MDO 方法，包含一個(gè)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化器和多個(gè)子學(xué)科優(yōu)化器。每個(gè)子學(xué)科獨(dú)立地優(yōu)化一組互不關(guān)聯(lián)的設(shè)計(jì)變量。在優(yōu)化中，某個(gè)子學(xué)科中的狀態(tài)變量計(jì)算通過(guò)該學(xué)科的精確模型得到，而其他子學(xué)科的狀態(tài)變量和約束計(jì)算則通過(guò)近似模型來(lái)得到［11］。優(yōu)化結(jié)果可以共同組成新的設(shè)計(jì)點(diǎn)，如果滿足迭代要求，則輸出優(yōu)化解，否則作為新一輪優(yōu)化的初始值。

CSSO 算法的基本框架如圖1所示。

圖1 CSSO 算法的基本框架

CSSO 方法的主要計(jì)算流程為:通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)采取樣本點(diǎn)并組成設(shè)計(jì)變量信息庫(kù)，然后構(gòu)建子系統(tǒng)的近似模型［12］;子學(xué)科i 的優(yōu)化通過(guò)學(xué)科精確分析計(jì)算得出，其它N－1 個(gè)學(xué)科分析則由近似模型計(jì)算給出。子學(xué)科優(yōu)化后，通過(guò)增加一組更好的試驗(yàn)樣本點(diǎn)來(lái)更新設(shè)計(jì)變量數(shù)據(jù)庫(kù)，從而構(gòu)建系統(tǒng)級(jí)近似模型來(lái)計(jì)算系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)。

在該優(yōu)化過(guò)程中，存在的問(wèn)題是:各子學(xué)科優(yōu)化傳遞給系統(tǒng)級(jí)的設(shè)計(jì)變量期望值不能自動(dòng)篩選出最優(yōu)值作為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的基準(zhǔn)值，如果設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)空間足夠大，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)級(jí)的計(jì)算效率從而加重收斂的困難。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本研究在系統(tǒng)級(jí)求解優(yōu)化過(guò)程中增加優(yōu)化方案篩選程序，提出了改進(jìn)型CSSO(I-CSSO)方法。

1.2 改進(jìn)型CSSO 算法

本研究所提出的改進(jìn)型CSSO 方法的大體框架與傳統(tǒng)的CSSO 方法相似，不同之處在于系統(tǒng)級(jí)增加了優(yōu)化方案篩選程序，即在N 個(gè)子學(xué)科與系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化后，通過(guò)比較N 個(gè)子學(xué)科優(yōu)化方案和系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化方案，將N +1 個(gè)方案中的最優(yōu)方案作為系統(tǒng)下一輪迭代的初始方案，直到系統(tǒng)收斂為止。計(jì)算流程如圖2所示。其中，試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法采用拉丁超立方法構(gòu)建初始設(shè)計(jì)方案數(shù)據(jù)庫(kù)，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建子學(xué)科級(jí)和系統(tǒng)級(jí)的近似模型。

圖2 I-CSSO 方法框架

2 機(jī)床主軸的設(shè)計(jì)優(yōu)化

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

機(jī)床主軸是機(jī)床中重要零件之一，一般為多支承空心階梯軸。以某一機(jī)床主軸為例，筆者應(yīng)用本研究提出的I-CSSO 說(shuō)明其優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程。

該主軸的力學(xué)模型如圖3所示。

圖3 機(jī)床主軸簡(jiǎn)圖

設(shè)計(jì)主軸時(shí)，往往需要考慮3 個(gè)重要的因素:

一是盡量減輕機(jī)床主軸的質(zhì)量，以減少材料消耗;

二是保證主軸外伸端撓度盡量小，以提高加工精度;

三是保證主軸的強(qiáng)度。

綜合以上3 個(gè)因素，取設(shè)計(jì)變量為:X = (x1，x2，x3)T=(D，l，a)T。

建立子學(xué)科級(jí)目標(biāo)函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)主軸質(zhì)量、外伸端撓度和主軸切應(yīng)力:

主軸質(zhì)量(子學(xué)科1)，目標(biāo)函數(shù)為:

外伸端撓度(子學(xué)科2)，目標(biāo)函數(shù)為:

主軸切應(yīng)力(子學(xué)科3)，目標(biāo)函數(shù)為:

式中:T—軸所受扭矩;Wn—抗扭截面模量，Wn=π(D4－d4)/16D。

系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)設(shè)為:

式中:μ1，μ2，μ3—權(quán)重系數(shù)，且滿足:

約束條件的確定:

(1)主軸的剛度是一個(gè)重要的性能指標(biāo)，其外伸端的撓度y 不得超過(guò)規(guī)定值［y］:

(2)軸外伸端扭轉(zhuǎn)角約束不得超過(guò)許用值［θ］:

(3)強(qiáng)度條件，主軸切應(yīng)力不得超過(guò)許用值［τ］:

