關于一類四元數(shù)及八元數(shù)方程解的顯式表示

周玉興,黃宗文

(1.廣西師范學院師園學院，廣西 南寧 530226;2.廣西大學行健文理學院,廣西 南寧530005)

·基礎學科·

關于一類四元數(shù)及八元數(shù)方程解的顯式表示

周玉興1,黃宗文2

(1.廣西師范學院師園學院，廣西 南寧 530226;2.廣西大學行健文理學院,廣西 南寧530005)

運用初等求根方法研究形如x2=x0(其中x,x0為四元數(shù)或八元數(shù))的方程的解,獲得其解的顯式表示,并給出數(shù)值例子。

四元數(shù);八元數(shù);方程解；顯式表示

本文運用初等求根方法去求解形如x2=x0(其中x,x0為四元數(shù)或八元數(shù))的方程,得到它們解的顯式表示。此解的顯式表示比文獻[1- 4]方程中的特殊情形解的表示更為簡潔。

此外, 本文還給出了相應的數(shù)值例子。

1 相關定義

設四元數(shù)是指具有如下形式的數(shù)：q=a0+a1i+a2j+a3k：ai∈R(i=0,1,2,3),且i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j[6]。

eαe0=e0eα,α=0,1,2,…,7：eαeβ=-δαβe0+fαβγeγ,α,β,γ=1,2,…,7：fαβγ=1,當(α,β,γ)

具有下列下列形式之一：

(1,2,3),(4,7,1),(2,5,7),(1,6,5),(6,2,4),(5,4,3),(7,5,6)[7]。

2 主要結(jié)果

證明 設q=a+bi+cj+dk,(a,b,c,d∈R),經(jīng)計算化簡得q2=a2-b2-c2-d2+2abi+2acj+2adk=a0+b0i+c0j+d0k。

比較兩端系數(shù)得：

注1：由定理1證明中得到：若a=0,則方程有解條件是a0=-b2-c2-d2≤0,b0=c0=d0=0。

經(jīng)計算化簡得

2x0x6e6+2x0x7e7=λ0+λ1e1+λ2e2+λ3e3+λ4e4+λ5e5+λ6e6+λ7e7。

比較兩端系數(shù)得：

整理得

(7)

3 數(shù)值例子

例1 設q2=i+j,求q。

解 由定理1得

例2 設q2=1+2i+2j-4k,求q。

解 由定理1得

例3 設q2=-1,求q。

解 顯然a=0。由注1得,-1=-b2-c2-d2, 即1=b2+c2+d2；

當c=d=0時,b=±1,即q=±i；

當b=d=0時,c=±1,即q=±j；

當b=c=0時,d=±1,即q=±k。

因此,q=±i,q=±j,q=±k是方程的特解，顯然方程有無窮多解。 其解集為

{a+bi+cj+dk：a=0,b2+c2+d2=1}。

例4 設x2=2e1+e4-3e5-e6+e7,求x。

[1]Huang L, So W. Quadratic Formulas for Quaternions[J]. Applied Mathematics Letters, 2002(15):533-540.

[2]豐靜,程學翰. 四元數(shù)二次方程解的顯式表示[J]. 湖南農(nóng)業(yè)大學學報：自然科學版,2008,34(3):369-373.

[3]Yik Hoi,Au Yeung. An Explicit Solution for the Quaternionic Equation [J]. Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2002 (26)：717-724.

[4]黃志堅,李興民. 八元數(shù)二次標準方程的根的研究[J]. 廣州廣播電視大學學報,2007,23(2):44,54,64,74.

[5]周玉興,楊益黨,劉旭琴. 關于四元數(shù)及八元數(shù)乘法的兩個恒等式[J].阜陽師范學院學報：自然科學版,2013,30(4):12-14.

[6]李文亮. 四元數(shù)矩陣[M]. 長沙：國防科技大學出版社, 2002.

[7]李興民. 八元數(shù)分析[D]. 北京： 北京大學,1998.

(編校：葉超)

Explicit Solutions on a Class of Quaternions Equation and Octonions Equation

ZHOU Yu-xing1,HUANG Zong-wen2

(1.CollegeofShiyuan,GuangxiTeachersEducationUniversity,Nanning530226China;2.GuangxiUniversityXingJianCollegeofScienceandLiberalArts,Nanning530005China)

Elementary algebra method is applied to solve equations such asx2=x0,wherex,x0are quaternions or octonions. The explicit solutions of equations are obtained. and the solution approach is demonstrated with some numerical examples.

quaternions; octonions; solution of equation; explicit representation.

2014-04-30

國家自然科學基金項目(11161006)；廣西自然科學基金項目(2013GXNSFAA019015)

周玉興(1973—)，男，講師，碩士，主要研究方向為數(shù)值代數(shù)和矩陣分析。

O151.23

A

1673-159X(2015)05-0059-04

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.011