楊霄鵬，黃　洋，楊朝陽,姚　昆，焦　玲

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安　710077)

?

基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計(jì)算法

楊霄鵬，黃洋，楊朝陽,姚昆，焦玲

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077)

0引言

正交頻分復(fù)用(OFDM)系統(tǒng)由于其眾多優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于多個(gè)無線標(biāo)準(zhǔn)，如IEEE802.11a/g、802.16、數(shù)字視頻廣播(Digital Video Broadcasting， DVB)、LTE、B3G等。然而OFDM系統(tǒng)需要子載波之間保持正交，尤其是在高速航空移動(dòng)通信中，由于航空信道存在突出的時(shí)變特性和多普勒頻移[1]，會(huì)引起載波頻率偏移(CFO)，破壞子載波之間的正交性，產(chǎn)生嚴(yán)重的子載波間干擾(ICI)，使通信系統(tǒng)性能惡化。因此有必要采取措施來解決載波頻率偏移問題，而有效的OFDM頻偏估計(jì)算法成為解決這一問題的關(guān)鍵。

近年來已提出多種算法[1-6]，用于解決OFDM頻偏估計(jì)問題。文獻(xiàn)[2]提出的最大似然估計(jì)法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)通過在頻域插入兩個(gè)連續(xù)的導(dǎo)頻符號(hào)，接收端根據(jù)相鄰符號(hào)的相位差估計(jì)頻偏，該算法估計(jì)精度較高，但在大頻偏、高階調(diào)制時(shí)性能較差。通過將OFDM頻偏估計(jì)問題建模為動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型，利用濾波類算法估計(jì)頻偏成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[3]利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法估計(jì)頻偏，其在大頻偏和高階調(diào)制下性能優(yōu)于MLE算法，但由于是對(duì)頻偏估計(jì)的非線性方程進(jìn)行一階泰勒展開，線性化后利用KF遞推求得狀態(tài)估計(jì)，存在截?cái)嗾`差，從而必定會(huì)對(duì)估計(jì)精度產(chǎn)生影響，并且EKF算法存在易發(fā)散、不穩(wěn)定、對(duì)初值敏感的缺點(diǎn)。針對(duì)這些缺陷，文獻(xiàn)[4]研究了Sigma-Point卡爾曼濾波在OFDM頻偏估計(jì)中的應(yīng)用，其性能優(yōu)于EKF算法。這是因?yàn)闊o跡卡爾曼濾波(UKF)通過無跡變換實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性函數(shù)概率分布上的近似，而不是線性化近似非線性函數(shù)本身，其統(tǒng)計(jì)特性可以精確到三階[5]。但EKF、UKF頻偏估計(jì)算法需提前知道噪聲的統(tǒng)計(jì)信息。針對(duì)粒子濾波(Particle Filter，PF)算法無需已知噪聲的統(tǒng)計(jì)信息，且OFDM頻偏估計(jì)的觀測(cè)方程為指數(shù)形式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6]研究了基于粒子濾波的頻偏估計(jì)算法，PF算法較UKF估計(jì)精度高、收斂速度快，然而其存在粒子退化問題。文獻(xiàn)[7]提出了基于高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計(jì)算法，高斯粒子濾波避免了重采樣步驟，濾波精度高，但算法復(fù)雜度高，實(shí)時(shí)性較差。文獻(xiàn)[8]將卡爾曼濾波與粒子濾波結(jié)合提出了混合高斯粒子濾波算法并將其應(yīng)用于組合導(dǎo)航系統(tǒng)，混合算法能很好的適應(yīng)該系統(tǒng)狀態(tài)空間線性非線性混合的特點(diǎn)，從而提高濾波精度和實(shí)時(shí)性。

本文針對(duì)現(xiàn)有高斯粒子濾波OFDM頻偏估計(jì)算法復(fù)雜度高、實(shí)時(shí)性較差的不足，結(jié)合OFDM系統(tǒng)狀態(tài)空間線性非線性混合的特點(diǎn)，提出了一種新的基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計(jì)算法。

1OFDM頻偏估計(jì)的非線性濾波模型

在OFDM系統(tǒng)中，假設(shè)其子載波數(shù)為N，經(jīng)過符號(hào)映射后的發(fā)送數(shù)據(jù)為X(k)，0≤k≤N-1，經(jīng)過離散逆傅里葉變換后得到的時(shí)域發(fā)射信號(hào)為：

(1)

添加長(zhǎng)度不小于最大多徑時(shí)延的循環(huán)前綴，接收端去掉循環(huán)前綴后的接收信號(hào)y(n)可表示如下：

(2)

