汪曉勤

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241

為學(xué)為師卡約黎*

汪曉勤?

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241

卡約黎；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)符號(hào)史

二十世紀(jì)一二十年代，一場(chǎng)科學(xué)人文主義運(yùn)動(dòng)(科學(xué)史)在美國(guó)悄然興起。在這場(chǎng)具有深遠(yuǎn)歷史意義的文化運(yùn)動(dòng)中，有一位數(shù)學(xué)家扮演著先驅(qū)者的角色，他就是弗洛里安?卡約黎(Florian Cajori)。作為美國(guó)最早的專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)史家之一、歷史上第一位數(shù)學(xué)史教授，卡約黎給我們留下了什么？

生平與職務(wù)

1859年2月28日，卡約黎出生于瑞士格勞賓登州一個(gè)古老的望族。父親喬治?卡約黎(George Cajori)是一位技術(shù)精湛的土木工程師，因建造重要橋梁與公路而聞名遐邇?？s黎先在瑞士圖西斯以南7 km處的齊利斯，后在格勞賓登州首府庫(kù)爾的一所小學(xué)校接受早期教育，16歲時(shí)中途輟學(xué)來(lái)到美國(guó)，不久加入美國(guó)國(guó)籍。

1876年，卡約黎就讀于威斯康辛州立師范學(xué)校，1878年畢業(yè)后在一所鄉(xiāng)村學(xué)校任教，但不久后他進(jìn)入威斯康辛大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)。1883年獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位，三年后獲理學(xué)碩士學(xué)位。期間，從1884年1月至1885年6月的18個(gè)月時(shí)間里，他是約翰?霍普金斯大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一名研究生。1885年秋，卡約黎被新奧爾良的圖蘭大學(xué)聘為助理數(shù)學(xué)教授。1887年，他被該校聘為應(yīng)用數(shù)學(xué)教授。

然而，當(dāng)?shù)爻睗竦臍夂蚴顾忌狭藝?yán)重的肺結(jié)核。1889年，他被迫離開(kāi)圖蘭大學(xué)，到氣候宜人的科羅拉多斯普林斯市，尋求“延長(zhǎng)自己的生命”。在那里，他接受了科羅拉多學(xué)院校長(zhǎng)斯洛克姆(W. F. Slocum, 1851—1934)的邀請(qǐng)，成為該校的一名兼職教師，不久被聘為物理學(xué)教授。卡約黎熱心地發(fā)起科學(xué)研究，創(chuàng)立了科羅拉多大學(xué)科學(xué)協(xié)會(huì)，并擔(dān)任協(xié)會(huì)的秘書(shū)；創(chuàng)辦學(xué)術(shù)刊物《科羅拉多學(xué)院院刊》，親任執(zhí)行編輯，發(fā)表協(xié)會(huì)的會(huì)議論文，內(nèi)容涉及人類(lèi)學(xué)、政治學(xué)、生物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史、古典學(xué)、物理學(xué)等多個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域。《科羅拉多學(xué)院院刊》的創(chuàng)辦，大大促進(jìn)了科羅拉多學(xué)院的學(xué)術(shù)研究，提升了學(xué)院的學(xué)術(shù)地位和國(guó)際聲譽(yù)。科學(xué)協(xié)會(huì)的創(chuàng)立是卡約黎對(duì)科羅拉多學(xué)院所做的最大貢獻(xiàn)之一[1]。1896年，令卡約黎名聲大噪的是他在德國(guó)物理學(xué)家倫琴(W. C. R?ntgen, 1845—1923)發(fā)現(xiàn)X光后不久即率先拍攝了一張X光照片。

此時(shí)風(fēng)華正茂、嶄露頭角的卡約黎成果迭出，相繼出版多部有影響的數(shù)學(xué)史和物理學(xué)史著作。1896年，他獲得了圖蘭大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。從1898年開(kāi)始的20年間，卡約黎擔(dān)任科羅拉多學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。同時(shí)，他于1903年創(chuàng)建了工程系，并親任系主任，直至1918年。1912年，科羅拉多大學(xué)授予他榮譽(yù)法學(xué)博士學(xué)位。翌年，科羅拉多學(xué)院和威斯康星大學(xué)相繼授予他榮譽(yù)法學(xué)博士學(xué)位和榮譽(yù)理學(xué)博士學(xué)位。

卡約黎在科羅拉多學(xué)院的最后幾年里，學(xué)院發(fā)生了嚴(yán)重的危機(jī)。1917年，校長(zhǎng)斯洛克姆退休離校，短短兩年間，一個(gè)系主任遭解聘，包括卡約黎在內(nèi)的三位系主任、八位教授、一位博物館館長(zhǎng)相繼辭職。

