李丹丹 劉福貴 李永建 趙志剛 楊慶新,

（1.河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場(chǎng)與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300130 2.天津工業(yè)大學(xué)天津市電工電能新技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300387）

1 引言

對(duì)鐵心材料磁特性進(jìn)行精確建模是提高電機(jī)工作性能和運(yùn)行效率并降低能耗的重要途徑，也是國(guó)際電工領(lǐng)域的前沿和熱點(diǎn)問(wèn)題，但由于問(wèn)題本身的復(fù)雜性，這一領(lǐng)域一直處于發(fā)展階段。到目前為止，各國(guó)學(xué)者已經(jīng)提出了多種模型用來(lái)模擬材料的磁滯現(xiàn)象，主要提出了兩類(lèi)磁滯模型，一類(lèi)是純數(shù)學(xué)模型（例如Preisach 模型[1]和Hodgdon 模型[2]），另一類(lèi)是物理模型（例如Stoner-Wohlfarth（S-W）模型[3]和Jiles-Atherton（J-A）模型[4]）。由于電磁裝置運(yùn)行中磁心特性多呈矢量磁特性，而經(jīng)典基礎(chǔ)模型大都是標(biāo)量模型，不能精確模擬磁材料在工程應(yīng)用中的磁特性，為此學(xué)者們使用各種方法把經(jīng)典標(biāo)量模型擴(kuò)展到矢量范疇，如Mayergoyz 模型[5]和Coupled Hysterons 模型[6]等。經(jīng)典S-W 模型適用于橢球形、單疇、單軸磁性粒子矢量磁特性模擬，在這些限定條件下可描述多種磁特性。Mayergoyz 模型用各個(gè)方向上磁化強(qiáng)度的連續(xù)分量的矢量和計(jì)算總磁化強(qiáng)度，該模型比S-W 模型更具普遍性，但不能精確模擬旋轉(zhuǎn)外加場(chǎng)下的磁特性。Coupled Hysterons 模型對(duì)于具有橢球形粒子的磁材料能準(zhǔn)確描述其飽和特性和損耗特性，但在建模時(shí)需要根據(jù)磁化過(guò)程進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和定位修正。

近十幾年結(jié)合兩種或多種經(jīng)典模型的混合磁滯模型逐漸成為磁滯模型的發(fā)展趨勢(shì)。從20 世紀(jì)90 年代開(kāi)始，學(xué)者們就試圖用標(biāo)量Preisach 模型與矢量S-W 模型相結(jié)合的方法對(duì)材料磁特性進(jìn)行模擬[7,8]。2006 年Della Torre 等人提出了一般矢量磁滯模型（后被稱(chēng)為DPC 模型）[9,10]，后續(xù)又提出了Preisach-Stoner- Wohlfarth（PSW）模型[11]，混合磁滯模型的發(fā)展步入系統(tǒng)化階段。PSW 模型使用外加磁場(chǎng)與粒子間的相互影響場(chǎng)的矢量和定義了一個(gè)網(wǎng)絡(luò)場(chǎng)，利用網(wǎng)絡(luò)場(chǎng)確定磁化方向和磁化強(qiáng)度幅值[12-15]；而DPC 模型的磁化方向和磁化強(qiáng)度幅值是分別由S-W 模型和Preisach 模型確定的[16-20]。這兩種模型都是通過(guò)結(jié)合Preisach 模型和S-W 模型進(jìn)行建模的，統(tǒng)稱(chēng)為混合矢量磁滯模型（Hybrid Vector Hysteresis Model，HVHM），拓寬了經(jīng)典模型的適用范圍，結(jié)合了二者的優(yōu)點(diǎn)，更精確的模擬磁材料矢量磁滯特性。

