熱驅(qū)動形狀記憶聚合物三維力學(xué)本構(gòu)模型

章巧芳,林文武，張　欽,劉云峰,張鵬園

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

熱驅(qū)動形狀記憶聚合物三維力學(xué)本構(gòu)模型

章巧芳,林文武，張欽,劉云峰,張鵬園

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

摘要：假設(shè)形狀記憶聚合物(SMP)為各向同性材料，其體積變形是彈性的，形狀變化的流變規(guī)律滿足Tobushi建立的一維本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用固體力學(xué)和熱粘彈性理論建立了SMP三維本構(gòu)模型，使其不僅能描述簡單應(yīng)力狀態(tài)下的熱力學(xué)行為，也能描述復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的熱力學(xué)行為.然后基于ABAQUS的二次開發(fā)平臺編寫了可供ABAQUS調(diào)用的UMAT子程序，對SMP試樣實(shí)現(xiàn)形狀記憶效應(yīng)的熱力學(xué)過程數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結(jié)果與Tobushi等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好,表明建立的SMP三維本構(gòu)模型能夠有效的描述SMP的熱力學(xué)行為，可為SMP的工程應(yīng)用提供理論參考.

關(guān)鍵詞：形狀記憶聚合物;熱驅(qū)動;三維本構(gòu)模型;形狀記憶效應(yīng)

中圖分類號：O343.2；O631.2+1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-4303(2015)01-0043-04

3D constitutive model of temperature-induced shape memory polymers

ZHANG Qiaofang, LIN Wenwu, ZHANG Qin, LIU Yunfeng, ZHANG Pengyuan

(Key Laboratory of Special Purpose Equipment and Advanced Manufacturing Technology, Ministry of

Education, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:Assuming the shape memory polymers is an isotropic material, by the application of solid mechanics and thermal viscoelasticity theory, a 3D constitutive equation of SMP is developed based on tobushi’s 1D constitutive equation, so it can not only describe the thermo-mechanical behavior under simple stress state, but also describe the thermo-mechanical behavior under complex stress state. A UMAT subroutine is programmed with fortran based on ABAQUS secondary development platform, then the SMP thermo-mechanical behavior is numerically simulated by ABAQUS. Numerical simulation results coincide with Tobushi’s experimental results, which shows the thermo-mechanical behavior of SMP and it’s shape memory effect can be described by the three dimensional constitutive model of SMP.

Keywords:shape memory polymer; temperature-induced; three-dimensional constitutive model; shape memory effect

近年來，國內(nèi)外的學(xué)者對形狀記憶聚合物(SMP)的研究越來越重視，部分學(xué)者對其熱力學(xué)本構(gòu)模型進(jìn)行研究.目前，SMP的熱力學(xué)本構(gòu)模型大致分為兩類：一類是基于粘彈性理論基礎(chǔ)上發(fā)展的模型，如Tobushi等[1-2]基于經(jīng)典粘彈性理論的基礎(chǔ)上建立了形狀記憶聚氨酯的一維線性和非線性本構(gòu)模型，能夠有效地描述SMP簡單應(yīng)力狀態(tài)下的熱力學(xué)行為.2010年，Heuchel等[3]采用基于粘彈性理論的Maxwell-weichert模型能有效的預(yù)測SMP在不同溫度下的自由回復(fù)與松弛行為.另一類是基于相變概念的細(xì)觀力學(xué)行為，認(rèn)為形狀記憶效應(yīng)是在溫度和應(yīng)力共同作用下，高溫活躍相和低溫凍結(jié)相兩者之間相互轉(zhuǎn)化的結(jié)果.如2006年，liu等[4]基于SMP為兩相轉(zhuǎn)變微觀結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，引入一個與溫度相關(guān)的凍結(jié)系數(shù)，建立了SMP一維熱力學(xué)本構(gòu)模型，不僅能夠合理解釋形狀記憶過程的形變儲存與釋放機(jī)理，而且能有效地描述SMP的熱力學(xué)行為；隨后，chen等[5-6]和李鄭發(fā)等[7]基于liu等[4]的基礎(chǔ)上建立了SMP本構(gòu)模型，對SMP熱力學(xué)行為的理論預(yù)測結(jié)果比liu[4]的模型更加準(zhǔn)確，但是基于相變概念的細(xì)觀力學(xué)本構(gòu)模型卻不能描述SMP的蠕變與松弛行為，故限制了該模型的應(yīng)用.

