鄧 燕，尹 建, ，郭建春

（1.西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500；2.中國石油川慶鉆探工程有限公司 鉆采工程技術(shù)研究院，四川 廣漢 618300）

1 引 言

水平井多段壓裂改造是提高水平井在低滲儲(chǔ)層應(yīng)用效果的技術(shù)關(guān)鍵[1－2]，水平井應(yīng)力場(chǎng)問題是水平井壓裂研究的重要問題，影響著壓裂過程中裂縫的起裂和延伸。目前對(duì)水平井應(yīng)力場(chǎng)的研究主要考慮井筒內(nèi)壓、壓裂液滲流效應(yīng)以及地應(yīng)力分量等因素造成的應(yīng)力變化[3－5]，而水平井多段壓裂形成裂縫通常具有先后順序，先壓開的裂縫會(huì)在其周圍產(chǎn)生誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)，導(dǎo)致井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)更為復(fù)雜，對(duì)人工裂縫形成后產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力大小目前主要是使用解析模型進(jìn)行計(jì)算，模型可以計(jì)算裂縫高度所在的二維平面上的誘導(dǎo)應(yīng)力大小，無法計(jì)算水平井筒周圍水平面上的誘導(dǎo)應(yīng)力大小，不利于進(jìn)一步研究受誘導(dǎo)應(yīng)力干擾下的裂縫延伸過程[6－10]。

本文以均質(zhì)各向同性的二維平面人工裂縫模型為基礎(chǔ)，利用位移不連續(xù)理論，推導(dǎo)建立非等裂縫半長、非等間距和任意裂縫傾角的水力裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合井筒內(nèi)壓等因素產(chǎn)生的應(yīng)力變化建立起水平井多段壓裂應(yīng)力場(chǎng)模型。采用應(yīng)力云圖反映了實(shí)例井多段壓裂壓開每條裂縫后水平井筒周圍應(yīng)力分布，并通過每段破裂壓力值驗(yàn)證應(yīng)力場(chǎng)模型的準(zhǔn)確性。

2 物理模型

在水平井分段壓裂施工作業(yè)時(shí)，井壁周圍巖石的實(shí)際受力狀態(tài)是非常復(fù)雜的。如圖1 所示，水平井分段壓裂井筒內(nèi)壓裂時(shí)，井眼內(nèi)部作用有液柱壓力，外部作用有原地應(yīng)力，巖石內(nèi)部存在孔隙壓力，壓裂液由于壓差向地層滲濾引起附加壓力，射孔等引起應(yīng)力變化以及已壓開裂縫會(huì)對(duì)井筒周圍產(chǎn)生誘導(dǎo)應(yīng)力影響。

圖1 水平井多段壓裂井筒示意圖Fig.1 Wellbore sketch of horizontal well staged fracturing

由于在復(fù)雜應(yīng)力條件下井壁巖石有可能發(fā)生塑性變形，再加上地層不均質(zhì)性以及各向異性等因素，使得對(duì)井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)的研究較為困難。因此，為了便于分析，假設(shè)巖石是均質(zhì)各向同性的多孔彈性介質(zhì)，同時(shí)處于線彈性狀態(tài)，不考慮巖石與壓裂液的物理化學(xué)作用，同時(shí)假設(shè)射孔孔眼前端為圓球狀，在井筒和射孔孔眼之間有良好連通，井筒和孔眼通道有相同的流體壓力，水泥環(huán)膠結(jié)良好。那么水平井筒周圍的應(yīng)力滿足疊加原理，可以通過疊加原理得到在各因素綜合作用下的水平井井筒周圍誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)分布，定義壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。水平井筒周圍巖石受井筒內(nèi)壓、地應(yīng)力、壓裂液滲流、熱應(yīng)力、射孔和先壓開裂縫綜合作用下的應(yīng)力場(chǎng)分布為

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 人工裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)模型