(3)

式(3)中,a表示中間狀態(tài)變量，z表示觀測(cè)量，g表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，f表示觀測(cè)方程，v、w分別表示過程噪聲和觀測(cè)噪聲。

通常情況下，頻偏的變化速率并不快，因此可假設(shè)在單個(gè)數(shù)據(jù)幀中頻偏為一常量。這種假設(shè)在包傳輸系統(tǒng)中是成立的，例如在無線局域網(wǎng)絡(luò)(Wireless Local Area Network, WLAN)系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)包設(shè)計(jì)的較短，這足以假設(shè)在一個(gè)數(shù)據(jù)包持續(xù)時(shí)間內(nèi)載波頻偏為一常量[3]。假設(shè)X(k)為接收端已知的訓(xùn)練符號(hào)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)x(n)為其傅里葉逆變換后的發(fā)射信號(hào)。為了分析推導(dǎo)方便，假設(shè)信道為高斯信道。至此，根據(jù)式(4)可以建立OFDM系統(tǒng)頻偏估計(jì)的動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型(Dynamic State-Space Model，DSSM)：

(4)

在通信終端高速運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，例如航空移動(dòng)通信。飛行器變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)的頻偏為時(shí)變頻偏，此時(shí)頻偏估計(jì)DSSM模型需要更為精確的描述?？梢圆捎靡浑A自回歸(AR1)模型來模擬載波頻偏的變化[9]，時(shí)變頻偏下的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程表示如下：

(5)

通過分析式(5)可以得到頻偏估計(jì)的動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型的觀測(cè)方程為指數(shù)函數(shù)形式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，如果采用擴(kuò)展卡爾曼濾波類方法，其本身存在的截?cái)嘈?yīng)會(huì)導(dǎo)致較大的估計(jì)誤差，且存在濾波發(fā)散、穩(wěn)定性差、對(duì)初值敏感等缺陷，從而不能達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)載波頻偏的目的?；诖耍疚牟捎昧Ｗ訛V波的改進(jìn)算法，即高斯粒子濾波來估計(jì)頻偏，針對(duì)頻偏估計(jì)的狀態(tài)空間線性、非線性混合模型的特點(diǎn)，將線性卡爾曼濾波引入高斯粒子濾波，達(dá)到進(jìn)一步降低濾波復(fù)雜度，提高系統(tǒng)實(shí)時(shí)性的目的。

2粒子濾波算法

粒子濾波算法屬于貝葉斯框架下的蒙特卡羅方法。其基本思想是：首先根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的經(jīng)驗(yàn)條件分布，通過在狀態(tài)空間產(chǎn)生一組隨機(jī)樣本點(diǎn)(即粒子)及其每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的權(quán)值，并以均值代替積分運(yùn)算，根據(jù)得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)不停的調(diào)整粒子的權(quán)重和位置用來修正最初的條件分布。

考慮如式(4)的OFDM頻偏估計(jì)的非線性狀態(tài)空間模型。

假設(shè)n時(shí)刻的頻偏狀態(tài)變量的集合為ε0:n={ε0,ε1,…,εn}，觀測(cè)向量的數(shù)據(jù)集合為y0:n={y0,y1,…,yn}。根據(jù)貝葉斯估計(jì)的原理，狀態(tài)量n時(shí)刻的后驗(yàn)概率密度可表示為如下：

(6)

(7)

式(7)中，δ(·)表示狄拉克函數(shù)。

(8)

(9)

以上為序貫蒙特卡羅粒子濾波算法的基本原理，在實(shí)際應(yīng)用中隨著迭代的進(jìn)行，除去一個(gè)粒子外，所有粒子都只具有微小的權(quán)重，重要性權(quán)值方差會(huì)隨著時(shí)間的增加而變大，這樣將會(huì)導(dǎo)致退化現(xiàn)象的發(fā)生。選擇重要性函數(shù)和重采樣方法是克服退化效應(yīng)最有效的手段[10]。但是在實(shí)際應(yīng)用中，一方面，大量粒子在處理非線性、非高斯問題時(shí)會(huì)存在計(jì)算復(fù)雜度高和大權(quán)值粒子反復(fù)被選擇引起的粒子貧化效應(yīng)問題。另一方面優(yōu)化的重要性密度函數(shù)的獲取與從目標(biāo)函數(shù)分布中抽取樣本的困難程度完全等同。為了解決這一問題，可以選擇高斯分布函數(shù)來構(gòu)造重要性密度函數(shù)，即采用高斯分布來產(chǎn)生下一個(gè)預(yù)測(cè)粒子。通過高斯密度函數(shù)來近似濾波概率分布，將最新的觀測(cè)數(shù)據(jù)融入到了系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中，這樣產(chǎn)生的預(yù)測(cè)樣本非常接近于狀態(tài)真實(shí)后驗(yàn)概率的樣本。高斯粒子濾波器適用于非線性、非高斯系統(tǒng)環(huán)境，具有較高的濾波精度，算法簡(jiǎn)單穩(wěn)定性強(qiáng)，避免了重采樣步驟且不存在粒子退化現(xiàn)象，實(shí)時(shí)性好，易于超大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)[11]。

