喬美玉

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

*-素環(huán)上廣義導(dǎo)子的性質(zhì)*

喬美玉

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

利用*-素環(huán)的性質(zhì)及線性化和替換的方法，討論了*-素環(huán)*-Jordan理想上滿足一定條件的廣義導(dǎo)子，所得的結(jié)果推廣了Asma、Deepak和Mahmmoud的相關(guān)結(jié)果.

*-素環(huán)；廣義導(dǎo)子；同態(tài)

環(huán)上導(dǎo)子是微分的一種代數(shù)形式的推廣，有豐富的研究?jī)?nèi)容和深刻的背景，特別是對(duì)于描述環(huán)的結(jié)構(gòu)有重要作用.

1991年，Bres?ar提出了廣義導(dǎo)子的概念，廣義導(dǎo)子是導(dǎo)子的一種重要的推廣.導(dǎo)子的很多結(jié)果都被推廣到廣義導(dǎo)子上來(lái).

對(duì)于可加映射F:R→R，如果存在R上的一個(gè)導(dǎo)子d，使得對(duì)于任意的x,y∈R，都有F(xy)=F(x)y+xd(y)，則稱F是R上的一個(gè)導(dǎo)子，d稱為F的伴隨導(dǎo)子.

1989年Bell和Kappe[1]證明了，若d是素環(huán)R上的導(dǎo)子，且在R的非零理想I上同態(tài)或反同態(tài)，則在R上有d=0.1994年Yenigul和Argac[2]證明了素環(huán)上的?-導(dǎo)子滿足此結(jié)論，即若d是素環(huán)R上的?-導(dǎo)子，且在R的非零理想I上同態(tài)或反同態(tài)，則在R上有d=0.1999年Ashrafetal[3]證明了素環(huán)上的(σ,τ)-導(dǎo)子滿足上述結(jié)論，即若d是素環(huán)R上的(σ,τ)-導(dǎo)子，且在R的非零理想I上同態(tài)或反同態(tài)，則在R上有d=0.2003年Asmaetal[4]將此結(jié)論推廣到素環(huán)的lie理想的集合上.對(duì)廣義導(dǎo)子的研究已經(jīng)取得了一些很好的結(jié)果.1981年Bergen研究了素環(huán)上的導(dǎo)子和Lie理想的關(guān)系，并得到一些結(jié)論[5].2005年Ashraf研究了滿足不同條件的帶有結(jié)合導(dǎo)子d的廣義導(dǎo)子的素環(huán)R的交換性[6].2007年黃述亮將Ashraf的有關(guān)結(jié)論推廣到了素環(huán)的Lie理想上[7].根據(jù)黃述亮的結(jié)果Mahmmoud又得出一些結(jié)論[8].本文主要是把Asma、Deepak和Mahmmoud的相關(guān)結(jié)果推廣到*-素環(huán)上.

1 主要結(jié)果

引理1[9]設(shè)R是特征不為2的* -素環(huán)，且J是R的非零*-Jordan理想，如果aJb=a*Jb=0則a=0或b=0．

引理2[10]設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，J是R上的非零Jordan理想.θ,φ是R上的自同構(gòu)，若R中有一個(gè)(θ,φ)-導(dǎo)子，使d(J)=0，則d=0或J?Z(R)．

引理3[11]設(shè)R是特征不為2的*-素環(huán)，J是R的非零*-Jordan理想，如果d是R的導(dǎo)子，滿足d(J)=0，則d=0或J?Z(R)．

引理4[11]設(shè)R是特征不為2的*-素環(huán)，J是R的非零*-Jordan理想，如果[J,J]=0,則J?Z(R).

定理1 設(shè)R是特征不為2的*-素環(huán)，J是R的非零*-Jordan理想，且為R的一個(gè)子集，θ是R上的自同構(gòu).設(shè)F:R→R是帶有結(jié)合(θ,θ)-導(dǎo)子d的廣義(θ,θ)-導(dǎo)子，且d與*可交換，若J在R上同態(tài)，則d=0或J?Z(R).

證明 若F在J上同態(tài)，則有

F(uv)=F(u)θ(v)+θ(u)d(v)=F(u)F(v)
對(duì)所有u,v∈J

(1)

在(1)中用vw換v，則有F(u)θ(v)θ(w)+θ(u)(d(v)θ(w)+θ(v)d(w))=F(u)(F(v)θ(w)+θ(v)d(w))對(duì)所有u,v,w∈J．

利用(1)式,則有(F(u)-θ(u))θ(v)d(w)=0對(duì)所有u,v,w∈J.因此有θ-1(F(u)-θ(u))vθ-1(d(w))=0對(duì)所有u,v,w∈J.所以θ-1(F(u)-θ(u))Jθ-1(d(w))=0對(duì)所有u,w∈J.因?yàn)閐與*可交換，J是*-Jordan理想，所以有θ-1(F(u)-θ(u))Jθ-1(d(w))*=0.由引理1可得F(u)-θ(u)=0或d(w)=0.