與此同時(shí)，加利福尼亞大學(xué)專(zhuān)門(mén)為卡約黎設(shè)立了一個(gè)數(shù)學(xué)史教授職位，這是美國(guó)歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)史教授職位，也是世界上第一個(gè)同類(lèi)職位。加利福尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)史教授的誕生，與卡耐基科學(xué)研究所科學(xué)史研究員的聘任一樣，成了當(dāng)時(shí)美國(guó)科學(xué)人文主義運(yùn)動(dòng)的標(biāo)志性事件。自此，他擺脫了行政事務(wù)的干擾，全身心投入教學(xué)與研究中。1929年7月1日，卡約黎退休，成為榮譽(yù)退休教授。卸掉教學(xué)任務(wù)的卡約黎依然筆耕不輟。1930年8月14日，因肺炎溘然長(zhǎng)逝。這一年，加利福尼亞大學(xué)授予他榮譽(yù)法學(xué)博士學(xué)位。

卡約黎曾先后擔(dān)任新奧爾良科學(xué)院科學(xué)A組(數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)地學(xué)、力學(xué)、工程學(xué))的秘書(shū)(1887—1888)，全美教育協(xié)會(huì)“十人委員會(huì)”成員(1892)、美國(guó)幾何大綱“十五人委員會(huì)”成員(1910—1913)、美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席(1917)、美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)副主席和科學(xué)史與科學(xué)哲學(xué)分會(huì)主席(1923)、科學(xué)史學(xué)會(huì)副主席(1924—1925)、國(guó)際科學(xué)史委員會(huì)副主席(1929—1930)，他也是美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)、美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)、德國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)、意大利巴勒莫數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)等學(xué)術(shù)團(tuán)體的重要會(huì)員，他還是美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)研究院的院士。

數(shù)學(xué)與歷史

卡約黎的學(xué)術(shù)生涯是從純數(shù)學(xué)研究開(kāi)始的，他的博士論文為《關(guān)于半收斂(條件收斂)級(jí)數(shù)的研究》。實(shí)際上，在圖蘭大學(xué)任教時(shí)，他就開(kāi)始對(duì)該領(lǐng)域感興趣了。

早在1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(A. L. Cauchy, 1789—1857)在其《分析教程》中證明，若兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)均絕對(duì)收斂，則其乘積(柯西乘積)收斂。上述定理成了數(shù)學(xué)分析中的重要定理，可惜其中的條件太強(qiáng)。1875年，德國(guó)數(shù)學(xué)家默頓(F. Mertens, 1840—1927)將柯西定理的條件進(jìn)行弱化；1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家普林謝姆(A. I. Pringsheim, 1850—1941)將柯西定理的條件進(jìn)一步弱化。普林謝姆又給出結(jié)論：一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)或發(fā)散級(jí)數(shù)與一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積可能絕對(duì)收斂，但錯(cuò)誤地認(rèn)為，兩個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)的乘積不可能絕對(duì)收斂。卡約黎則在新前提下給出兩個(gè)級(jí)數(shù)乘積收斂的充要條件[2]。更精彩的是，卡約黎成功構(gòu)造出乘積絕對(duì)收斂的兩個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)，以及一條件收斂一發(fā)散的兩個(gè)級(jí)數(shù)，并給出了一般的構(gòu)造方法[3]。這就完全顛覆了普林謝姆的結(jié)論！最后，卡約黎成功構(gòu)造了乘積絕對(duì)收斂的兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)[4-5]?？s黎的研究大大拓寬了人們對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)乘積斂散性的認(rèn)識(shí)。

但卡約黎并沒(méi)有在數(shù)學(xué)研究的道路上繼續(xù)前行，他的興趣轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)史。他的工作涉及數(shù)學(xué)通史、數(shù)學(xué)專(zhuān)題史、數(shù)學(xué)符號(hào)史、物理學(xué)史、天文學(xué)史等。

(1) 數(shù)學(xué)通史

卡約黎的第一部數(shù)學(xué)史著作是《美國(guó)數(shù)學(xué)的教學(xué)與歷史》(1890)，盡管與作者的后期作品相比，本書(shū)顯得比較青澀，但正如數(shù)學(xué)史家史密斯(D. E. Smith, 1860—1944)所言[6]，它在美國(guó)開(kāi)辟了一個(gè)新研究領(lǐng)域，激發(fā)了美國(guó)人對(duì)數(shù)學(xué)史的興趣?？s黎的第二部數(shù)學(xué)史著作是《數(shù)學(xué)史》(1894)，分為三部分：第一部分講述巴比倫、埃及、希臘、羅馬、瑪雅、中國(guó)、印度、阿拉伯和中世紀(jì)歐洲的數(shù)學(xué)；第二部分講述16～18世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)；第三部分講述19～20世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)。其信息量超過(guò)了當(dāng)時(shí)已出版的其他任何一部英文數(shù)學(xué)史著作[7]。從1895年開(kāi)始，本書(shū)重印了六次，1919年再版，距初版百年之后的1994年，出版了第五版。暢銷(xiāo)程度，可見(jiàn)一斑。第三部著作是《初等數(shù)學(xué)史》(1896)，分古代、中世紀(jì)和近代三部分，每一部分又按照算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角來(lái)編寫(xiě)[8]。初版重印五次，1917年再版，2004年第三次出版。