水平井分段壓裂過程中，壓開的裂縫將會(huì)在其壁面上產(chǎn)生載荷以平衡張開的巖塊，同時(shí)產(chǎn)生誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)，該問題屬于應(yīng)力邊界問題，采用位移不連續(xù)法推導(dǎo)建立人工裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)模型。位移不連續(xù)方法是間接邊界元法的一種，自1976年由Crouch等[11]建立以來，由于其直接以裂隙面上的相對(duì)位移為未知量，在處理不連續(xù)體問題時(shí)更簡單、更方便，因而在巖體工程上受到越來越廣泛的應(yīng)用，對(duì)于水平井壓裂產(chǎn)生的人工裂縫，裂縫張開后的應(yīng)力場(chǎng)問題與巖體工程中裂隙邊界受外力作用產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)而引起的應(yīng)力場(chǎng)問題相似，因此，采用位移不連續(xù)方法進(jìn)行研究。

為了研究方便，建立如圖2 所示的局部坐標(biāo)系（s，n）與總坐標(biāo)系（x，y），水平井筒方向沿x 方向，將人工裂縫離散成N個(gè)邊界單元，對(duì)任意邊界單元j，局部坐標(biāo)系（s，n）與總坐標(biāo)系（x，y）的傾角為βj，單元j 的位移不連續(xù)量記為和和的符號(hào)規(guī)定為：裂縫的兩邊相向運(yùn)動(dòng)時(shí)為正；裂縫的正邊相對(duì)負(fù)邊向左運(yùn)動(dòng)時(shí)為正。

圖2 坐標(biāo)示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system

3.1.1 應(yīng)力邊界條件

裂縫內(nèi)部受到均勻的壓力 σn=p作用，任意單元j 的已知邊界條件可寫為

3.1.2 人工裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

單元i 中點(diǎn)的剪應(yīng)力和法應(yīng)力可以由j 單元的位移不連續(xù)量通過下式得到[11]：

其表達(dá)式分別為

式中： aj為j 單元的半長度(m)。

將式（3）代入到式（2）中可以得到求解人工裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)數(shù)學(xué)模型的基本方程組為

該方程組由2N個(gè)方程組成，未知量的個(gè)數(shù)也為2N個(gè)，求出各方程中的應(yīng)力邊界影響因素就可以求出各單元的常位移不連續(xù)量，再通過計(jì)算任意位置的應(yīng)力邊界影響系數(shù)就可以確定出該位置的誘導(dǎo)應(yīng)力值。

3.2 水平井射孔井段井筒周圍應(yīng)力分布模型

將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)系對(duì)井筒周圍的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，將水平井井壁視為無限小的變形多孔彈性介質(zhì)，將水平井井筒和射孔孔眼看成是2個(gè)不同尺寸的井眼垂直相交，綜合考慮井筒內(nèi)壓、應(yīng)力場(chǎng)、壓裂液滲流條件和溫度變化，根據(jù)應(yīng)力疊加原理，得到水平井射孔完井時(shí)水平井筒周圍任意點(diǎn)i 的應(yīng)力分布式為[12]

式中：E為彈性模量(MPa)；ν為泊松比；Pw為井筒中壓裂液產(chǎn)生的壓力(MPa)；c為壓力修正系數(shù)，無因次；σr(i)、σθ'(i)和 σx(i)分別為i 點(diǎn)處的徑向應(yīng)力、切向應(yīng)力和軸向應(yīng)力(MPa)；τrθ(i)、τrx(i)、τθx(i)為i 點(diǎn)處的剪應(yīng)力分量(MPa)；δ為滲透性系數(shù)，無因次；φ為孔隙度，無因次；Pp為孔隙壓力(MPa)；αT為水平井井筒周圍巖石的線性膨脹系數(shù)(1/℃)；ξ為多孔彈性系數(shù)，無因次；θ為射孔方位角(°)；θ′為裂縫起裂方位角(°)；R為井筒半徑(m)；r為i點(diǎn)距離井筒中心的距離(m)；△T為巖石溫差(℃)。

