王健, 陳浩, 王秀明, 張雷

1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場與聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100190 2 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

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有限元感應(yīng)測井模擬的背景場選擇方法研究

王健1,2, 陳浩1, 王秀明1, 張雷1

1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場與聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100190 2 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

在感應(yīng)測井的有限元模擬中，為了消除源的奇異性，一般將總場分解為背景場和散射場.本文定量研究了不同背景場選擇方法對計(jì)算精度的影響.首先，分析了在均勻和徑向分層介質(zhì)中不同背景電導(dǎo)率對長短源距線圈系有限元模擬結(jié)果的影響；其次，利用三層介質(zhì)模型對比了選擇源點(diǎn)附近和線圈系中點(diǎn)附近地層電導(dǎo)率作為背景電導(dǎo)率的結(jié)果.研究結(jié)果表明，如果在選擇背景場時(shí)，只考慮源附近的散射場梯度而不同時(shí)考慮源和接收器附近的散射場梯度，計(jì)算誤差明顯增大.在此基礎(chǔ)上提出一種利用Gianzero幾何因子計(jì)算的視電導(dǎo)率作為背景電導(dǎo)率的新的背景場方法.該方法綜合考慮了圍巖、井眼、線圈距等因素，特別是在介質(zhì)分界面處，可有效減小計(jì)算誤差，并取得了滿意的精度.本研究為復(fù)雜環(huán)境下的感應(yīng)測井模擬的背景場選擇提供了指導(dǎo)和依據(jù).

數(shù)值模擬; 感應(yīng)測井; 有限元; 背景場; 幾何因子

1 引言

隨著石油、天然氣及礦藏勘探和開發(fā)需求的增加及測井技術(shù)的發(fā)展，需要應(yīng)用更加精確和快速的數(shù)值模擬技術(shù)對大斜度井或傾斜地層、井洞、裂縫、溶洞和礦體等復(fù)雜條件下的感應(yīng)測井響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，以便對測量到的視電阻率進(jìn)行有效的校正和可靠的反演.

在三維數(shù)值模擬中，目前主要的方法包括有限差分法(finite difference method：FDM)(Newman et al.,1995；Weiss and Newman, 2002; 汪功禮等, 2003; 沈金松, 2004)、有限體積法(Finite volume method：FVM)(Weiss,2013)和有限元方法(Finite element method :FEM)(Anderson,1983; Biroand Preis,1989; Badea et al.,2001a;Onegova,2010;Mukherjee and Everett,2011; Zhang et al.,2011;王昌學(xué)等, 2013).感應(yīng)測井的激勵(lì)源附近的場強(qiáng)變化非常劇烈，給計(jì)算建模帶來極大的困難(Badea et al., 2001b).為了解決此問題，通常將總場分解成背景場和散射場分別進(jìn)行計(jì)算(Newman and Alumbaugh, 1995).背景場一般可解析求解，它反映了總場中變化比較劇烈的部分，散射場則需要通過數(shù)值模擬進(jìn)行計(jì)算.這樣分解的主要優(yōu)點(diǎn)是：源可以由背景場簡單方便地引入而不需要模擬源的具體形狀；在較少網(wǎng)格條件下比直接模擬源計(jì)算的結(jié)果精度更高.Chang和Anderson(1984)在軸對稱模型中選用泥漿電導(dǎo)率作為背景電導(dǎo)率.Badea等(2001b)比較了有井模型時(shí)分別選擇均勻介質(zhì)和徑向分層介質(zhì)作為背景介質(zhì)對計(jì)算精度的影響.Newman和Alumbaugh(2002)選擇離發(fā)射線圈最近的介質(zhì)為背景介質(zhì).王昌學(xué)等(2006)認(rèn)為背景電導(dǎo)率要盡量接近整個(gè)區(qū)域的平均電導(dǎo)率.總之，已有的模擬計(jì)算中，一般選擇源所在介質(zhì)的電導(dǎo)率作為背景電導(dǎo)率.但是隨著考慮的地層愈加復(fù)雜，這種選擇方法已經(jīng)無法滿足感應(yīng)測井高精度模擬的要求.目前背景場的選擇對數(shù)值模擬的精度和速度影響的系統(tǒng)研究據(jù)我們所知尚未見報(bào)道.尤其是當(dāng)源與接收器之間是非均勻介質(zhì)時(shí)，如何綜合考慮場的分布、選擇一個(gè)最佳的背景電導(dǎo)率是一個(gè)亟待解決的問題.

