徐　懷, 林志超, 陳藝萱

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥　230039)

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Dickson-Waters目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)分紅值的離散估計(jì)法

徐懷, 林志超, 陳藝萱

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥230039)

摘要:在索賠過程為復(fù)合泊松過程的風(fēng)險(xiǎn)模型中,考慮了Dickson-Waters目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)分紅值的計(jì)算問題.首先應(yīng)用Laplace變換得出最優(yōu)分紅值的精確解,當(dāng)精確解無法得到時(shí),考慮使用離散風(fēng)險(xiǎn)模型來估計(jì)最優(yōu)分紅值.最后給出三個(gè)數(shù)值例子加以說明,并對(duì)計(jì)算結(jié)果作出評(píng)價(jià).

關(guān)鍵詞:離散風(fēng)險(xiǎn)模型; 最優(yōu)分紅; Laplace變換; 離散估計(jì)

風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題是風(fēng)險(xiǎn)數(shù)學(xué)中一個(gè)相當(dāng)有意義的話題,Finetti于1957年首次提出在風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮分紅策略,他認(rèn)為這樣的過程更符合實(shí)際情形.有兩種分紅策略得到了特別關(guān)注:一種是障礙分紅策略(barrier strategies),在這種分紅策略下,當(dāng)且僅當(dāng)盈余過程超過事先給定的邊界時(shí)分紅才發(fā)生,并且超過邊界的所有盈余全部作為分紅被分掉;另外一種分紅策略是門檻分紅策略(threshold strategies),在這種分紅策略下,同樣的,當(dāng)且僅當(dāng)盈余過程超過事先給定的邊界時(shí)分紅才發(fā)生,不過當(dāng)盈余過程超過邊界時(shí),分紅率是固定的常數(shù).

近年來有許多文獻(xiàn)討論了各種風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題.如文獻(xiàn)[1]考慮了帶維納運(yùn)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題,文獻(xiàn)[2]考慮了古典風(fēng)險(xiǎn)模型最優(yōu)分紅值的計(jì)算問題,文獻(xiàn)[3]考慮了古典風(fēng)險(xiǎn)模型的關(guān)于分紅的幾個(gè)推廣問題,文獻(xiàn)[4]考慮了在破產(chǎn)概率約束下的最優(yōu)分紅問題,文獻(xiàn)[5]考慮了一類更新風(fēng)險(xiǎn)過程的分紅策略,文獻(xiàn)[6]考慮了動(dòng)態(tài)收入過程的風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅策略問題.

首先如下定義風(fēng)險(xiǎn)過程{U(t)}t≥0:

(1)

假設(shè)D(t)表示到時(shí)刻t時(shí)的累計(jì)分紅值,則

(2)

為t時(shí)刻的修正盈余過程.

類似地,對(duì)風(fēng)險(xiǎn)過程{U(t)}t≥0定義破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{t:U(t)<0}.用R(u)表示破產(chǎn)赤字的期望折現(xiàn)懲罰值,具體的表達(dá)式為

對(duì)期望折現(xiàn)分紅值V(u;b)的研究由來已久[2].文獻(xiàn)[7]首先對(duì)破產(chǎn)赤字的期望折現(xiàn)懲罰值R(u)展開了研究(準(zhǔn)確地說,這里的R(u)是文獻(xiàn)[7]中所討論函數(shù)的一個(gè)特例,許多文獻(xiàn)把此類函數(shù)稱為Gerber-Shiu函數(shù),有一些文獻(xiàn)對(duì)此類函數(shù)展開了研究,如文獻(xiàn)[8]討論了平衡更新風(fēng)險(xiǎn)過程下的Gerber-Shiu函數(shù)).也有一些文獻(xiàn)對(duì)R(u;b)展開了討論,如文獻(xiàn)[9]研究了復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型中的R(u;b)函數(shù),文獻(xiàn)[10]在帶利率的風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮了R(u;b)函數(shù).