HVHM 的建?；A(chǔ)是定義矢量磁滯算子，模型將磁滯算子定義為H 面內(nèi)的一個(gè)由封閉的臨界面包圍的區(qū)域，每個(gè)磁滯算子有一個(gè)特定的臨界面。不同的材料具有臨界面的形狀不同，二維情況下，各向異性材料的臨界面為橢圓形（PSW 模型），長(zhǎng)軸為難磁化軸，短軸為易軸；各向同性材料的臨界面為圓形（RVM 模型[13]）。每個(gè)磁滯算子正則化處理后的磁化強(qiáng)度具有單位幅值，當(dāng)對(duì)其施加外場(chǎng)時(shí)，磁化強(qiáng)度大小不變，方向隨外場(chǎng)變化發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)HVHM 的建模思想，從能量角度出發(fā)，利用S-W 建模原理分析了磁性粒子處于磁化穩(wěn)定狀態(tài)的條件，借助于磁性粒子產(chǎn)生的矢量場(chǎng)的等勢(shì)線方程，分別給出了各向異性和各向同性材料磁滯算子的臨界線方程，將混合矢量磁滯模型中的磁滯算子定義為由等勢(shì)線包圍的封閉區(qū)域，具有單位磁化強(qiáng)度，磁化方向可以隨外場(chǎng)方向變化發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。假定外場(chǎng)在磁滯算子臨界線內(nèi)部時(shí)對(duì)磁化方向沒(méi)有影響，當(dāng)外場(chǎng)在臨界面內(nèi)部時(shí)，磁化方向與磁滯算子原磁化方向相同，直到外場(chǎng)穿出臨界面，磁化方向發(fā)生巴克豪森躍變，轉(zhuǎn)到由外場(chǎng)決定的磁化方向上，總磁化強(qiáng)度等于所有磁滯算子磁化強(qiáng)度的矢量和。

2 磁性粒子及等勢(shì)線

考慮由單疇單軸各向異性的磁性材料組成的橢球形磁性粒子，假定粒子沿各向異性軸磁化到飽和狀態(tài)，可以用磁化強(qiáng)度M 來(lái)描述其磁化狀態(tài)，也可以用單位矢量m=M/MS描述。粒子所具有的特性由單軸各向異性能和外場(chǎng)能-μ0M·Ha控制，定義各向異性軸為易軸（x 軸為易軸），零外場(chǎng)時(shí)，磁化強(qiáng)度與易軸同向，施加外場(chǎng)后，磁化強(qiáng)度由易軸方向向外場(chǎng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)。磁化強(qiáng)度、外場(chǎng)和易軸的關(guān)系如圖1 所示。

圖1 外場(chǎng)Ha、磁化強(qiáng)度M 與易軸間的關(guān)系 Fig.1 The relations between applied field Ha ,magnetization vector M and easy axis

磁性粒子的總自由能等于單軸各向異性能加外場(chǎng)能[3]，表達(dá)式如式（1）所示。

式中，V 為磁性粒子的體積；K 為粒子各向異性常數(shù)；θ 和θH分別為磁化強(qiáng)度M、外場(chǎng)Ha與易軸間的夾角。該方程具有一個(gè)狀態(tài)變量θ，兩個(gè)控制變量θH和Ha。

為了方便計(jì)算，給出簡(jiǎn)化方程

式中，e0為簡(jiǎn)化后的總能量。

使用式（2）對(duì)式（1）進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，并用ha沿坐標(biāo)軸的兩個(gè)分量hx和hy表示外加磁場(chǎng)，式（1）可以改寫(xiě)為式（3）。

磁化穩(wěn)定狀態(tài)發(fā)生在自由能取最小值的時(shí)候，即能量方程滿(mǎn)足能量取最小值條件，計(jì)算式（3）的一階導(dǎo)數(shù)并強(qiáng)加條件?e0/?θ =0 得能量方程取最小值的條件如式（4）所示。

結(jié)合式（3）和式（4），分別用hx和hy表示外場(chǎng)代入能量方程，由de0=0 得單個(gè)磁性粒子產(chǎn)生的矢量場(chǎng)的等勢(shì)線方程為