本文從感應(yīng)測井有限元模擬和背景場的基本原理出發(fā)，詳細(xì)研究了不同介質(zhì)模型下，不同的背景場對有限元模擬精度和速度的影響，分析了影響背景場選擇的因素.提出了利用幾何因子得到的視電導(dǎo)率作為有限元模擬的背景電導(dǎo)率及其所具備的優(yōu)點(diǎn).

2 基礎(chǔ)理論

由于感應(yīng)測井的頻率比較低，位移電流可以忽略不計(jì)(Moran and Kunz ,1962).電場和磁場所滿足的微分Maxwell方程為

(1)

上式中，ω是角頻率，μ0是自由空間的磁導(dǎo)率，σ是地層電導(dǎo)率.電流項(xiàng)J由電流源Js和感應(yīng)電流項(xiàng)σE組成.當(dāng)把介質(zhì)的電導(dǎo)率分解為背景電導(dǎo)率與差值電導(dǎo)率σ=σb+Δσ，而對應(yīng)的場分解為背景場和散射場E=Eb+Es，并將它們代入公式(1)中，得到散射場方程(NewmanandAlumbaugh,1995)：

(2)

其中Δσ是地層電導(dǎo)率和背景場電導(dǎo)率的差值.Eb是背景場，Es是散射場，E為總場.對于半徑為a放置于z=zs處的載流線圈，它在均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的電場的解析式為

×J1(λa)J1(λρ)λdλ，

(3)

(4)

n為計(jì)算區(qū)域的外法向方向.

在本文中，Es可通過有限元方法計(jì)算得到.本文的全部算例用已經(jīng)開發(fā)的矢量有限元程序計(jì)算完成.由于電磁場的有限元模擬具體實(shí)施過程并不是這篇文章的主要目的，因此不詳細(xì)闡述，相關(guān)研究見文獻(xiàn)(Jin, 2002).

為了說明背景場對數(shù)值模擬結(jié)果的影響，我們考慮一個(gè)放置于二層介質(zhì)模型中的垂直磁偶極子(VerticalMagneticDipole：VMD)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分布.如圖1所示，將磁偶極子源放置在z軸上，且在介質(zhì)分界面(z=0)下方1.5 m處，磁偶極子源的頻率為20 kHz,其中上層介質(zhì)電導(dǎo)率σup=1 S/m，下層介質(zhì)電導(dǎo)率σlow=10 S/m.相應(yīng)的計(jì)算公式由文獻(xiàn)(HardmanandShen, 1986)給出.圖2是所計(jì)算的VMD在二層介質(zhì)模型中激發(fā)的電場的總場和散射場的等高線.從圖中我們可以看到源附近的總場等高線密集，在源附近電場梯度比較大，用有限元模擬電場在網(wǎng)格不夠精細(xì)或者插值函數(shù)階數(shù)不足(尤其是線性插值)時(shí)，無法得到足夠精確的結(jié)果.而通過選擇下層介質(zhì)作為背景場得到的散射場在源附近等高線變得稀疏，電場梯度比較小，因此可以采用較為稀疏的網(wǎng)格或低階的插值函數(shù).

圖1 二層介質(zhì)中的垂直磁偶極子Fig.1 Vertical magnetic dipole in two-layer medium

圖2 VMD在二層介質(zhì)中激發(fā)的總場和散射場電場強(qiáng)度實(shí)部等高線Fig.2 Contours of real signal for the total and scattered fields excited by VMD in two-layer medium

雙線圈系是感應(yīng)測井儀器的基本結(jié)構(gòu)，因此下面以雙線圈系為例研究背景電導(dǎo)率的不同選擇對模擬精度的影響.模擬中，電流源的頻率f=20 kHz，線圈系的半徑a=0.05 m，長源距的線圈距L=1 m，短源距的線圈距L=0.3 m.有限元模擬中，采用四面體網(wǎng)格，計(jì)算區(qū)域大約為5個(gè)趨膚深度.為了方便對比，相同探測條件下背景電導(dǎo)率改變時(shí)的網(wǎng)格劃分完全一致.