3快速采樣混合高斯粒子濾波的頻偏估計(jì)器

高斯粒子濾波的核心思想是假定被估計(jì)的狀態(tài)變量后驗(yàn)概率密度函數(shù)近似服從高斯分布，然后利用粒子濾波算法求解高斯分布的相關(guān)參數(shù)以得到狀態(tài)的估計(jì)值。高斯粒子濾波的目的是通過一群粒子及其相應(yīng)的權(quán)值來得到系統(tǒng)的濾波密度函數(shù)p(ε|y1:n)。一般情況下服從高斯分布的隨機(jī)變量ε的概率密度函數(shù)可表示如下：

μ)Σ-1(ε-μ)/2])

(10)

式(10)中，μ表示m維向量ε的均值，Σ為ε的協(xié)方差陣。

高斯粒子濾波可以表述如下：

GPF測(cè)量更新過程：當(dāng)獲得k時(shí)刻的觀測(cè)值yk后，濾波密度函數(shù)可以表示如下：

式(11)中，Ck=(∫p(εk|y0:k-1)p(yk|εk)dεk)-1為歸一化因子。濾波概率密度可以近似為如下形式的高斯分布：

p(εk|y0:k)≈N(εk;μk,Σk)

(12)

GPF的時(shí)間更新過程：通過在k時(shí)刻從概率密度p(εk+1|εk)中采樣，則可得

(13)

把p(εk+1|y0:k)近似為如下所示的高斯分布：

(14)

高斯分布參數(shù)的獲取是通過對(duì)樣本及其權(quán)值計(jì)算得到的。本文所解決的問題中，OFDM的頻偏估計(jì)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)方程為線性，觀測(cè)方程為非線性的混合模型。針對(duì)這種具體應(yīng)用環(huán)境，可以采用混合粒子濾波算法進(jìn)行求解。混合粒子濾波算法的核心思想是：對(duì)狀態(tài)方程的線性部分采用KF的線性遞推方式取代高斯粒子濾波中的更新方式，對(duì)非線性部分保留高斯粒子濾波遞推方式。

基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計(jì)算法步驟如下：

1)初始化

通過選取合適的參數(shù)，使粒子服從參數(shù)為N(ε0,μ0,Σ0)的正態(tài)分布。

2)時(shí)間更新

(15)

3)量測(cè)更新

(16)

(17)

4)計(jì)算濾波結(jié)果和相關(guān)參數(shù)

根據(jù)之前的采樣粒子及其對(duì)應(yīng)的權(quán)值計(jì)算濾波結(jié)果和高斯分布參數(shù)，從而使得量測(cè)更新后的粒子服從N(εk,μk,Σk)正態(tài)分布，狀態(tài)頻偏的濾波值估計(jì)值μk及其對(duì)應(yīng)的方差Σk可由下式計(jì)算：

(18)

(19)

返回步驟2)，循環(huán)以上步驟。

以上為基于混合高斯粒子濾波算法的OFDM頻偏估計(jì)的算法步驟。通過對(duì)步驟2)時(shí)間更新過程的分析可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的GPF算法只需更新高斯分布參數(shù)和方差，不需要對(duì)每個(gè)粒子逐個(gè)更新，因此改進(jìn)后的GPF算法計(jì)算量較低，并且對(duì)于線性系統(tǒng)而言，KF狀態(tài)更新過程為最優(yōu)估計(jì)，所以其在降低復(fù)雜度的同時(shí)保證了精度不會(huì)下降。

(20)

4仿真分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)的混合高斯粒子濾波的算法的性能，分別在如式(4)和式(5)所示的模型下進(jìn)行了仿真分析，并對(duì)比分析了UKF、GPF和本文所提頻偏估計(jì)算法的性能。OFDM系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：子載波數(shù)N=64，訓(xùn)練序列采用PN序列，長(zhǎng)度為64，歸一化載波頻偏為ε=0.25，AR1模型初始頻偏ε0=0.25，采用16QAM高階調(diào)制，加性高斯白噪聲信道，頻偏初值不失一般性設(shè)置為0.01。