1904年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)史家康托(M. Cantor, 1829—1920)邀請(qǐng)卡約黎撰寫(xiě)其《數(shù)學(xué)史講義》第四卷中的“算術(shù)、代數(shù)和數(shù)論”一章。此時(shí)的卡約黎已經(jīng)作為一流的數(shù)學(xué)史家而蜚聲國(guó)際學(xué)術(shù)界了。

卡約黎的最后一本數(shù)學(xué)通史類(lèi)著作是《南北美早期數(shù)學(xué)科學(xué)》(1928)[9]，內(nèi)容涉及19世紀(jì)以前南、北美洲的數(shù)學(xué)、天文(金星凌日、彗星、歷法、太陽(yáng)系儀、天文臺(tái))、地理(地圖、子午線測(cè)定)、物理學(xué)、學(xué)會(huì)、研究院、期刊等，是這方面最早的研究。本書(shū)是伯克利時(shí)期卡約黎的高水平著作之一。

(2)初等數(shù)學(xué)史專(zhuān)題

在初等數(shù)學(xué)史專(zhuān)題上，卡約黎的代表性研究有：方程近似根求解的歷史、對(duì)數(shù)和指數(shù)的歷史和計(jì)算尺的歷史。

關(guān)于求方程近似根的“牛頓法”，卡約黎發(fā)現(xiàn)：英國(guó)數(shù)學(xué)家拉弗遜(J. Raphson, 1648—1715)更早給出該方法[10]。關(guān)于求解高次方程的“霍納法”，卡約黎發(fā)現(xiàn)，在霍納發(fā)表有關(guān)論文15年前的1804年，意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼(P. Ruffini, 1765—1822)已經(jīng)發(fā)表了同樣的方法，并榮獲意大利科學(xué)會(huì)的大獎(jiǎng)[11]。

卡約黎詳盡、深入地考察了從納皮爾(J. Napier, 1550—1617)到萊布尼茨(G. W. Leibniz, 1646—1716)和約翰·伯努利(J. Bernoulli, 1667—1748)時(shí)代的對(duì)數(shù)和指數(shù)概念的發(fā)展；從萊布尼茨和伯努利到歐拉(L. Euler, 1707—1783)時(shí)代數(shù)學(xué)家試圖建立負(fù)數(shù)對(duì)數(shù)理論的失敗嘗試、復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)理論的建立；從歐拉到魏塞爾(C. Wessel, 1745—1818)和阿甘德(J. R. Argand, 1768—1822)時(shí)代對(duì)數(shù)和指數(shù)概念的統(tǒng)一；最后是19世紀(jì)對(duì)數(shù)理論的完善和推廣[12]。這是迄今我們所見(jiàn)到的關(guān)于該課題最完整的研究。

工程系主任的職務(wù)加上康托的撰寫(xiě)任務(wù)，使卡約黎對(duì)計(jì)算尺的歷史產(chǎn)生了濃厚的興趣?！霸跒楣?jié)省計(jì)算上的腦力勞動(dòng)而設(shè)計(jì)的儀器中，沒(méi)有哪一種儀器能比計(jì)算尺提供更有吸引力的歷史研究領(lǐng)域了。它的發(fā)展延伸至多個(gè)方向，它吸引了眾多的智者。不僅是算術(shù)作者，而且還有木匠、稅務(wù)官、工程師、化學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家(甚至包括牛頓爵士)，都為其所吸引”[13]。在該領(lǐng)域，他發(fā)表10余篇論文，出版《對(duì)數(shù)計(jì)算尺的歷史》(1909)一書(shū)[14]，后者是該領(lǐng)域最權(quán)威的著作之一。17世紀(jì)兩位英國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W特雷德(W. Oughtred, 1574—1660)和德拉曼(R. Delamain)之間曾發(fā)生計(jì)算尺發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)。1914年，卡約黎遠(yuǎn)赴英倫，在牛津、劍橋和倫敦搜求德拉曼的環(huán)形計(jì)算尺著作的各個(gè)版本，對(duì)奧特雷德和德拉曼關(guān)于計(jì)算尺發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)進(jìn)行了考察，斷言前者是真正的發(fā)明者[15]。