3 模擬結(jié)果和分析

3.1 均勻介質(zhì)模型的背景場

取地層電導(dǎo)率為0.1 S/m，而背景電導(dǎo)率為地層電導(dǎo)率的0.001～1000倍，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.從圖3可以看出，背景電導(dǎo)率越接近地層電導(dǎo)率，有限元模擬計(jì)算的精度越高.當(dāng)背景電導(dǎo)率比地層電導(dǎo)率小時(shí)，誤差變化平緩且保持在相對較低的水平；當(dāng)背景電導(dǎo)率大于地層電導(dǎo)率時(shí)，誤差迅速地增加.因此當(dāng)模型電導(dǎo)率變化不大時(shí)，應(yīng)盡可能選擇與模型接近的值作為背景電導(dǎo)率，而模型電導(dǎo)率變化比較劇烈時(shí)，取較小的電導(dǎo)率為背景值要相比取大的電導(dǎo)率作為背景電導(dǎo)率的效果好.這樣可以避免引入過高梯度的背景場而可能導(dǎo)致的散射場梯度的增加.從圖3還可以看出，短源距的計(jì)算誤差要比長源距的小，這可能是因?yàn)殚L源距的地方網(wǎng)格比較稀疏.

3.2 有井存在的徑向分層

圖4a和b分別給出了短源距和長源距的雙線圈系在淡水泥漿中背景場對有限元計(jì)算結(jié)果的影響.其中井徑為0.2 m，淡水泥漿電導(dǎo)率σmf=0.01 S/m，無限厚均勻地層的電導(dǎo)率σt=0.005～15 S/m.圖中圓圈和三角分別是選用泥漿和地層作為背景場介質(zhì)計(jì)算的相對誤差.由圖4可以看到，當(dāng)?shù)貙与妼?dǎo)率等于泥漿電導(dǎo)率即介質(zhì)是均勻時(shí)誤差等于0，此時(shí)有限元計(jì)算的結(jié)果等同于解析解.短源距時(shí)，用泥漿作背景場的計(jì)算誤差小于地層作背景場的計(jì)算誤差.長源距時(shí)，用泥漿作背景場的計(jì)算誤差總體要大于用地層作背景場的計(jì)算誤差.這是因?yàn)槎淘淳嗟木€圈系受井眼影響大，源在電導(dǎo)率為泥漿電導(dǎo)率的均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的背景場更接近于總場；長源距線圈系受地層的影響更大，地層背景場更接近于總場.從圖中還可以看出，長源距地層背景場的計(jì)算誤差要小于短源距井眼背景場的計(jì)算誤差.這是因?yàn)榧词乖诙淘淳嗲闆r下，由于井眼半徑比較小，泥漿電導(dǎo)率比較低，來自于地層的影響仍然占很大的比重，井眼背景場與總場之間仍然存在著相當(dāng)大的差異.而在長源距情況下，幾乎所有的影響都來自于地層，地層背景場十分接近總場，因而用有限元計(jì)算得到更高精度結(jié)果.

圖3 無限均勻介質(zhì)中不同背景電導(dǎo)率時(shí)有限元計(jì)算結(jié)果Fig.3 FEM solutions with different background conductivities in infinite uniform medium

圖4 淡水泥漿時(shí)不同背景場有限元計(jì)算結(jié)果Fig.4 FEM solutions with different background conductivities in fresh mud

圖5中a和b分別給出了短源距和長源距的雙線圈系在咸水泥漿下背景場對有限元計(jì)算結(jié)果的影響.咸水泥漿電導(dǎo)率σmf=5 S/m，地層電導(dǎo)率σt=0.01～15 S/m.與淡水泥漿的情況類似，短源距時(shí)用泥漿作背景場的誤差更小，而長源距用地層作背景場的誤差更小.同時(shí)，長源距以泥漿為背景場的計(jì)算誤差在地層電導(dǎo)率較低時(shí)變得很大，這是因?yàn)殚L源距受到地層的影響比較大，地層電導(dǎo)率比較低，而背景電導(dǎo)率比較高.如圖3在均勻介質(zhì)中，當(dāng)背景電導(dǎo)率大于目標(biāo)電導(dǎo)率時(shí)，計(jì)算誤差會(huì)迅速上升.圖4和圖5的結(jié)果表明，在感應(yīng)測井模擬中，需要根據(jù)源距的長短以及井眼大小選擇背景電導(dǎo)率.