圖1為信噪比SNR=15 dB，GPF算法和本文算法中粒子數(shù)均取M=200，16QAM調(diào)制下，固定頻偏模型和和時(shí)變頻偏一階AR模型下的頻偏估計(jì)曲線。通過觀察收斂曲線(a)的變化趨勢(shì)可以發(fā)現(xiàn)，GPF和本文頻偏估計(jì)算法較UKF頻偏估計(jì)算法收斂速度更快，精度更高。GPF和本文算法大約在第10步左右即可收斂到真實(shí)頻偏，而UKF算法需要25步左右才可收斂到頻偏真實(shí)值附近。而通過圖1(b)可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)GPF和本文算法在對(duì)時(shí)變頻偏的跟蹤方面性能更優(yōu)，估計(jì)精度更高。

圖1　三種頻偏估計(jì)算法收斂曲線比較Fig.1　Comparison of three carrier frequency offsetestimation algorithms convergence curve

圖2為信噪比SNR=15 dB，16QAM調(diào)制下頻偏糾正前后的星座圖。對(duì)比收發(fā)前后的信號(hào)星座圖可以發(fā)現(xiàn)，由于頻偏的存在使得星座圖發(fā)生了嚴(yán)重的相位旋轉(zhuǎn)和畸變，導(dǎo)致解調(diào)出錯(cuò)，通信性能惡化。經(jīng)過頻偏估計(jì)和補(bǔ)償后相位旋轉(zhuǎn)得到了糾正，星座圖緊湊清晰。

定義頻偏估計(jì)的均方誤差(Minimum, Square, Error, MSE)為：

(21)

式(21)中，P為蒙特卡羅仿真的次數(shù)，N為子載波個(gè)數(shù)，μk為頻偏估計(jì)估值，εk為頻偏真實(shí)值。

圖2　信號(hào)糾偏前后的星座圖Fig.2　Signal constellation with frequency offsetand frequency offset compensation results

圖3為16QAM調(diào)制，粒子數(shù)M=200，P取1 000時(shí)，三種算法的頻偏估計(jì)MSE隨信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)性能曲線。表1為同一參數(shù)下，兩種算法在單次運(yùn)行中的時(shí)間比較，以此來驗(yàn)證本文算法的計(jì)算復(fù)雜度較低的優(yōu)點(diǎn)。從圖3可以看出基于確定性采樣的UKF頻偏估計(jì)算法的估計(jì)精度較基于隨機(jī)采樣的GPF和本文提出的快速采樣混合算法要低。本文提出的基于混合高斯粒子濾波的算法的頻偏估計(jì)精度和文獻(xiàn)[6]中基于GPF濾波的頻偏估計(jì)算法性能十分接近。而通過表1可以得到，本文算法較GPF濾波算法運(yùn)行時(shí)間明顯減少，計(jì)算復(fù)雜度有所降低，這與前面理論分析一致。

圖3　頻偏估計(jì)的MSE曲線Fig.3　The MSE property of four kinds of algorithms

算法運(yùn)行時(shí)間/sGPF頻偏估計(jì)0.1063本文算法0.0781

5結(jié)論

本文提出了基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計(jì)算法。該算法根據(jù)OFDM系統(tǒng)頻偏估計(jì)線性、非線性混和模型的特點(diǎn)，其中狀態(tài)更新過程采用KF濾波更新方式，直接更新高斯分布參數(shù)而非逐個(gè)粒子進(jìn)行更新，有效地降低了濾波復(fù)雜度。在量測(cè)更新階段通過線性變換法生成需要服從特定參數(shù)的高斯分布粒子群，相比于傳統(tǒng)采樣算法，計(jì)算復(fù)雜度降低。仿真實(shí)驗(yàn)和分析表明，該算法在保證濾波精度、快速收斂的同時(shí)有效地減少了算法運(yùn)行時(shí)間，提高了系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。

參考文獻(xiàn):

[1]陳強(qiáng), 楊霄鵬, 歐陽超，等. 基于TD-NLMS的航空移動(dòng)通信OFDM系統(tǒng)載波頻率偏移消除[J]. 空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 14(1):71-74.

[2]YU J H, SU Y T. Pilot-assisted maximum-likelihood frequency-offset estimation for OFDM systems[J]. IEEE Transactions on Communications. 2004, 52(11): 1997-2008.