(3)

這個(gè)目標(biāo)函數(shù)是期望折現(xiàn)分紅值與破產(chǎn)時(shí)赤字的折現(xiàn)值的差額,即凈利潤.Dickson和Waters認(rèn)為,如果僅僅考慮折現(xiàn)分紅期望值V(u;b)的最大化,是有缺陷的,因?yàn)槟Ｐ椭袥]有考慮破產(chǎn)時(shí)損失的彌補(bǔ)問題.基于此,Dickson和Waters考慮了上述目標(biāo)函數(shù).稱式(3)為Dickson-Waters目標(biāo)函數(shù).目的是要尋找一個(gè)最優(yōu)分紅值b0,使得W(u;b)在b=b0處取得最大值.

1W(u;b)的表達(dá)式

對(duì)于Dickson-Waters目標(biāo)函數(shù)

文獻(xiàn)[12]在索賠過程是一個(gè)無上跳的平穩(wěn)Markov鏈的條件下,得到了如下結(jié)論:

(4)

(5)

所以有

(6)

特別地,當(dāng)索賠過程為復(fù)合泊松過程時(shí),如下式子成立[2,7,12]:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(10)和式(11)有

(12)

(13)

(14)

需要指出的是:

(1) 通過對(duì)式(12)和式(14)的逆Laplace變換,得到h(·),R(·)的表達(dá)式,由式(4)和式(5),進(jìn)而得到V(u;b),R(u;b)及W(u;b),從而計(jì)算出最優(yōu)分紅值b0.這看起來是一個(gè)完美的解決方案,但事實(shí)并非如此,由于逆Laplace變換在很多情況下是很難計(jì)算的,也就無法得到最優(yōu)分紅值的精確解[7,14-15]. 為了克服這樣的困難,考慮最優(yōu)分紅值的估計(jì)問題.關(guān)于這一問題的討論,已經(jīng)有了一些結(jié)果. 文獻(xiàn)[2]考慮了應(yīng)用DeVylder近似法、漸近法、擴(kuò)散估計(jì)法和離散估計(jì)法來估計(jì)V(u;b).文獻(xiàn)[7]考慮了R(u)的漸近表達(dá)式,進(jìn)而通過式(5)得到了R(u;b)的漸近表達(dá)式[13].文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[11-12]的基礎(chǔ)上考慮了應(yīng)用DeVylder近似法、擴(kuò)散估計(jì)法來估計(jì)R(u;b).本文考慮應(yīng)用離散估計(jì)法得Dickson-Waters目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)分紅值.

(3) 當(dāng)u>b時(shí),有W(u;b)=u-b+W(b;b).

2離散化估計(jì)方法

下面以式(3)為基礎(chǔ)考慮最優(yōu)分紅值b*的離散估計(jì)法.

設(shè)有離散風(fēng)險(xiǎn)模型{U(n)}n≥0:

式中:u表示整數(shù)的初始盈余;Yj表示取值為整數(shù)的隨機(jī)變量,表示個(gè)體收入額;δ為折現(xiàn)利率. 記gi=P{Yj=i}(i=0,1,…). 在這個(gè)離散對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中,考慮在障礙分紅策略下的最優(yōu)分紅值.類似地,以V(u;b)表示初始盈余為u、分紅界為整數(shù)b時(shí)的折現(xiàn)分紅期望值,R(u;b)表示期望折現(xiàn)懲罰值.考慮目標(biāo)函數(shù)W(u;b)=V(u;b)-R(u;b)(u≤b),自然地,可以定義W(u;b)=u-b+W(b;b)(u>b).

對(duì)任意的1≤u≤b,其中,u,b均為整數(shù),根據(jù)首個(gè)收入額的大小,應(yīng)用全概率公式得

(u=0,1,2,…,b-1),

(15)

(16)

(17)

(18)

根據(jù)式(15)和式(16)建立以V(0;b),V(1;b),V(2;b),…,V (b -1;b),V(b;b)為未知數(shù)的b+1維線性方程組,再用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)軟件如Matlab即可以解出

類似地,根據(jù)式(17)和式(18)可以得到R(0;b),R(1;b),R(2;b),…,R (b-1;b),R(b;b),進(jìn)而計(jì)算出W(u;b)=V(u;b)-R(u;b).