3.3 水平三層模型的背景場方法研究

為了考察背景場對用有限元模擬感應(yīng)測井儀器穿越介質(zhì)分界面時(shí)的計(jì)算精度的影響，我們分別計(jì)算了長源距雙線圈系在模型1和模型2中的響應(yīng)(圖6).分別選擇圍巖和中間層作為背景場介質(zhì).圖7和圖8分別給出了對應(yīng)于模型1和模型2的視電導(dǎo)率曲線和相對誤差曲線.圖7中，從左圖可以看出二種背景場計(jì)算的視電導(dǎo)率都有較高的精度.但從右圖的相對誤差曲線可以看到，選擇圍巖作為背景電導(dǎo)率時(shí)，在圍巖處結(jié)果的相對誤差較小，一般為10-5；而在中間層處計(jì)算的誤差非常大，最大相對誤差超過了10%.這是由于當(dāng)線圈系處于圍巖且距離目標(biāo)層比較遠(yuǎn)時(shí)，來自于目標(biāo)層的影響幾乎可以忽略掉，此時(shí)圍巖背景場接近總場.當(dāng)線圈系處于界面或者目標(biāo)層內(nèi)時(shí)，目標(biāo)層對其的影響增加，圍巖背景場與總場的差異增大，導(dǎo)致結(jié)果誤差的增大.選擇中間層電導(dǎo)率作為背景電導(dǎo)率時(shí)，結(jié)果在圍巖處誤差較大，而在中間層處誤差較小.從圖中還可以看出，圍巖背景場誤差曲線變化劇烈，而目標(biāo)層背景場誤差曲線變化平緩.這主要是因?yàn)閲鷰r背景場的背景電導(dǎo)率較高，目標(biāo)層背景場的背景電導(dǎo)率較低的原因，而較低的背景電導(dǎo)率要好于較高的背景電導(dǎo)率，參見圖3.圖8展示的規(guī)律和圖7基本一致，唯一的區(qū)別是由于中間層電導(dǎo)率較高，圍巖電導(dǎo)率較低，因此中間層背景場誤差變化的更劇烈，而圍巖背景場變化平緩.因此，對感應(yīng)測井需要模擬隨深度變化的地層而言，取固定的背景電導(dǎo)率效果并不好.如果一定要取固定的背景電導(dǎo)率，應(yīng)該取模型中最低的電導(dǎo)率作為背景值.有限元計(jì)算的結(jié)果總是在低阻地層精度較高，在高阻地層的精度較低.這是因?yàn)樵诘妥璧貙訒r(shí)來自于高阻地層的渦流影響很弱，而在高阻地層時(shí)，來自于低阻地層的渦流相對強(qiáng)烈些.因此當(dāng)線圈系位于低阻地層時(shí)，計(jì)算所選擇的背景場更接近總場，計(jì)算精度也就更高.

圖6 水平三層模型示意圖Fig.6 Horizontal three-layer model

圖5 咸水泥漿時(shí)不同背景場有限元計(jì)算結(jié)果Fig.5 FEM solutions with different background conductivities in saltwater mud

圖7 高阻三層模型視電導(dǎo)率和相對誤差曲線Fig.7 The apparent conductivity and relative error curves of three-layer model with less conductive medium in the middle

圖8 低阻三層模型視電導(dǎo)率和相對誤差曲線Fig.8 The apparent conductivity and relative error curves of three-layer model with more conductive medium in the middle

圖9 高阻三層模型線圈系中點(diǎn)背景場和發(fā)射線圈背景場計(jì)算誤差對比Fig.9 Comparison between solutions obtained with the midpoint of transmitter-receiver spacing and transmitter background fields in three-layer model with less conductive medium in the middle