(3)微積分的歷史

關(guān)于微積分的歷史，卡約黎的代表性研究為芝諾悖論的歷史和英國(guó)極限與流數(shù)概念的歷史。芝諾悖論的歷史“多半是連續(xù)、無(wú)窮和無(wú)窮小概念的歷史”[16]。在該課題上，卡約黎充分顯示了他淵博的學(xué)識(shí)和杰出的文獻(xiàn)分析能力。他考察了亞里士多德之后不同時(shí)期的眾多哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、科學(xué)史家對(duì)芝諾悖論的理解，成為微積分歷史研究的名篇。

《英國(guó)從牛頓到伍德豪斯的極限與流數(shù)概念的歷史》是伯克利時(shí)期卡約黎的另一部高水平著作[17]。書(shū)中基于詳盡的原始文獻(xiàn)，對(duì)17—19世紀(jì)極限和流數(shù)概念在英國(guó)的歷史作了考察，成為當(dāng)時(shí)最全面、深入的研究。在研究牛頓流數(shù)術(shù)時(shí)，卡約黎依據(jù)的是《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》(簡(jiǎn)稱(chēng)《原理》)的默特(A. Motte, 1696—1734)英譯本。顯然，該譯本在近200年之后的讀者看來(lái)，語(yǔ)言已經(jīng)過(guò)時(shí)，很多表達(dá)方式難以理解。卡約黎花費(fèi)多年心力，用現(xiàn)代英語(yǔ)對(duì)其進(jìn)行了修訂，并在譯文之后給出長(zhǎng)篇?dú)v史注記。例如：英國(guó)人對(duì)笛卡兒渦旋說(shuō)和牛頓引力說(shuō)的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，盡管牛頓引力說(shuō)最終勝利，但過(guò)程充滿曲折！[18]《原理》的卡約黎修訂譯本，一如《幾何原本》的希思英譯本一樣，成為20世紀(jì)的標(biāo)準(zhǔn)版本。

(4)數(shù)學(xué)符號(hào)史

卡約黎在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域最杰出的貢獻(xiàn)是他的兩卷本《數(shù)學(xué)符號(hào)史》(1928—1929)[19-20]。第一卷為初等數(shù)學(xué)的符號(hào)史，第二卷為高等數(shù)學(xué)的符號(hào)史。薩頓在閱讀本書(shū)后寫(xiě)道[20-21]：

“本書(shū)給予我們的主要教訓(xùn)是人類(lèi)進(jìn)步的緩慢與艱辛。你可以牽馬去水漕，但你卻無(wú)法逼它喝水。有天賦的人發(fā)明新工具，用它可以省力無(wú)數(shù)—— 印度數(shù)碼、小數(shù)記號(hào)、度量衡制度，等等。但沒(méi)有人能夠強(qiáng)迫人類(lèi)去采用這個(gè)工具。事實(shí)上，歷史告訴我們，一種工具的采用幾乎在每一種情形下都是極其緩慢的：在歐洲，人們花了幾個(gè)世紀(jì)才引入印度數(shù)碼，這些符號(hào)迄今尚未完全統(tǒng)一；度量衡制度的原理(十進(jìn)制)早在1585年就已為斯蒂文所知，可今天文明世界的很大一部分卻依然沒(méi)能理解它！”

《數(shù)學(xué)符號(hào)史》是該課題上最權(quán)威的著作，至今仍被廣泛引用。此外，卡約黎還解決了美元符號(hào)的起源問(wèn)題。

(5)物理學(xué)、天文學(xué)和測(cè)地學(xué)的歷史

卡約黎在物理學(xué)方面的主要著作是《物理學(xué)史》(1899)。此書(shū)概述了從古希臘開(kāi)始直到20世紀(jì)力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、熱力學(xué)、聲學(xué)等領(lǐng)域的演進(jìn)過(guò)程[23]。在紐約舉行的紀(jì)念牛頓去世200周年的學(xué)術(shù)會(huì)議上，卡約黎宣讀了關(guān)于牛頓萬(wàn)有引力定律的論文。除了《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，卡約黎還修訂了牛頓的《光學(xué)》。

在天文學(xué)方面，卡約黎對(duì)巴比倫人發(fā)現(xiàn)春分和秋分的史實(shí)進(jìn)行了考證。

卡約黎長(zhǎng)期關(guān)注美國(guó)海岸線測(cè)量的歷史，曾發(fā)表《瑞士測(cè)地術(shù)與美國(guó)海岸線測(cè)量》一文；出版美國(guó)海岸線測(cè)量的首位督察哈斯勒(F. R. Hassler, 1770—1843)的傳記(1929)；利用珍貴的一手資料，首次清晰地還原了美國(guó)海岸線測(cè)量的興衰史?？s黎最后一次公開(kāi)露面是在北卡羅萊納州的達(dá)勒姆舉行的科學(xué)史大會(huì)上，他宣讀了長(zhǎng)篇論文《美國(guó)測(cè)地學(xué)100年》[24]。