目前，現(xiàn)有的大部分SMP本構(gòu)模型都是基于單軸拉伸實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立的一維本構(gòu)模型，僅局限于描述簡單應(yīng)力條件下的熱力學(xué)行為.為了描述SMP復(fù)雜應(yīng)力條件下的熱力學(xué)行為，周博等[8]采用線彈性熱力學(xué)方法將Tobushi等[1]的一維模型擴(kuò)展到三維，在三維本構(gòu)模型擴(kuò)展過程中做了大量簡化.隨后，周博[9]與shi等[10]假設(shè)SMP變形產(chǎn)生的總應(yīng)變由熱應(yīng)變、彈性應(yīng)變和粘性應(yīng)變組成，建立了SMP的三維本構(gòu)模型.筆者假設(shè)SMP為各向同性材料，其體積變形是彈性的，形狀變化的流變規(guī)律滿足Tobushi建立的一維本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上建立了SMP三維本構(gòu)模型，能有效的描述SMP的熱力學(xué)行為.

1SMP熱力學(xué)本構(gòu)方程

1.1SMP一維本構(gòu)方程

1997年Tobushi等[1,11]基于經(jīng)典粘彈性理論的基礎(chǔ)上，在彈簧和黏壺的組合模型中引入了一個滑移單元，并考慮了熱膨脹效應(yīng),建立了形狀記憶聚氨酯的一維線性本構(gòu)模型.滑移單元是該本構(gòu)模型的關(guān)鍵，通過引入這個滑移單元來控制形狀記憶過程中的應(yīng)變儲存與釋放，從而實(shí)現(xiàn)SMP的形狀記憶效應(yīng)，其一維本構(gòu)方程分別為

(1)

(2)

(3)

式中：E為彈性模量；λ為延遲時間；μ為粘度；εL為殘余應(yīng)變；C為比例系數(shù)；εs為殘余蠕變應(yīng)變；α為熱膨脹系數(shù).該本構(gòu)模型是一維的，僅能描述簡單應(yīng)力狀態(tài)下形狀記憶聚合物的熱力學(xué)行為.

1.2SMP三維本構(gòu)方程

為了研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的形狀記憶聚合物熱力學(xué)行為，需要建立三維的熱力學(xué)本構(gòu)方程.對于彈塑性材料，在塑性范圍內(nèi)的本構(gòu)關(guān)系為應(yīng)變球張量與應(yīng)力球張量成正比.而應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量間的關(guān)系要比彈性變形時復(fù)雜.按照上面處理彈性及塑性條件下的本構(gòu)關(guān)系的考慮，認(rèn)為應(yīng)變球張量εkk只與應(yīng)力球張量σkk有關(guān)，而應(yīng)變偏量eij只與應(yīng)力偏量Sij有關(guān).

對于一般的粘彈性材料，本構(gòu)方程為

(4)

式中：P′,Q′,P″,Q″分別為微分算子，即

(5)

σkk=3Kεkk

(6)

式中3K為體積彈性模量，由于SMP材料的力學(xué)性能是隨溫度變化的，因此體積彈性模量是溫度相關(guān)的物理量，且滿足

3K(T)=E(T)/(1-2v)

(7)

其中v為一個SMP材料的泊松比，取v=0.2.

P″和Q″已經(jīng)確定，只要確定P′和Q′就完全決定了三維應(yīng)力狀態(tài)下流變性質(zhì)的本構(gòu)方程.假設(shè)SMP形狀變化的流變規(guī)律滿足Tobushi建立的一維本構(gòu)模型，即應(yīng)變偏量eij與應(yīng)力偏量Sij之間滿足方程

(8)

其中

λeff(T,C)=λ(T)[1-C(T)]-1

(9)

由

(10)

整理得到SMP三維熱力學(xué)本構(gòu)模型，即

(11)

(12)

(13)

2材料參數(shù)方程

SMP的力學(xué)性質(zhì)在玻璃化轉(zhuǎn)變溫度附近發(fā)生顯著變化.Tobushi等[1]將SMP的材料參數(shù)描述為

(14)

式(1，2)中E，λ，μ，εL和C都是溫度相關(guān)的物理量，且上述材料參數(shù)都滿足式(14)，只需將相應(yīng)的材料參數(shù)代入式(14)中即可.式(14)中，TL=Tg-15 K，TH=Tg+15 K.上述材料參數(shù)經(jīng)過Tobushi等[1]的實(shí)驗(yàn)測得值如表1，2所示.