圖10 低阻三層模型線圈系中點(diǎn)背景場和發(fā)射線圈背景場計(jì)算誤差對比Fig.10 Comparison between solutions obtained with midpoint of transmitter-receiver spacing and transmitter background fields in three-layer model with more conductive medium in the middle

圖9和圖10分別給出了選用線圈系中點(diǎn)所在介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率和發(fā)射線圈所在介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率的相對誤差曲線.采用的模型為模型1和模型2.同圖7和圖8對比，我們可以看到這種隨線圈系移動(dòng)改變背景電導(dǎo)率的方法要遠(yuǎn)優(yōu)于選擇固定的某種介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率.同時(shí)，當(dāng)線圈系穿越地層時(shí)，選擇線圈系中點(diǎn)的介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率要好于發(fā)射線圈所在介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率.這是因?yàn)楫?dāng)線圈中點(diǎn)在界面上時(shí)，線圈系受到上下層介質(zhì)的影響是均等的.當(dāng)線圈系繼續(xù)進(jìn)入上一層時(shí)，上層介質(zhì)的影響增大，這時(shí)選用上層介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率獲得的結(jié)果精度更高.然而當(dāng)線圈系跨越界面時(shí)，無論選取那種介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率得到的背景場都不可能接近總場，導(dǎo)致數(shù)值模擬結(jié)果在這一區(qū)間誤差不穩(wěn)定，當(dāng)介質(zhì)對比度增大時(shí)會(huì)出現(xiàn)極大的誤差.

源附近的總場是由源在均勻介質(zhì)中形成的場和介質(zhì)交界面處的反射場和折射場組成.當(dāng)源距離邊界較遠(yuǎn)時(shí)，以源在附近均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的場作為背景場會(huì)和總場相差不大，且接收器距離源越近，在接收器附近的散射場的梯度也會(huì)越小.然而在感應(yīng)測井問題中，源和接收器要經(jīng)常穿越界面，特別是當(dāng)?shù)貙雍穸缺容^小、線圈距比較大時(shí)，源附近的總場與均勻介質(zhì)的場會(huì)相差很大.當(dāng)接收器距離源較遠(yuǎn)時(shí)，接收器的場與源的場也有很大的差異，采用源附近的介質(zhì)作為背景場很可能使接收器的散射場有較大的梯度而使誤差變大.因此在感應(yīng)測井?dāng)?shù)值模擬選用背景場時(shí)，要同時(shí)考慮源和接收器的散射場分布.正如我們在上面幾個(gè)實(shí)例中看到的，選擇離源最近的介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率的方法很多情況下并不是最好的選擇.

3.4 Gianzero幾何因子背景場

在上面的多個(gè)算例中，我們選擇的背景電導(dǎo)率都是模型中原有的介質(zhì)，這種背景場介質(zhì)的模型是階躍式的.當(dāng)模擬的模型含有多層介質(zhì)時(shí)(尤其是薄層)，這種階躍式的背景場會(huì)產(chǎn)生非常大的誤差.由于影響總場的因素很多，包括層厚、井徑、線圈距、以及圍巖、目標(biāo)層和泥漿的電導(dǎo)率差異.這意味著選擇模型中原有介質(zhì)作為背景電導(dǎo)率在整條測井曲線上總會(huì)出現(xiàn)誤差較大的計(jì)算點(diǎn).為了通過引入背景場能夠同時(shí)使得源和接收器附近的散射場梯度減小，即需要同時(shí)考慮源和接收器之間的場的分布并對二者進(jìn)行折中，由此我們提出了用幾何因子計(jì)算得到的視電導(dǎo)率值作為有限元計(jì)算的背景電導(dǎo)率.本文主要選用Gianzero幾何因子，這是因?yàn)榕cGianzero幾何因子相比，Doll幾何因子沒有考慮電磁波的傳播效應(yīng)，只能在低電導(dǎo)率、低頻率條件下，反應(yīng)感應(yīng)測井的響應(yīng)特征，限制了方法的適用范圍；Moran幾何因子計(jì)算視電導(dǎo)率時(shí)需要對電導(dǎo)率進(jìn)行積分運(yùn)算，步驟較為復(fù)雜；而Born幾何因子不適用于在均勻地層中描述測井響應(yīng)(仵杰等，2001).Gianzero幾何因子如下式所示(Gianzero and Anderson, 1981)：