如果F(u)-θ(u)=0對(duì)所有u∈J，則由式(1)可得θ(u)d(v)=0對(duì)所有u,v∈J.用uw換u,則有θ(u)θ(w)d(v)=0對(duì)所有u,v,w∈J.則有uwθ-1(d(v))=0，所以有uJθ-1(d(v))=0對(duì)所有u,v∈J.因?yàn)閐與*可交換，J是*-Jordan理想,則有uJθ-1(d(v))=uJθ-1(d(v))*=0.由引理1有u=0或d(v)=0，由于J是非零*-Jordan理想，所以有d(v)=0，對(duì)任意v∈J.由引理2可得d=0或J?Z(R).

定理2 設(shè)R是特征不為2的*-素環(huán)，J是R的一個(gè)非零*-Jordan理想，設(shè)R中有一個(gè)帶有非零結(jié)合導(dǎo)子d的廣義導(dǎo)子F，且d可與*交換，如果滿足d(u2)=2F(u)u，對(duì)所有u∈J，則J?Z(R).

證明 由已知d(u2)=2F(u)u，對(duì)所有u∈J，則有

d(u)u+ud(u)=2F(u)u，對(duì)所有u∈J

(2)

由線性變換可得

d(u)v+d(v)u+vd(u)=2F(u)v+2F(v)u
對(duì)所有u,v∈J

(3)

在(3)中vu換v且應(yīng)用(3)可得uvd(u)+vud(u)=2vd(u)u對(duì)所有u,v∈J.

因此有

(u°v)d(u)=2vd(u)v對(duì)所有u,v∈J

(4)

在(4)中用wv換v且用式(4)，則有[u,w]vd(u)=0對(duì)所有u,v,w∈J.因此[u,w]Jd(u)=0對(duì)所有u,w∈J．由于d與*可交換，且J是*-Jordan理想，則[u,w]J(d(u))*=0=[u,w]Jd(u)u，w∈J,所以由引理1有[u,w]=0或d(u)=0u,w∈J．

設(shè)J1={u∈J|d(u)=0}、J2={u∈J|[u,w]=0,對(duì)所有w∈J}，由于J1和J2是J的兩個(gè)加法子群，并且J=J1∪J2，又由于一個(gè)群不可以寫(xiě)成它的兩個(gè)真子群的并，則有J=J1或J=J2．若J=J1，則有d(u)=0u∈J．由引理3可得J?Z(R)．若J=J2，則有[w,u]=0，u,w∈J,由引理4可得J?Z(R)．綜上所述J?Z(R)．

2 結(jié)論

本文利用*-素環(huán)的性質(zhì)及線性化和替換的手法，討論了*-素環(huán)*-Jordan理想上滿足一定條件的廣義導(dǎo)子，所得的結(jié)果推廣了Asma、Deepak和Mahmmoud的相關(guān)結(jié)果.希望對(duì)進(jìn)一步的研究工作有所幫助和啟發(fā).

[1]BellHEandKappeLC.Ringsinwhichderivationssatisfycertainalgebraicconditions,Acta[J].Math.Hungar,1989,53:339-346.

[2]YenigulMandArgacN.Onprimeandsemiprimeringswithα-derivations[J].TurkJ.Math.,1994,18:280-284.

[3]AshrafM,RehmanNandQuadriMA.On(σ,τ)-derivationsincertainclassesofrings[J].Rad.Mat.,1999,9:187-192.

[4]AliARehmanNandShakirA.OnLieidealswithderivationsashomomorphismsandanti-homomorphisms[J].ActaMath.Hungar.,2003,101：79-82.

[5]JBergen，INHersteinandJWKerr.Lieidealsandderivationsofprimerings[J].JournalofAlgebra,1981,71:259-267.

[6]MAshraf，AAliandRRani.Ongeneralizedderivationsofprimerings[J].SoutheastAsianBulletinofMathematics,2005,29:669-675.

[7]HuangS.Generalizedderivationsofprimerings[J].InternationalJournalofMathematicsandMathematicalSciences,Article,2007(6)：83-87.

[8]MahmmoudEL-SOUFI,AhmedABOUBAKR.GeneralizedderivationsonJordanidealsinprimerings[J].TurkJMathe,2014,38：233-239.

[9]OukhtiteL.OnJordanidealsandderivationsinringswithinvolution[J].Comment.Math.Univ.Carolin.,2010,51:389-395.

[10]AydinNandKayaK.Somegeneralizationinprimeringswith(σ,τ)-derivations[J].DogaTr.J.Math.Hungar.,1992,16:169-176.

[11]OukhtiteL.OnJordanidealsandderivationsinringswithinvolution[J].Comment.Math.Univ.Carolin.,2010,51:389-395.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.04.009

2014-12-23

吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“素環(huán)上的導(dǎo)子和三角代數(shù)上的Jordan映射” (201215220)

喬美玉,女,吉林梅河口人，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在讀碩士．

O

A

1008-7974(2015)02-0023-02