式中，e 為等勢(shì)線上的能量的固定值。

由于沿等勢(shì)線的能量變化量恒等于零，當(dāng)外場(chǎng)沿等勢(shì)線變化 dha時(shí)相對(duì)應(yīng)粒子自由能的變化量deeq= -μ0m·dha= 0，所以當(dāng)外場(chǎng)沿等勢(shì)線變化時(shí)，粒子的磁化方向垂直于等勢(shì)線。磁力線是外場(chǎng)平面內(nèi)所有參考點(diǎn)上磁化強(qiáng)度的切線，因此磁力線垂直于等勢(shì)面。

圖2 S-W 模型星形判定法則示意圖（橢圓型曲線為 等勢(shì)線，其中實(shí)曲線e = -0.5，虛曲線e = 1） Fig.2 The diagram for asteroid rule of the S-W model (The elliptical curve is the equipotential curves,the solid curve:e = -0.5,the dotted curve:e = 1)

圖2 中的星形線是粒子能量方程取最大值或最小值的臨界曲線，S-W 模型星形判定法則表明[3]，H 面內(nèi)某點(diǎn)的磁化方向?yàn)樾切尉€的切線方向，然后根據(jù)該點(diǎn)與星形線的位置關(guān)系確定磁化穩(wěn)定狀態(tài)下的磁化方向。由星形判定法則和磁力線垂直于等勢(shì)面（如圖2 所示）可得，e＞1 時(shí)等勢(shì)線上的點(diǎn)都處于亞穩(wěn)定狀態(tài)；-0.5＜e＜1 時(shí)與橫軸相交的等勢(shì)線上的點(diǎn)都處于穩(wěn)定狀態(tài)，與縱軸相交的等勢(shì)線上的點(diǎn)都處于亞穩(wěn)定狀態(tài)；e＜-0.5 時(shí)等勢(shì)線上的點(diǎn)都處于穩(wěn)定狀態(tài)。

3 磁滯算子定義

在HVHM 中磁滯算子的定義是非常重要的，對(duì)各向異性材料，每條主軸的磁特性均不同，只有一條主軸為易軸。本文選用處于平衡狀態(tài)的等勢(shì)線方程，即式（5）中的參數(shù)e 取值范圍為e＜-0.5，作為磁滯算子臨界面方程，每個(gè)磁滯算子都是由一個(gè)特定的等勢(shì)線包圍的區(qū)域，具有單位磁化強(qiáng)度，臨界面上每一點(diǎn)上的磁化方向沿該點(diǎn)的外法線方向。根據(jù)混合矢量磁滯模型建模原理，假定當(dāng)外場(chǎng)進(jìn)入臨界面時(shí)，磁化方向被固定在穿入點(diǎn)時(shí)的磁化方向上，直到外場(chǎng)穿出臨界面時(shí)，磁化方向發(fā)生巴克豪森躍變，突變到臨界面的法線方向上。

圖3 給出了不同θH下的磁滯算子在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的磁滯回線Mx-Hx和My-Hy。外場(chǎng)取不同方向時(shí)，算子磁化強(qiáng)度在坐標(biāo)軸上的兩個(gè)分量的開(kāi)關(guān)閾值不同；外場(chǎng)與短軸夾角越小，磁滯損耗越小，越容易磁化；外場(chǎng)與長(zhǎng)軸夾角越小，磁滯損耗越大，越難被磁化，即短軸為磁滯算子的易磁化軸，長(zhǎng)軸為難磁化軸。選用等勢(shì)線方程作為各向異性材料的磁滯算子臨界面方程。

圖3 不同θH 下磁滯算子在x-和y-軸方向上的磁滯回線 Fig.3 Hysteresis loops of x- and y-component of magnetization for alternate magnetizations with different θH