3.2.1 不存在人工裂縫的應(yīng)力分布模型

未形成人工裂縫前，（x,y,z）坐標(biāo)系中的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分量可以通過坐標(biāo)變換由原地應(yīng)力得到[12]：

式中：σH、σh、σv分別為最大水平主應(yīng)力、最小水平主應(yīng)力和垂直應(yīng)力(MPa)；α為水平井方位角(°)。

式（7）、（8）構(gòu)成了不存在人工裂縫條件下的水平井井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型。

3.2.2 存在人工裂縫的應(yīng)力分布模型

分段壓裂形成人工裂縫后，井筒周圍主應(yīng)力場(chǎng)由原地應(yīng)力場(chǎng)和人工裂縫產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)組成，見圖3。根據(jù)疊加原理，分段壓裂壓開T-1 條裂縫后井筒周圍任意一點(diǎn)i的應(yīng)力為[13－14]

式中：σ′H(i)、σ′h(i)、σ′v(i)為i 點(diǎn)處的復(fù)合應(yīng)力分量(MPa)；σx誘導(dǎo)(i,j)和σy誘導(dǎo)(i,j)為第j 條裂縫對(duì)位置i 處產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力分量(MPa)。

式（8）中σV、σH和 σh分別由和(i)替換，變換為

式（3）、（7）、（9）和（10）構(gòu)成了存在人工裂縫條件下的水平井井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型。

圖3 水平井多裂縫應(yīng)力分布示意圖Fig.3 Stress distribution of horizontal well with multiple fractures

3.3 模型求解

對(duì)不存在、存在人工裂縫的應(yīng)力分布模型求解主要區(qū)別是在于對(duì)人工裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力大小的計(jì)算，對(duì)于不存在人工裂縫的應(yīng)力分布模型，應(yīng)力分量都是解析表達(dá)式，代入各參數(shù)就可以進(jìn)行求解；對(duì)于存在人工裂縫的應(yīng)力分布模型，根據(jù)前面提到的方法確定了任意位置受到的誘導(dǎo)應(yīng)力大小后將其代入式（9）計(jì)算出復(fù)合應(yīng)力分量，再代入式（10）、（7）得到計(jì)算位置的各應(yīng)力分量。

4 模型的驗(yàn)證與應(yīng)用

由于應(yīng)力大小無法監(jiān)測(cè)，因此，不能直接對(duì)建立的模型進(jìn)行驗(yàn)證。由于地層破裂壓力大小取決于井壁處的應(yīng)力分布，而破裂壓力值可以監(jiān)測(cè)，因此，使用建立的應(yīng)力場(chǎng)模型并結(jié)合巖石破裂準(zhǔn)則預(yù)測(cè)破裂壓力值，通過與實(shí)際施工破裂壓力值對(duì)比，間接驗(yàn)證應(yīng)力場(chǎng)模型的準(zhǔn)確性。地層破裂壓力由應(yīng)力分布模型結(jié)合張性破裂準(zhǔn)則迭代得到。

采用某油田一口水平井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)力分析以及模型驗(yàn)證，該井對(duì)2 831.98～2 834.98 m、2 595.07～2 598.07 m、2 461.98～2 464.98 m 共3 層完成壓裂改造，使用PT 軟件進(jìn)行壓后凈壓力擬合，3 段壓裂的施工參數(shù)及裂縫參數(shù)見表1。

應(yīng)力場(chǎng)及破裂壓力計(jì)算所用到的地應(yīng)力參數(shù)、儲(chǔ)層參數(shù)等數(shù)據(jù)見表2、3。

第1 段壓裂前，水平井筒周圍應(yīng)力分量分布見圖4(a)～4(c)，從圖中可以看出，整個(gè)水平井筒周圍僅在距離井壁很近的范圍應(yīng)力存在著極小的變化，在距離井壁稍遠(yuǎn)的位置應(yīng)力不變。在2 831.98～2 834.98 m 進(jìn)行壓裂后形成一條垂直于水平井筒的