歷史與教育

卡約黎是最早關(guān)注數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的美國(guó)學(xué)者之一，他的教育思想之一即是“學(xué)科歷史為學(xué)科教育服務(wù)”。

首先，一門(mén)學(xué)科的歷史知識(shí)乃是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”“有助于使該學(xué)科更具吸引力”[25]，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、使他們樹(shù)立正確的價(jià)值觀。他在《數(shù)學(xué)史》[7]前言里指出，數(shù)學(xué)史對(duì)于教師具有重要價(jià)值：“如果用歷史回顧和歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的問(wèn)題求解和幾何證明，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大大增加。……通過(guò)歷史的解說(shuō)，教師可以讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)并不是一門(mén)枯燥呆板的學(xué)科，而是一門(mén)不斷進(jìn)步的生動(dòng)有趣的學(xué)科。”實(shí)際上，在他編寫(xiě)的數(shù)學(xué)教材中即包含數(shù)學(xué)史知識(shí)。

其次，一門(mén)學(xué)科的歷史是這門(mén)學(xué)科的教學(xué)指南，因?yàn)閷W(xué)生的理解具有歷史相似性：“學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思索和探討后所克服的實(shí)際困難”[25]。實(shí)際上，《初等數(shù)學(xué)史》是“為教育而歷史”的典型例子，書(shū)中對(duì)算術(shù)、代數(shù)、幾何與三角的歷史考察，無(wú)不為尋求教學(xué)方法上的借鑒。例如，根據(jù)負(fù)數(shù)的歷史，卡約黎得出結(jié)論：“在教代數(shù)的時(shí)候，給出負(fù)數(shù)的圖示是十分重要的。如果我們不用線段、溫度等來(lái)說(shuō)明負(fù)數(shù)，那么現(xiàn)在的中學(xué)生就會(huì)與早期的數(shù)學(xué)家一樣，認(rèn)為它們是荒謬的東西?！盵8]史密斯曾從數(shù)學(xué)教育的角度對(duì)《初等數(shù)學(xué)史》給予積極的評(píng)價(jià)：“從教學(xué)的角度看，作者的努力是值得褒揚(yáng)的?？s黎是一位熱衷于改善教學(xué)的人。他深知科學(xué)所走過(guò)的錯(cuò)綜曲折的道路，他銳意革新，希望將來(lái)的道路更平直。他力主度量衡制度的教學(xué)，力主從粗鄙的復(fù)比例方法回歸到算術(shù)分析，力主用指數(shù)記號(hào)代替普遍采用的不科學(xué)的根號(hào)，力主各種迫切需要的改革。……因此我們可以認(rèn)為，本書(shū)是初等數(shù)學(xué)通史最有用的著作之一?！盵26]

在卡約黎的大量論文中，我們都能感受到一種教育關(guān)懷。未知數(shù)為什么用χ來(lái)表示？指數(shù)記號(hào)是如何演進(jìn)的？“數(shù)學(xué)歸納法”之名是如何產(chǎn)生的？“對(duì)數(shù)”之名是怎么來(lái)的？納皮爾對(duì)數(shù)就是自然對(duì)數(shù)嗎？為什么等差和等比級(jí)數(shù)又叫算術(shù)和幾何級(jí)數(shù)？牛頓墓碑上刻著二項(xiàng)式定理嗎？為什么芝諾要提出他的四個(gè)悖論？四維空間概念是如何誕生的？……卡約黎在論文中都一一提供了答案。為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)有何用？當(dāng)我們面對(duì)公眾和學(xué)生的質(zhì)疑時(shí)，卡約黎的著作又給我們以啟迪——他通過(guò)對(duì)歷史上731位名人的數(shù)學(xué)觀的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)肯定和否定數(shù)學(xué)教育價(jià)值的人數(shù)之比為603:108！[27]

卡約黎的教育思想以及關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究，為20世紀(jì)70年代數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系這一研究領(lǐng)域的誕生奠定了基礎(chǔ)。我們今天的“教育取向的數(shù)學(xué)史研究”“歷史相似性實(shí)證研究”均可在卡約黎的著作中找到思想源頭。

基礎(chǔ)與應(yīng)用

卡約黎的另一教育思想是“基礎(chǔ)科學(xué)教育與應(yīng)用科學(xué)教育不可偏廢”。在古代斯堪的納維亞神話里，有一棵神奇的參天大樹(shù)，其枝條遍及整個(gè)世界，樹(shù)根有一口井，大樹(shù)從中汲取養(yǎng)料?？s黎把20世紀(jì)的工業(yè)比成神話中的這棵大樹(shù)，把基礎(chǔ)科學(xué)比成樹(shù)根的這口井。