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圖11 高阻三層模型Gianzero背景場和線圈中點(diǎn)背景場的計(jì)算誤差對比Fig.11 Comparsion between solutions obtained with Gianzero and midpoint of transmitter-receiver spacing background fields in three-layer model with less conductive medium in the middle

圖11和圖12分別給出了用Gianzero幾何因子背景場與線圈中點(diǎn)背景場在模型1和模型2中的誤差比較.可以看到，Gianzero幾何因子背景場的計(jì)算誤差在低阻地層比線圈中點(diǎn)背景場稍大，在高阻地層和分界面處要明顯好于線圈中點(diǎn)背景場，最大誤差小于1%，而線圈中點(diǎn)背景場最大誤差為2.4%.雖然Gianzero幾何因子背景場在低阻地層誤差較大，但是其計(jì)算誤差變化平緩，不同位置下都保持在較低的水平，總體可以控制在1%以內(nèi).而目標(biāo)層背景場則在分界面和高阻地層有著非常大的誤差.

圖13給出在二層介質(zhì)模型中用Gianzero幾何因子背景場和發(fā)射線圈背景場的有限元計(jì)算結(jié)果與解析解的對比.上層介質(zhì)電導(dǎo)率為10S/m，下層介質(zhì)的電導(dǎo)率為0.001S/m.可以看到，在介質(zhì)電導(dǎo)率對比度比較大時(shí)，采用發(fā)射線圈背景場的有限元解在界面處誤差非常大，而用Gianzero幾何因子背景場的有限元解誤差很小.因此與傳統(tǒng)的背景場方法相比，這種方法在大電導(dǎo)率對比度下優(yōu)勢更為明顯.

利用圖14的軸對稱模型，圖15比較Gianzero幾何因子背景場與Badea提出(Badeaetal.,2001b)的余弦背景場的誤差.余弦背景場的背景電導(dǎo)率模型是由井眼和外部地層組成的同心圓柱地層，其計(jì)算得到的背景場是徑向分層地層的解析解(詳細(xì)的計(jì)算公式參見附錄，由于這種背景場需要計(jì)算余弦變換，所以又稱為余弦背景場).本文取模式匹配法(譚茂金等，2007；張雷等，2012)的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)值，模擬線圈系長度為1m的長源距.從圖15中可以看到，雖然Gianzero幾何因子背景場在圍巖處誤差相對較大，但在目標(biāo)層和分界面處優(yōu)于余弦背景場且總體誤差都較小(一般小于1%)，而余弦背景場在目標(biāo)層的誤差大于3%，因此在線圈系探測范圍內(nèi)存在縱向分層時(shí)，Gianzero幾何因子計(jì)算的背景場明顯好于余弦背景場.正如前面在分析徑向分層時(shí)所提到的，源距比較大時(shí)井眼的影響遠(yuǎn)不如外部地層的，當(dāng)線圈系在目標(biāo)層時(shí)，受到圍巖的顯著影響，此時(shí)考慮了這種影響的Gianzero幾何因子背景場獲得了更高的精度.而余弦背景場只考慮了井的影響卻沒有考慮圍巖的影響.在圍巖處，遠(yuǎn)離目標(biāo)層時(shí)由于余弦背景場相對于Gianzero幾何因子背景場更接近總場，因此精度更高.雖然在線圈系探測范圍內(nèi)不存在縱向分層時(shí)，余弦背景場計(jì)算得到的是精確解，但是采用基于Gianzero幾何因子背景場的有限元模擬結(jié)果對多種復(fù)雜地層環(huán)境(如砂泥巖薄互儲(chǔ)層)更加具有普適性.