對(duì)于各向同性材料，不存在各向異性能，粒子性能由外場(chǎng)能控制，表示為

粒子產(chǎn)生的等勢(shì)線方程為

等勢(shì)線是半徑為-e 的圓形，用等勢(shì)線方程定義各向同性材料磁滯算子臨界面方程，磁滯算子是由一個(gè)個(gè)半徑不等的圓形包圍的圓形區(qū)域，當(dāng)外場(chǎng)沿等勢(shì)線變化時(shí)，粒子的磁化方向垂直于臨界面，臨界面是圓形的，磁化方向沿從圓心指向參考點(diǎn)的徑向方向，和RVM 模型相同[13]。

4 磁化過(guò)程分析

4.1 交變磁化

對(duì)磁滯算子施加交變磁化場(chǎng)，計(jì)算其磁化過(guò)程，這里只給出了各向異性材料磁滯算子的磁化過(guò)程。如圖4 所示，當(dāng)外加磁場(chǎng)沿圖中所給磁化路徑A-B-A變化時(shí)，磁滯算子被交變磁化，磁化強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的兩個(gè)分量與外場(chǎng)兩個(gè)分量之間的關(guān)系曲線如圖5所示?？梢钥吹?，當(dāng)外場(chǎng)穿入臨界面后，磁化強(qiáng)度方向保持不變，直到外場(chǎng)穿出臨界面，磁化強(qiáng)度方向發(fā)生突變，轉(zhuǎn)到穿出點(diǎn)的法線方向上。單個(gè)磁性粒子的飽和磁化矢量m 的絕對(duì)值為1。

圖4 單個(gè)磁滯算子及交變磁化路徑A-B-A Fig.4 A hysteron with a magnetic path A-B-A

圖5 外場(chǎng)沿A-B-A 變化時(shí)磁滯算子的磁化回線 Fig.5 The corresponding Hysteresis loop

為了使模型更具一般性，考慮多個(gè)相互影響磁滯算子，如圖6 所示，給出了三個(gè)考慮了相互影響場(chǎng)影響的磁滯算子和兩個(gè)不同方向的交變磁化路徑。考慮粒子間相互影響場(chǎng)時(shí)，粒子所面臨的總磁場(chǎng)等于外場(chǎng)與影響場(chǎng)的矢量和，可以表示為

圖6 三個(gè)磁滯算子及兩個(gè)不同的交變磁化路徑 Fig.6 Three hysterons with two different magnetic paths

為了方便計(jì)算，將磁滯算子中心從原點(diǎn)做一個(gè)矢量位移，移到（HIx,HIy）處，這樣臨界面方程和不考慮影響場(chǎng)的相同，只是中心位置發(fā)生了變動(dòng)，如圖6 所示?？偞呕瘡?qiáng)度沿坐標(biāo)軸的分量分別等于所有磁滯算子的磁化強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸分量的矢量和。當(dāng)外加磁場(chǎng)沿圖 6 所示的磁化路徑 A1-B1-A1與A2-B2-A2變化時(shí)，磁化強(qiáng)度分量與外場(chǎng)分量之間的關(guān)系曲線如圖7 與圖8 所示。由圖7、圖8 可以看到，外場(chǎng)與磁滯算子相交時(shí)發(fā)生巴克豪森躍變，產(chǎn)生磁滯損耗。