卡約黎指出，工業(yè)進(jìn)步與科學(xué)研究息息相關(guān)：沒(méi)有法拉第(M. Farady, 1791—1867)和亨利(J. Henry, 1797—1878)，就沒(méi)有摩爾斯(S. Morse, 1791—1872)的有線電報(bào)；沒(méi)有麥克斯韋(J. C. Maxwell, 1831—1879)和赫茲(H. Hertz, 1857—1894)，就沒(méi)有馬爾科尼(G. Marconi, 1874—1937)的無(wú)線電報(bào)。當(dāng)機(jī)械發(fā)明與純科學(xué)研究攜手前行時(shí)，兩者將快速進(jìn)步；同樣，當(dāng)基礎(chǔ)科學(xué)教育與應(yīng)用科學(xué)教育并駕齊驅(qū)時(shí)，兩者也將會(huì)以最快的速度發(fā)展。

卡約黎拿英國(guó)和德國(guó)進(jìn)行比較。德國(guó)學(xué)校清楚地看到基礎(chǔ)科學(xué)乃是應(yīng)用類(lèi)課程的基礎(chǔ)，純科學(xué)的教育提供了保持工業(yè)上領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)所必需的適應(yīng)能力，因而德國(guó)人能很快地利用有機(jī)化學(xué)上的最新發(fā)現(xiàn)，而英國(guó)人則未能認(rèn)識(shí)到“科學(xué)乃一切持久工業(yè)運(yùn)動(dòng)之能源”的道理。結(jié)果，英國(guó)的染料出口在9年間減少了30%；英國(guó)的染料產(chǎn)品被德國(guó)的染料所取代。1887年，德國(guó)化工產(chǎn)品出口是英國(guó)的4倍，而到了1902年，前者上升到后者的10倍！不僅如此，德國(guó)在醫(yī)藥、香水、糖等產(chǎn)品的制造上遙遙領(lǐng)先。

卡約黎指出，美國(guó)的大學(xué)要培養(yǎng)年輕人解決重大工業(yè)問(wèn)題、推動(dòng)科學(xué)進(jìn)步的能力。僅僅學(xué)習(xí)應(yīng)用科學(xué)，不能達(dá)到這一目標(biāo)；把學(xué)生訓(xùn)練成按部就班的操作機(jī)器，不能達(dá)到這一目標(biāo)！學(xué)生必須受到純科學(xué)的訓(xùn)練[28]。

卡約黎的觀點(diǎn)在今天看來(lái)已顯得很平凡，但無(wú)可否認(rèn)，在今天的高校，急功近利使得大多數(shù)學(xué)生將基礎(chǔ)科學(xué)視若畏途。重溫卡約黎一個(gè)多世紀(jì)前那苦口婆心的告誡，對(duì)我們也許是不無(wú)裨益的。

科研與教學(xué)

根據(jù)數(shù)學(xué)史家、布朗大學(xué)的阿奇巴爾德(R. C. Archibald, 1875—1955)的不完全統(tǒng)計(jì)[29]，卡約黎出版的專(zhuān)著和教材以及發(fā)表的論文、書(shū)評(píng)等多達(dá)286種，卡約黎成了他那個(gè)時(shí)代“數(shù)學(xué)史、物理學(xué)史和天文學(xué)史方面最多產(chǎn)的作者之一”[6]。

卡約黎曾說(shuō)，科學(xué)史向?qū)W生昭示了堅(jiān)持不懈的必要性[25]，而他自己也正是堅(jiān)持不懈、勤學(xué)不怠的卓越典范。沒(méi)有人能比一個(gè)曾經(jīng)與死神擦肩而過(guò)的人更懂得珍惜時(shí)間。他能利用每一點(diǎn)閑暇來(lái)思考、寫(xiě)作。在科羅拉多的20年里，不知有多少個(gè)炎熱的暑假，卡約黎都是在芝加哥的約翰?克雷拉圖書(shū)館度過(guò)的，當(dāng)他人享受休閑時(shí)，他卻享受著學(xué)術(shù)研究的快樂(lè)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)家戴維斯在科羅拉多學(xué)院讀書(shū)期間，有一次拜訪卡約黎教授，有幸參觀了他的書(shū)房。但見(jiàn)沙發(fā)上高高堆著論文抽印本；書(shū)桌上堆滿了論文，論文上方突出了一根堅(jiān)硬的金屬?gòu)椈?，彈簧上系著一根?xì)繩，繩上掛著一支鉛筆……地板上堆滿了書(shū)，細(xì)看這些書(shū)的封面，一塵不染，可見(jiàn)書(shū)的主人常常翻看……[1]從戴維斯的描述中，我們大致可以想象，那一篇又一篇的學(xué)術(shù)論文、一部又一部的學(xué)術(shù)著作是如何在卡約黎筆端誕生的。