表1　Tg溫度下的材料參數(shù)值

表2　材料參數(shù)關(guān)于溫度的方程中指數(shù)函數(shù)冪系數(shù)值

3SMP三維本構(gòu)模型驗(yàn)證

用差分法將上述微分形式的三維本構(gòu)方程改成增量式方程，基于ABAQUS二次開發(fā)平臺編寫可供ABAQUS調(diào)用的UMAT子程序.求解過程中，UMAT程序通過與主程序之間不斷的數(shù)據(jù)傳遞，不斷更新蠕變應(yīng)變、蠕變應(yīng)變率、應(yīng)力等變量，通過判斷蠕變應(yīng)變的大小、蠕變應(yīng)變率的正負(fù)來選擇相應(yīng)的應(yīng)力更新算法，這樣就可以利用ABAQUS分析形狀記憶聚合物的熱力學(xué)行為.在ABAQUS中建立SMP拉伸試樣三維有限元模型，其幾何模型為等截面桿，尺寸為10 mm×10 mm×100 mm，單元類型采用C3D8單元.邊界條件為一端固定，另一端施加隨時間變化的位移載荷，并在試樣上施加溫度載荷.具體過程為在ABAQUS中建立四個分析步，分別來模擬形狀記憶聚合物高溫加載、降溫冷卻、低溫卸載、升溫回復(fù)四個階段.整個熱力學(xué)循環(huán)過程的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線如圖2所示.1) 在溫度為348 K條件下，在端面的一端施加隨時間變化的軸向位移載荷，將試樣拉伸到應(yīng)變量εm，應(yīng)變速率為每分鐘加載5%；2) 維持應(yīng)變量εm不變，以4 K/min的溫度變化率將溫度從348 K降至308 K，使SMP降溫冷卻固定形狀.在冷卻的初始階段，SMP試樣溫度較高，存在明顯的應(yīng)力松弛現(xiàn)象，故試樣的應(yīng)力有一定程度的衰減.隨著溫度的降低，試樣內(nèi)部的應(yīng)力又開始逐漸增加，其原因在于SMP從橡膠態(tài)進(jìn)入玻璃態(tài)，材料的彈性模量急劇增加，從而引起內(nèi)部應(yīng)力增大；3) 在溫度為308 K條件下卸載,SMP的殘余應(yīng)變?yōu)棣舥.卸載之后，應(yīng)變有一定程度的減小，是由于SMP的彈性收縮；4) 在一端自由，另一端固定約束的狀態(tài)下，以4 K/min的溫度變化率將溫度從308 K升至348 K，試樣逐漸恢復(fù)至初始狀態(tài).ABAQUS的數(shù)值模擬結(jié)果與Tobushi單軸拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的偏差，原因可能在于建立SMP的三維本構(gòu)模型時體積模量K取值、材料參數(shù)與實(shí)際存在一定的誤差.

如圖3所示，在形狀回復(fù)過程中，隨著溫度的逐漸升高，試樣完成形狀回復(fù)，并且溫度低于玻璃化轉(zhuǎn)變溫度的狀態(tài)下，SMP沒有產(chǎn)生明顯的形狀回復(fù)，而在玻璃化轉(zhuǎn)變溫度328 K附近，SMP形狀回復(fù)迅速，表現(xiàn)出顯著的形狀記憶效應(yīng).ABAQUS分析結(jié)果與Tobushi的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的偏差，原因可能在于Tobushi的實(shí)驗(yàn)中試樣是放在溫度控制箱中，通過控制溫度箱的溫度從而實(shí)現(xiàn)對試樣溫度的控制，筆者則是直接將溫度載荷施加在SMP試樣上,不考慮傳熱問題.