圖7 沿A1-B1-A1 的磁化回線 Fig.7 The magnetic loops correspond to path A1-B1-A1

圖8 沿A2-B2-A2 的磁化回線 Fig.8 The magnetic loops correspond to path A2-B2-A2

4.2 旋轉(zhuǎn)磁化

在旋轉(zhuǎn)激磁條件下，可分析各向異性材料磁滯算子的旋轉(zhuǎn)磁化特性。如圖9 所示，當(dāng)外場(chǎng)分別沿逆時(shí)針?lè)较蜃兓膱A形磁化路徑C、D、E 對(duì)磁滯算子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)磁化時(shí)，磁化強(qiáng)度分量與外場(chǎng)分量之間的關(guān)系曲線如圖10 所示。由圖10 所示的磁化曲線可以看到，當(dāng)磁化路徑與磁滯算子相交時(shí)，會(huì)產(chǎn)生磁滯。圖9 中磁化路徑C、D 都與磁滯算子有相交部分，與之相對(duì)應(yīng)的磁化曲線具有明顯的磁滯現(xiàn)象，即只要磁化路徑穿出磁滯算子臨界面，就會(huì)發(fā)生巴克豪森躍變，產(chǎn)生磁滯損耗；而對(duì)于圖9 所給出的三個(gè)磁滯算子來(lái)說(shuō)，沿磁化路徑E 變化的外場(chǎng)足夠大，磁化方向與外場(chǎng)方向相同，計(jì)算所得的磁化回線與所施加外場(chǎng)的回線形狀相同，沒(méi)有磁滯損耗。

圖9 三個(gè)分別從C、D、E 開(kāi)始的 逆時(shí)針變化圓形磁化路徑 Fig.9 Three different counterclockwise circulars applied magnetic field paths:starting from C、D、E

圖10 對(duì)應(yīng)的磁化回線 Fig.10 The corresponding hysteresis loops

5 磁滯算子特性分析

5.1 損耗特性

由磁滯算子臨界面方程可得，當(dāng)θ = 0°或180°時(shí)，磁滯算子的臨界面與x 軸上的交點(diǎn)為hx= -e 和hx= e；當(dāng)θ = 90°或-90°時(shí)，磁滯算子的臨界面與y 軸的交點(diǎn)為hy=0.5-e 和hy=-(0.5-e)，如圖2 所示。磁滯算子的臨界面的x 軸截距與y 軸截距之間的關(guān)系可以表示為

則磁滯算子的臨界面的軸長(zhǎng)比為

隨外場(chǎng)增大，A 逐漸趨向于1，磁滯算子的臨界面近似為圓形，說(shuō)明當(dāng)外場(chǎng)足夠大時(shí)，各向異性材料的磁化特性和各向同性材料相近，磁化方向近似與外場(chǎng)方向相同。

在旋轉(zhuǎn)外場(chǎng)下，當(dāng)外加磁場(chǎng)足夠大時(shí)，磁滯算子完全包含在激磁場(chǎng)中，臨界面與外場(chǎng)沒(méi)有相交部分，磁化方向與外場(chǎng)方向相同，不產(chǎn)生磁滯損耗，模型具有損耗特性。

5.2 熱力學(xué)第二定律

混合矢量磁滯模型中磁滯算子的能量變化要滿(mǎn)足熱力學(xué)第二定律：任意一個(gè)與磁滯算子臨界面相交的封閉路徑必定存在能量損耗[19]。也就是說(shuō)，磁滯算子沿任意一個(gè)穿過(guò)臨界面的封閉磁化路徑的能量變化必須小于等于零。如圖11 給出了一個(gè)磁滯算子和一條任意封閉的磁化路徑γ，P1、P2分別為γ與臨界面的兩個(gè)交點(diǎn)，P1為穿入點(diǎn)，P2為穿出點(diǎn)。磁滯算子的臨界面是一條等勢(shì)線，且當(dāng)外場(chǎng)穿入臨界面時(shí)不發(fā)生能量損耗，因此磁滯算子外部的任意一條連接穿入點(diǎn)P1和穿出點(diǎn)P2的磁化路徑γ-out 的能量變化為Eγ-out=0。而當(dāng)外場(chǎng)在磁滯算子內(nèi)部時(shí)，外場(chǎng)對(duì)強(qiáng)化強(qiáng)度沒(méi)有影響，磁化方向被固定在穿入點(diǎn)P1處的磁化方向上，不產(chǎn)生能量變化，直到外場(chǎng) 穿出臨界面時(shí)，磁化方向在穿出點(diǎn)P2處發(fā)生巴克豪森躍變，產(chǎn)生能量損耗，因此，沿臨界面內(nèi)部任意一條從P1點(diǎn)到P2點(diǎn)的磁化路徑γ-in 的能量變化為Eγ-in＜0。封閉磁化路徑γ 的能量變化為Eγ= Eγ-out+ Eγ-in＜0，磁滯算子的能量變化滿(mǎn)足熱力學(xué)第二定律。