科研絲毫沒(méi)有影響卡約黎的教學(xué)，相反，在科研和行政工作的同時(shí)，他一直承擔(dān)著繁重的教學(xué)工作，并熱心參與學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)，成了科羅拉多學(xué)院最受學(xué)生喜愛(ài)的教授。

“Cosine A，Cosine B，啦啦啦啦卡約黎。”這是1890年代科羅拉多學(xué)院的足球歌。在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，卡約黎的名字幾乎成了科羅拉多學(xué)院的代名詞，可見(jiàn)他在整個(gè)學(xué)院具有無(wú)與倫比的影響力。

卡約黎是一名非常嚴(yán)厲的教師，對(duì)學(xué)生要求極高。據(jù)一位名叫哈蒂?芬蕾?瓊斯(H. F. Jones)的女學(xué)生回憶，在一次微積分課上，卡約黎教授問(wèn)一位心不在焉的男生：“××同學(xué)，萊布尼茨何許人也？”那位學(xué)生支支吾吾：“呃……呃……他是法國(guó)人，對(duì)吧？”“法國(guó)人，”教授怒吼：“他是愛(ài)爾蘭人！愛(ài)斯基摩人！巴塔哥尼亞人！哼，法國(guó)人？！”[1]另一位學(xué)生、著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家戴維斯(H. T. Davies, 1892—1974)回憶，卡約黎極不容忍不認(rèn)真的學(xué)生，懶學(xué)生都怕他。一次，全班學(xué)生都沒(méi)有好好預(yù)習(xí)，一問(wèn)三不知，憤怒的卡約黎把書(shū)本舉過(guò)頭頂——幾乎頂?shù)教旎ò迳?，然后將其重重摔到課桌上：“難倒你們都是稻草人？都給我滾出去！”學(xué)生們只好灰溜溜地走出教室[1]。

但嚴(yán)厲并未影響學(xué)生對(duì)他的愛(ài)戴與崇敬。1910年，科羅拉多學(xué)院學(xué)生刊物《派克峰珍寶》(Pikes Peak Nugget)刊登了一幅卡約黎和他的同事、數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授家弗蘭克?勞德(F. H. Loud, 1852—1927)騎自行車(chē)同行的漫畫(huà)，后面附詩(shī)一首：

這是我們的良師，

裝扮得實(shí)在是不合時(shí)宜。

騎著絕版的古董自行車(chē)，

一路快馬加鞭向前飛馳。

那古稀的鑲邊帽，

遮蓋著余弦和一切奇事。

縱然數(shù)學(xué)充滿艱難險(xiǎn)阻，

依舊英勇無(wú)畏日復(fù)一日。

……

如果說(shuō)上述詩(shī)文含有戲謔的成分，從中我們還不能真正了解學(xué)生對(duì)卡約黎的真實(shí)評(píng)價(jià)的話，那么，1918年5月卡約黎將辭職轉(zhuǎn)任加利福尼亞大學(xué)任數(shù)學(xué)史教授的消息傳出后，學(xué)生報(bào)紙《虎》(The Tiger)上發(fā)表的社論則更真實(shí)地反映了卡約黎在學(xué)生心目中的地位(“卡約”是學(xué)生對(duì)他的昵稱(chēng))：

“卡約黎主任是三十年間學(xué)院最著名、最受喜愛(ài)的教授。上周五，校方宣布，他已經(jīng)辭職，明年將不再回到我們身邊。這或許是科羅拉多學(xué)院學(xué)生團(tuán)體所遭受的最大打擊。不僅因?yàn)樗鳛榻處煹闹匾獌r(jià)值，更因?yàn)樗c我們之間的深厚友誼和親密關(guān)系，才使學(xué)生們感到如此巨大的損失。

‘卡約’比其他任何人都更親近本學(xué)生社團(tuán)。通常是‘卡約’在烤肉野餐會(huì)上演講；是‘卡約’在教堂里談?wù)摷磳l(fā)生的事件；是‘卡約’總是參加野餐、節(jié)日和球賽。若沒(méi)有我們的‘卡約’光臨或與之相關(guān)，任何形式的學(xué)生活動(dòng)都算不上完善。

……作為數(shù)學(xué)家，卡約黎主任譽(yù)滿全球，世間罕有其匹。他的課本和論著在世界各地出版。我們當(dāng)然為‘卡約’的所有成就而自豪，但我們尤其因他為我們所做的一切而驕傲，正因?yàn)槿绱?，我們?duì)他永志不忘。作為朋友和教師，卡約黎的價(jià)值無(wú)可估量，我們將永遠(yuǎn)懷念那些擁有‘卡約’的日子！”[30]