(1)—高溫加載；(2)—降溫冷卻；(3)—低溫卸載；(4)—升溫回復(fù)圖2　熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中的真實(shí)應(yīng)力與真實(shí)應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.2　Relationship between stress and true strain in the thermo-mechanical test

(1)—高溫加載；(2)—降溫冷卻；(3)—低溫卸載；(4)—升溫回復(fù)圖3　熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中的真實(shí)應(yīng)變與溫度的關(guān)系曲線Fig.3　Relationship between true strain and temperature in the thermo-mechanical test

4結(jié)論

假設(shè)形狀記憶聚合物為各向同性材料，SMP的體積變形是彈性的，形狀變形的流變性質(zhì)滿足Tobushi建立的一維本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，建立了熱驅(qū)動形狀記憶聚合物的三維力學(xué)本構(gòu)模型，基于ABAQUS的二次開發(fā)平臺編寫了可供ABAQUS調(diào)用的UMAT子程序，并對SMP試樣實(shí)現(xiàn)形狀記憶效應(yīng)的熱力學(xué)過程即高溫加載、降溫冷卻、低溫卸載和形狀回復(fù)過程進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結(jié)果與Tobushi等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的良好，說明筆者建立的三維熱力學(xué)本構(gòu)模型能夠有效的描述SMP在小應(yīng)變條件下的熱力學(xué)行為，可為SMP在實(shí)際工程應(yīng)用中提供理論參考.

參考文獻(xiàn)：

[1]TOBUSHI H， HASHIMOTO T， HAYASHI S， et al． Thermomechanical constitutive modeling in shape memory polymer of polyurethane series[J]． Intelligent Material Systems and Structures，1997，8：711-718．

[2]TOBUSHI H， OKUMURA K， HAYASHI S， et al． Thermomechanical constitutive model of shape memory polymer[J]． Mechanics of Materials，2001，33：545-554．

[3]HEUCHEL M， CUI J， KRATZ K， et al． Relaxation based modeling of tunable shape recovery kinetics observed under isothermal conditions for amorphous shape-memory polymers[J]． Polymer，2010，51(26)：6212-6218．

[4]LIU Yiping， KEN G， MARTIN L D， et al． Thermomechanics of shape memory polymers： uniaxial experiments and constitutive modeling[J]． International Journal of Plasticity，2006，22：279-313．

[5]CHEN Yichao， DIMITRIS C， LAGOUDAS A． Constitutive theory for shape memory polymers． part I large deformations[J]． Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2008，56(5)：1752-1765．

[6]CHEN Yichao， DIMITRIS C， LAGOUDAS A． Constitutive theory for shape memory polymers． Part II a linearized model for small deformations[J]． Journal of the Mechanics and Physics of Solids,2008,56(5):1766-1778．

[7]李鄭發(fā)，王正道，熊志遠(yuǎn)，等．形狀記憶聚合物熱力學(xué)本構(gòu)方程[J].高分子學(xué)報(bào)，2009(1)：23-27.

[8]周博，劉彥菊，冷勁松．苯乙烯基形狀記憶聚合物熱力學(xué)行為的有限元分析[J].高分子學(xué)報(bào)，2009(6)：525-529．

[9]周博，劉彥菊，冷勁松．形狀記憶聚合物的宏觀力學(xué)本構(gòu)模型[J]．中國科學(xué)：物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)，2010，40(7)：896-903．

[10]SHI G H， YANG Q S， HE X Q， et al． A three-dimensional constitutive equation and finite element method Implementation for shape memory polymers[J]． Computer Modeling in Engineering & Sciences，2013，90(5)：339-358．

[11]BHATTACHARYYA A， TOBUSHI H． Analysis of the isothermal mechanical response of a shape memory polymer rheological model[J]. Polymer Engineering and Science，2000，40(12)：2498-2510．

[12]尹祥礎(chǔ)．固體力學(xué)[M].1版.北京：地震出版社，2011.

(責(zé)任編輯：劉巖)

作者簡介：章巧芳(1966—)，女，浙江嵊州人，副教授，研究方向?yàn)镃AE技術(shù)的工程應(yīng)用研究，E-mail:zg0609@zjut.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375453)

收稿日期：2014-09-16