(4)邊界條件:50 ≤D≤150;210 ≤l≤600;90 ≤a≤150。

2.2 基于Isight 的自動(dòng)優(yōu)化

本研究利用Isight 搭建的I-CSSO 框架如圖4所示。

主要步驟包括:

(1)采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)對(duì)初始點(diǎn)進(jìn)行采樣，并通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)組件的后處理功能對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行靈敏度分析、主效應(yīng)分析以及交互效應(yīng)分析。本研究計(jì)算中，利用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，在設(shè)計(jì)空間采取140個(gè)樣本點(diǎn)。設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)率如圖5所示，黑色的條形表示正效應(yīng)，灰色表示負(fù)效應(yīng)。由圖5可以看出，外徑對(duì)主軸質(zhì)量的貢獻(xiàn)率最大，對(duì)外伸端撓度及主軸切應(yīng)力的貢獻(xiàn)則呈現(xiàn)負(fù)效應(yīng)，同時(shí)，還可以發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)變量的耦合關(guān)系對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，如D－l，a－l，a－D 的耦合關(guān)系對(duì)子學(xué)科2(外伸端撓度)的貢獻(xiàn)呈負(fù)效應(yīng)。

(2)由數(shù)據(jù)庫(kù)中的設(shè)計(jì)變量及對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量，構(gòu)建系統(tǒng)的近似模型。本研究采用了徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型，該模型能夠很好地表述高度非線性系統(tǒng)，易于處理連續(xù)/離散設(shè)計(jì)變量，并且具有非常高的可信度。

(3)搭建子空間系統(tǒng)優(yōu)化模塊。根據(jù)前面建立的數(shù)學(xué)模型分成3 個(gè)子學(xué)科問(wèn)題，系統(tǒng)級(jí)問(wèn)題則通過(guò)歸一化方法進(jìn)行處理，即滿足式(5)。

(4)優(yōu)化方案篩選。優(yōu)化結(jié)束后，本研究將3 個(gè)子學(xué)科優(yōu)化方案和系統(tǒng)優(yōu)化方案進(jìn)行比較，將4 個(gè)方案中最優(yōu)方案作為優(yōu)化方案保存，然后作為下一輪的迭代優(yōu)化的初始方案。隨著優(yōu)化迭代循環(huán)不斷進(jìn)行，響應(yīng)面越來(lái)越精確，最終收斂到一個(gè)最優(yōu)解，從而停止迭代。

圖4 基于I-CSSO 的機(jī)床主軸設(shè)計(jì)優(yōu)化

圖5 設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)率

2.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

機(jī)床主軸設(shè)計(jì)參數(shù)取為［13］:d=45 mm，F(xiàn)=15×103N，許用撓度［y］=0.125 mm，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力為［τ］=220 MPa，許用扭轉(zhuǎn)角［θ］=0.02 rad，主軸材料的密度為ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E =210 GPa，剪切模量G =80 GPa，主軸轉(zhuǎn)速n=80 r/min，主軸輸入功率P=7.5 kW。

變量的初始值取X =［100，250，100］(單位:mm)。系統(tǒng)級(jí)和子學(xué)科級(jí)都采用序列二次規(guī)劃算法，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。表1 中還給出了與傳統(tǒng)CSSO方法的對(duì)比。從表1 可以看出，與傳統(tǒng)的CSSO 方法對(duì)比，本研究所提出的計(jì)算效率有明顯提高，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的迭代次數(shù)大為減少，驗(yàn)證了I-CSSO 方法的可行性，為將來(lái)應(yīng)用于大型復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題提供了技術(shù)參考。

表1 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化迭代過(guò)程如圖6、圖7所示。其中，系統(tǒng)級(jí)的目標(biāo)函數(shù)迭代過(guò)程如圖6所示，子系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)迭代過(guò)程如圖7所示。

圖6 系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化

圖7 子系統(tǒng)的歷史迭代圖

3 結(jié)束語(yǔ)

本研究提出一種改進(jìn)型的并行子空間優(yōu)化方法，結(jié)合某一機(jī)床主軸設(shè)計(jì)初步驗(yàn)證了該方法的有效性，研究發(fā)現(xiàn):

(1)采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行樣本點(diǎn)采樣，選用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建近似模型，通過(guò)將一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)分解為不同的子學(xué)科，可降低分析計(jì)算的難度。

(2)優(yōu)化結(jié)果表明:通過(guò)改進(jìn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在優(yōu)化中的作用，篩選出子學(xué)科優(yōu)化方案與系統(tǒng)優(yōu)化方案中最優(yōu)方案作為下一步迭代的初始方案，從而加快了系統(tǒng)級(jí)迭代收斂的速度。

(3)對(duì)比現(xiàn)有的并行子空間方法，本研究所提出的I-CSSO 方法具有更好的尋優(yōu)能力，大大縮短了設(shè)計(jì)周期，是工程計(jì)算中的一種十分有效的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化算法。

進(jìn)一步的研究將結(jié)合更復(fù)雜的工程實(shí)例驗(yàn)證和確認(rèn)本研究所提出的方法的有效性。

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