一位教師能受到學(xué)生如此的愛(ài)戴，他一定是無(wú)比幸福的。這不禁讓我們感慨：在高校重科研輕教學(xué)的今天，我們中間又有幾人能擁有這種幸福感？

評(píng)價(jià)與啟示

薩頓曾經(jīng)告訴我們，查閱歷史上那些不朽的科學(xué)史論著有兩種方式：一種是“忘恩負(fù)義的方式”，一種是“感恩戴德的方式”[31]。誠(chéng)然，今天我們已經(jīng)擁有斯特洛伊克的《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》、克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》、波耶的《數(shù)學(xué)史》、伊夫斯的《數(shù)學(xué)史引論》、卡茨的《數(shù)學(xué)史通論》……，但卡約黎的《數(shù)學(xué)史》《初等數(shù)學(xué)史》《物理學(xué)史》《數(shù)學(xué)符號(hào)史》以及大量的數(shù)學(xué)史論文并未淹沒(méi)在文獻(xiàn)的海洋里而被世人遺忘，相反，它們?nèi)匀皇俏覀儼割^的重要參考書(shū)。我們不妨像薩頓那樣捫心自問(wèn)：如果沒(méi)有像卡約黎這樣的開(kāi)拓者的工作，我們又會(huì)怎樣呢？我們對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史、對(duì)芝諾悖論的歷史、對(duì)計(jì)算尺的歷史、對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念的起源又能知道多少呢？我們沒(méi)有理由不選擇“感恩戴德的方式”來(lái)看待卡約黎的論著。

M?克萊因曾拿卡約黎與波耶(C. B. Boyer, 1906—1976)作比較，稱(chēng)前者“只是史料蒐集者，而不是數(shù)學(xué)史家”[32]，但這樣的評(píng)價(jià)實(shí)在是有失公允的。誠(chéng)然，波耶的數(shù)學(xué)史研究更為深刻(如微積分概念史)，但不要忘了，波耶是站在包括卡約黎在內(nèi)的數(shù)學(xué)史先驅(qū)者們的肩膀上從事研究的。卡約黎的工作在美國(guó)開(kāi)創(chuàng)了一種研究傳統(tǒng)，激發(fā)了人們對(duì)數(shù)學(xué)史的興趣，確立了數(shù)學(xué)史在美國(guó)的學(xué)科地位，促進(jìn)了人們對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

卡約黎留給后人更多的是啟迪。他的從數(shù)學(xué)研究到歷史研究的歷程告訴我們，一個(gè)人要成為一名有成就的數(shù)學(xué)史學(xué)者，必須具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；他對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的認(rèn)識(shí)告訴我們，“為教育而歷史”的取向?yàn)閿?shù)學(xué)史學(xué)科注入了鮮活的生命力；他對(duì)基礎(chǔ)科學(xué)教育與應(yīng)用科學(xué)教育關(guān)系的認(rèn)識(shí)告訴我們，數(shù)學(xué)史家不應(yīng)該是皓首窮經(jīng)、兩耳不聞窗外事的書(shū)呆子；他既是著作等身的著名學(xué)者，而同時(shí)又是誨人不倦的教學(xué)名師，他的人生又告訴我們，科研和教學(xué)本可以并行不悖，科研不應(yīng)成為大學(xué)教授忽視本科教學(xué)的理由。為學(xué)為師，卡約黎為后人留下了一筆豐厚的精神財(cái)富。

(2014年2月14日收稿)■

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[21] SARTON G. Review of Cajori’s a history of mathematics notations (I) [J]. Isis, 1929, 12 (2): 332-336.

[22] SARTON G. Review of Cajori’s a history of mathematics notations (II) [J]. Isis, 1930, 13(1): 129-130.

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[30] Anon. Editorial [N]. The Tiger, 1918-05-14.

[31] 薩頓. 科學(xué)的歷史研究[M]. 劉兵, 等,譯. 上海: 上海交通大學(xué)出版社, 2007: 59-94.

[32] 克萊因. 懷念卡爾·波伊爾[J]. 彭婉如,洪萬(wàn)生, 譯. 科學(xué)月刊, 1985, 16(5): 365-369.

Florian Cajori: A prolific scholar and beloved teacher

WANG Xiaoqin
Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China

Florian Cajori, history of mathematics, history of mathematical notations

(編輯：溫文)

10.3969/j.issn.0253-9608.2015.03.010

*上海市教育科學(xué)研究項(xiàng)目(B08014)資助

?通信作者，E-mail: xqwang@math.ecnu.edu.cn