人工裂縫，人工裂縫形成后對(duì)水平井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)造成了很大影響，與未形成裂縫前相應(yīng)的應(yīng)力分量值對(duì)比看，人工裂縫形成后在裂縫尖端出現(xiàn)應(yīng)力集中，造成應(yīng)力降低，在裂縫周圍一定區(qū)域造成應(yīng)力值有較大的升高，人工裂縫造成的應(yīng)力影響不能被忽略。

表1 施工參數(shù)及裂縫參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of construction and fracture parameters

表2 應(yīng)力場(chǎng)及破裂壓力計(jì)算基本參數(shù)Table 2 Basic calculation parameters of stress field and fracture pressure

表3 儲(chǔ)層參數(shù)Table 3 Reservoir parameters

圖4 不存在裂縫和單條裂縫形成后水平井筒周圍應(yīng)力分布對(duì)比Fig.4 Comparison of stress fields around horizontal wellbore between no crack and single crack

對(duì)2 595.07～2 598.07 m和2 461.98～2 464.9 m進(jìn)行壓裂后，形成第2 條人工裂縫和第3 條人工裂縫，水平井筒周圍應(yīng)力分布分別見圖5、6。從圖中可以看出，人工裂縫數(shù)量越多，應(yīng)力之間干擾越嚴(yán)重，水平井筒周圍應(yīng)力分布越復(fù)雜。

圖5 兩條裂縫形成后水平井筒周圍應(yīng)力分布Fig.5 Stress contours around horizontal wellbore for two cracks

圖6 3 條裂縫形成后水平井筒周圍應(yīng)力分布Fig.6 Stress contours around horizontal wellbore for three cracks

分別計(jì)算未考慮和考慮裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力影響的3條裂縫破裂壓力值，將計(jì)算結(jié)果與壓裂施工的實(shí)際破裂壓力值進(jìn)行對(duì)比，見表4。

第1 段壓裂產(chǎn)生的裂縫是初始裂縫，起裂過程中沒有受到先壓開裂縫的應(yīng)力干擾，采用不存在人工裂縫的應(yīng)力分布模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值誤差2.9%；第2 段和第3 段壓裂裂縫起裂都會(huì)受到之前產(chǎn)生裂縫的應(yīng)力干擾，采用不存在人工裂縫應(yīng)力分布模型和采用存在人工裂縫應(yīng)力分布模型得到的破裂壓力值與實(shí)際值平均誤差分別為5.1%和3.4%。說明建立的井筒周圍應(yīng)力分布模型準(zhǔn)確性較高，存在先壓開裂縫情況下井筒周圍應(yīng)力分布應(yīng)該考慮先壓開裂縫產(chǎn)生的應(yīng)力影響。

5 結(jié) 論

（1）所建立的水平井多段壓裂應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算模型不僅考慮了井筒內(nèi)壓、壓裂液滲流、地應(yīng)力、熱應(yīng)力、射孔等因素，還重點(diǎn)考慮了壓開人工裂縫產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力影響，模型驗(yàn)證表明由于考慮了人工裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力影響，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。

（2）人工裂縫產(chǎn)生后會(huì)在其周圍產(chǎn)生很大的誘導(dǎo)應(yīng)力，影響原始地應(yīng)力，多段壓裂壓開裂縫條數(shù)越多，裂縫間干擾越嚴(yán)重，水平井筒周圍應(yīng)力變化越復(fù)雜，后續(xù)裂縫的起裂和延伸都將會(huì)受到影響，在多段壓裂設(shè)計(jì)中應(yīng)該對(duì)先壓裂縫的誘導(dǎo)應(yīng)力干擾加以考慮。

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