[3]Alex P. Palamides and Andreas M. Maras. A Bayesian state-space approach to combat inter-carrier interference in OFDM systems[J]. IEEE signal processing letters, 2007, 14(10):677-679.

[4]張?chǎng)蚊?葉鋒,楊波，等.Sigma-Point卡爾曼濾波用于OFDM載波頻偏估計(jì)[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)與工程技術(shù)版),2013,46(5):458-462.

[5]Julier S J, Uhlmann J K. A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators[J]. IEEE Trans on Automatic Control, 2000,45(3): 477-482.

[6]Jaechan Lim， Daehyoung Hong. Frequency -selective and nonlinear channel estimation with unknown noise statistics[J]. IEEE communications letters,2010,14(3):245-247.

[7]Jaechan Lim， Daehyoung Hong. Gaussian particle filtering approach for carrier frequency offset estimation in OFDM systems[J]. IEEE signal processing letters, 2013, 20(4):367-370.

[8]熊劍, 郭杭, 熊智,等.GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中的高斯粒子濾波混合算法[J].中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2012,20(2):225-229.

[9]Eric Pierre Simon, Hussein Hijazi, Laurent Ros, et al. Joint estimation of carrier frequency offset and channel complex gains for OFDM systems in fast time-varying vehicular environment[C]//IEEE International Conference on Communications(ICC). Cape Town: IEEE Press, 2010:1-5.

[10]Jayesh H Kotecha, Petar M. Gaussian particle filtering[J]. IEEE Transactions on signal processing, 2003, 51(10):2592-2601.

[11]趙琳, 王小旭, 李亮，等. 非線性系統(tǒng)濾波理論[M]. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2012:181-182.

[12]陳鵬,錢徽,朱淼良.一種快速高斯粒子濾波算法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009,36(S1):291-294.

摘要:針對(duì)現(xiàn)有正交頻分復(fù)用(OFDM)系統(tǒng)高斯粒子濾波頻偏估計(jì)算法復(fù)雜度高、實(shí)時(shí)性較差的不足，結(jié)合OFDM系統(tǒng)狀態(tài)空間線性非線性混合的特點(diǎn)，提出了一種新的基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計(jì)算法。該算法采用狀態(tài)空間模型對(duì)其進(jìn)行了建模分析，通過將卡爾曼濾波與高斯粒子濾波相結(jié)合，在時(shí)間更新階段直接更新高斯分布參數(shù)代替逐個(gè)粒子更新，在量測(cè)更新階段采用線性變換法生成采樣粒子群代替?zhèn)鹘y(tǒng)高斯采樣過程，降低了濾波復(fù)雜度，避免了粒子退化和貧化問題。仿真實(shí)驗(yàn)和分析表明，該算法在保證濾波精度、快速收斂的同時(shí)有效地減少了算法運(yùn)行時(shí)間，提高了系統(tǒng)實(shí)時(shí)性。

關(guān)鍵詞:正交頻分復(fù)用；多普勒效應(yīng)；頻偏估計(jì)；高斯粒子濾波；快速采樣

Carrier Frequency Offset Algorithm in OFDM Systems Based on Hybrid Gaussian Particle FilteringYANG Xiaopeng, HUANG Yang, YANG Chaoyang，YAO Kun, JIAO Ling

(School of Information and Navigation, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

Abstract:To solve the problems of high complexity, poor real-time of the Gauss particle filter carrier frequency offset estimation algorithm, for the property of OFDM system state-space model linearity and nonlinearity, a new fast sampling hybrid Gaussian particle filtering algorithm was proposed. Kalman filtering was combined with Gaussian particle filtering. During the time updating process, the parameters of Gaussian distribution was updated by instead of the each particle updating. During the measurement updating process, the linear transformation method was adopted to produce particles instead of traditional Gaussian sampling particle method. The complexity was decreased effectively and the particle impoverishment and dilution effect were avoided. The simulation results demonstrate the proposed algorithm while ensuring the accuracy and convergence speed, and could reduce the complexity and improve the real-time property.

Key words:orthogonal frequency-division multiplexing; Doppler effect; frequency offset estimation; Gaussian particle filtering; fast sampling

中圖分類號(hào):TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào)：1008-1194(2015)06-0071-06

作者簡(jiǎn)介:楊霄鵬(1973—)，男，甘肅天水人，博士，副教授，研究方向：寬帶無線通信，信號(hào)處理。E-mail:hyznhhy@qq.com。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61202490)；航空科學(xué)基金(2013ZC15008)

*收稿日期:2015-07-12