圖12 低阻三層模型Gianzero背景場和線圈中點(diǎn)背景場的計(jì)算誤差對比Fig.12 Comparison between solutions obtained with Gianzero and midpoint of transmitter-receiver spacing background fields in three-layer model with more conductive medium in the middle

圖13 Gianzero背景場與發(fā)射線圈背景場計(jì)算的有限元結(jié)果對比Fig.13 Comparison solutions obtained with Gianzeroand transmitter background fields

圖14 軸對稱井眼模型圖Fig.14 Axisymmetric model with borehole

Gianzero幾何因子背景場相對于余弦背景場的優(yōu)勢不僅僅在于計(jì)算的精度，其計(jì)算速度也得到較大的提升.計(jì)算余弦背景場時(shí)無論是采用801點(diǎn)的快速漢克爾函數(shù)變換(Anderson,1983)還是序列外推積分方法(QuadratureIntegrationwithSequenceExtrapolation：QWE)(Key,2012)都需要計(jì)算大量的貝塞爾函數(shù)，而影響計(jì)算效率.表1給出了有限元程序分別采用余弦和Gianzero背景場在單個(gè)儀器記錄點(diǎn)所花費(fèi)的時(shí)間.程序采用Gianzero背景場的計(jì)算效率要比用余弦背景場高4倍.使用的計(jì)算機(jī)配置為4核3.1GHz的CPU，內(nèi)存12G.例如，按照表1中單個(gè)記錄點(diǎn)所需要耗費(fèi)的時(shí)間，模擬一段厚度為200m的非均勻模型，深度采樣間隔為0.05m，則總的計(jì)算點(diǎn)數(shù)為4000.采用余弦背景場比采用Gianzero背景場約多花費(fèi)10.5 h.Gianzero方法由于其解可以被認(rèn)為是偶極子源在均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的場，有著簡單的解析表達(dá)式而不需要計(jì)算漢克爾函數(shù)變換，因此其所花費(fèi)的時(shí)間相對應(yīng)用快速漢克爾函數(shù)變換所用的時(shí)間完全可以忽略不計(jì).一般情況下，這種假設(shè)在電磁勘探問題中可以滿足精度的要求.

圖15 Gianzero背景場和余弦背景場計(jì)算的有限元結(jié)果對比Fig.15 Comparison solutions obtained with Gianzero and cosine background fields

四面體數(shù)自由度總時(shí)間網(wǎng)格剖分求解和后處理剛度矩陣集成(含背景場計(jì)算)余弦背景場30170236056212．712s0．822s2．25s9．642sGianzero背景場3017023605623．262s0．822s2．37s0．203s

4 結(jié)論

背景電導(dǎo)率的大小對電磁場計(jì)算精度有較大的影響，背景電導(dǎo)率選擇不當(dāng)會(huì)使計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重偏離真實(shí)值，如選擇背景電導(dǎo)率遠(yuǎn)大于介質(zhì)電導(dǎo)率時(shí)，計(jì)算誤差會(huì)急劇增加.對于非均勻復(fù)雜的計(jì)算模型，如砂泥巖薄互層，選擇固定背景電導(dǎo)率難以保證源-接收器移動(dòng)到不同地層，尤其當(dāng)源-接收器之間存在多個(gè)薄層時(shí)的精度.

理想的背景場選擇要同時(shí)考慮源和接收器附近的散射場分布，這樣可以避免單純地考慮源附近散射場梯度減小而可能導(dǎo)致的接收器附近散射場的梯度增大.文中徑向分層和水平分層的例子驗(yàn)證了這種考慮的重要性，由此提出了基于Gianzero幾何因子的背景場電導(dǎo)率計(jì)算方法.與以往的階躍式的背景場不同，這種幾何因子背景場更加平滑.它同時(shí)考慮了源和接收器的間距、井眼和圍巖等影響因素.盡管在一些高導(dǎo)地層，Gianzero計(jì)算的的背景場的計(jì)算誤差較其他方法大，但維持在很低的水平.當(dāng)源和接收器處于分界面附近時(shí)，這種背景場更加接近于總場，避免了介質(zhì)分界面處出現(xiàn)較大的誤差，因此它的計(jì)算誤差曲線更加平緩.數(shù)值模擬的例子證明了這種方法的可靠性和優(yōu)越性.本文所提出的背景場方法可以有效地提高感應(yīng)測井儀器正演模擬的精度和速度，尤其適用于砂泥巖薄互層等復(fù)雜的多層介質(zhì)模型，進(jìn)而為將來的快速反演提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).針對于這種方法在水平井，大斜度井和傾斜地層中的應(yīng)用效果的精度評估有待于進(jìn)一步驗(yàn)證.