圖11 二維矢量磁滯算子滿(mǎn)足熱力學(xué)第二定律 Fig.11 The congruence of the 2D hysteron with the second principle of the thermodynamics

5.3 擦除特性

模型的磁化過(guò)程與磁化路徑及其在臨界面上的穿入穿出點(diǎn)有關(guān)，具有磁化歷史擦除特性。如圖12所示，沿從原點(diǎn)到P1點(diǎn)的磁化路徑α 對(duì)磁滯算子磁化，P1點(diǎn)的磁化強(qiáng)度取決于路徑α 穿入臨界面的穿入點(diǎn)；沿從P1點(diǎn)到P2點(diǎn)的磁化路徑β1繼續(xù)對(duì)磁滯算子進(jìn)行磁化，由于P1點(diǎn)、P2點(diǎn)及路徑β1都是在磁滯算子內(nèi)部，所以P2點(diǎn)的磁化強(qiáng)度依舊依賴(lài)于路徑α；沿從P2點(diǎn)到P3點(diǎn)的磁化路徑β1繼續(xù)對(duì)磁滯算子進(jìn)行磁化，路徑β2與臨界面有穿出點(diǎn)，P3的磁化強(qiáng)度不再取決于路徑α，而是取決于路徑β2的穿出點(diǎn)，路徑α 產(chǎn)生的磁化效果已被路徑β2擦除。

圖12 二維矢量磁滯算子擦除特性 Fig.12 The deletion property of the 2D hysteron

若沿路徑α 對(duì)磁滯算子磁化之后，再沿穿過(guò)P1點(diǎn)的封閉路徑β3繼續(xù)對(duì)磁滯算子磁化，P1點(diǎn)的磁化強(qiáng)度只取決于路徑β3的穿入點(diǎn)，與路徑α 無(wú)關(guān)，路徑α 產(chǎn)生的磁化效果已經(jīng)被新的路徑β3擦除。

單個(gè)磁滯算子具有擦除特性，但不具備 Man- delung 定則[21]中的返回點(diǎn)記憶特性，只有同時(shí)考慮多個(gè)磁滯算子的磁化過(guò)程時(shí)，模型才符合描述磁滯特性的Mandelung 定則。

6 總結(jié)

從能量角度出發(fā)，提出了HVHM 模型中二維矢量磁滯算子一種定義方法，分別給出了各向異性和各向同性材料磁滯算子的臨界面方程，結(jié)合S-W 模型星形判定法則，確定了外場(chǎng)在磁滯算子臨界面外部時(shí)磁化方向沿臨界面法線方向，外場(chǎng)在臨界面內(nèi)部時(shí)磁化方向被固定在穿入點(diǎn)處的磁化方向上。

計(jì)算分析了在交變磁化場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)磁化場(chǎng)中磁滯算子的磁化過(guò)程，當(dāng)外場(chǎng)與磁滯算子相交時(shí)，產(chǎn)生磁滯損耗，當(dāng)外場(chǎng)值足夠大時(shí)，磁化方向與外場(chǎng)同向，沒(méi)有磁滯損耗。對(duì)磁滯算子的特性分析表明，磁滯算子滿(mǎn)足熱力學(xué)第二定律，具有損耗和擦除特性，滿(mǎn)足描述磁滯特性的Mandelung 定則。該定義方法有助于精確模擬磁化過(guò)程、提高矢量磁滯模型的有效性和可靠性，為提高變壓器、電機(jī)等電工裝置運(yùn)行效率并降低能耗奠定了理論基礎(chǔ)。

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