附錄A 有限尺寸載流線圈源在井外無限厚地層中電場強(qiáng)度公式推導(dǎo)

井眼半徑b，泥漿電導(dǎo)率σ0，外部地層電導(dǎo)率σ1，(ρ，z)是考察點(diǎn)坐標(biāo)，電流強(qiáng)度等于I，載流線圈半徑為a.

(A1)

a≤ρ≤b,

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(本文編輯 胡素芳)

Research on selection method of background field for finite element simulation of induction logging

WANG Jian1,2, CHEN Hao1, WANG Xiu-Ming1, ZHANG Lei1

1StateKeyLaboratoryofAcoustics,InstituteofAcoustics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100190,China2UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China

With the development of petroleum industry, accurate and fast numerical simulation methods are needed to achieve reliable inversion of the measured response of induction logging in complex media. Thereinto,the choice of the background field plays an important role in the forward modeling of electromagnetic.Thus, the objectives are to quantitatively compare the effects of different background fields on the calculation accuracy.The finite element method is employed to carry out simulation of induction logging. In order to eliminate the singularities, total field is usually decomposed into two parts, background field and scattered field. Analytical method is generally available for the former one, which reflects the drastic change of the field. While for the latter one, due to its character of gentle change, finite element method with sparse grid would be enough. We performed comparisons between results obtained from different background conductivities in several models to find out how background field affects the numerical accuracy.Then, we propose a new method in which use the apparent conductivity calculated by Gianzero geometry factor as the background conductivity.The main results are as following: (1) in the homogeneous media, error becomes smaller as the background conductivity matches the media′s. And taking smaller background conductivity usually gains better results; (2) in the radial layered medium, when the mud is fresh and using short spacing, mud and formation are both used as background field in the calculation. And results turn out the error of former is smaller than the latter′s. When the mud is salty, similar results are obtained except the scaleof error.(3) in the three layered model, we choose formation conductivity near the source and near the midpoint of transmitter-receiver as background conductivity respectively. The results reveal that error greatly increases without taking scattering field gradient near the source and receiver into consideration simultaneously. (4) we compare the results from Gianzero geometry factor background and cosine background, and the test shows that Gianzero background field has higher precision with long spacing or thin formation.Moreover, Gianzero method is more efficiency due to its concise expression and no need to calculate hankel function transform.In the simulation of induction logging, background field exerts a significant influence upon the calculation accuracy, and the results can deviate markedly due to the improper conductivity value. For the complex inhomogeneous earth model, such as sand-shale interbedded layers, constant background conductivity cannot ensure the accuracy when the transmitter and receiver are not in the same layer, especially there are thin layers.Besides, ideal background field should take the distribution of field near the transmitter and receiver into account simultaneously. Only in this way can the increase of gradient of scattered field near the receiver be avoided, which is caused by only considering the decrease of gradient of field near the transmitter.The main differences between Gianzero geometry factor background and other step type background are that the Gianzero geometry factor background is more smooth and gentle, and can take many factors into account, such as surrounding rock, borehole, transmitter-receiver interval. When the tool intersects bed boundary ,the results of Gianzero background field are more accurate.

Numerical simulation； Induction logging； Finite element method； Background field； Geometrical factor

10.6038/cjg20150630.

國家重大科研裝備研制項(xiàng)目"深部資源探測核心裝備研發(fā)"(ZDYZ2012-1-07)資助.

王健，男，1987年生，博士生，主要從事電磁波場數(shù)值模擬研究. E-mail: wangjianshinian@163.com

10.6038/cjg20150630

P631

2014-06-04，2014-12-23收修定稿

王健, 陳浩, 王秀明等. 2015. 有限元感應(yīng)測井模擬的背景場選擇方法研究.地球物理學(xué)報(bào)，58(6):2177-2187,

Wang J, Chen J, Wang X M, et al. 2015. Research on selection method of background field for finite element simulation of induction logging.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(6):2177-2187,doi:10.6038/cjg20150630.