當(dāng)初始盈余u給定時(shí),就可以計(jì)算出在不同分紅值b時(shí)的凈利潤值W(u;b),而所謂的最優(yōu)分紅值b0,即使得W(u;b)在b=b0時(shí)取得最大值.顯然,對(duì)于任意確定的初始資本u,通過比較W(u;b)(b=0,1,2,…)的大小就可得到最優(yōu)分紅值b0.因此,為了得到連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅值的估計(jì)值,可以考慮把連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型離散化,進(jìn)而得到最優(yōu)分紅值的估計(jì)值.

下面考慮如何把連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型近似地表示為離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型.設(shè)有初始的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型

其中,N(t)是參數(shù)為λ的泊松過程.可以采用四個(gè)步驟得到.

(19)

(20)

(3) 收入的離散化. 記

(21)

(4) 盈余過程的離散化. 記

(22)

(23)

從上面四個(gè)步驟可以看出,U(t)與U1(t),U2(t)實(shí)際上是相同的,只不過是時(shí)間和貨幣單位發(fā)生變化而已.而U3(t)就是用離散化的個(gè)體收入分布來近似連續(xù)的個(gè)體收入分布.此時(shí)可以看出,β越大,則U3(t)與U(t)近似的程度就越好.當(dāng)然,實(shí)際中考慮到計(jì)算量問題,一般取一個(gè)適當(dāng)大小的整數(shù)β,在下面的例子中,選取β=100.U4(n)實(shí)際上是一個(gè)時(shí)間的離散化問題,即只考慮整數(shù)時(shí)間節(jié)點(diǎn)問題,相當(dāng)于一個(gè)離散的“骨架”過程[17].

3數(shù)值例子

利用上面的結(jié)論,下面給出三個(gè)離散估計(jì)的數(shù)值例子.

表1　p(x)=e-x時(shí)的最優(yōu)分紅值b0

時(shí)的最優(yōu)分紅值b0

時(shí)的最優(yōu)分紅值b0

注:① 采用離散估計(jì)法的Matlab計(jì)算程序給出了表1第二行中的估計(jì)值,其他的估計(jì)值只要修改一下相關(guān)參數(shù)即可.

② 本文選擇的作為比較對(duì)象的最優(yōu)分紅值b0均小于10,這主要出于計(jì)算量方面的考慮,最優(yōu)分紅值越大,計(jì)算量就越大,耗時(shí)就越多.

③ 為了對(duì)估計(jì)的精度有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí),由表1～表3給出了估計(jì)誤差率圖,見圖1. 從圖1可以看出,估計(jì)值的精度相當(dāng)?shù)母?尤其當(dāng)安全載荷系數(shù)θ介于(0.5,1.9)時(shí),其估計(jì)誤差率更是介于(0,0.05).

圖1　估計(jì)誤差率

參考文獻(xiàn):

[ 1 ] Gerber H U,Shiu E S W. Optimal Dividends:Analysis with Brownian Motion[J]. North American Actuarial Journal, 2004,8(1):1-20.

[ 2 ] Gerber H U,Shiu E S W,Smith N. Methods for Estimating the Optimal Dividend Barrier and the Probability of Ruin[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2008,42(1):243-254.

[ 3 ] Hunting M,Paulsen J. Optimal Dividend Policies with Transaction Costs for a Class of Jump-diffusion Processes[J]. Finance and Stochastics, 2013,17(1):73-106.

[ 4 ] Bo Lijun, Song Renming, Tang Dan, et al. Lévy Risk Model with Two-Sided Jumps and a Barrier Dividend Strategy[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2012,50(2):280-291.

[ 5 ] Chen Mi, Peng Xiaofan, Guo Junyi. Optimal Dividend Problem with a Nonlinear Regular-singular Stochastic Control[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2013,52(3):448-456.

[ 6 ] H?gaard B. Optimal Dynamic Premium Control in Non-life Insurance: Maximizing Dividend Pay-Outs[J]. Scandinavian Actuarial Journal, 2002(4):225-245.

[ 7 ] Gerber H U,Shiu E S W. On the Time Value of Ruin[J]. North American Actuarial Journal, 1998,2(1):48-78.

[ 8 ] Willmot G E,Dickson D C M. The Gerber-Shiu Discounted Penalty Function in the Stationary Renewal Risk Model[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2003,32(3):403-411.

[ 9 ] Lin X S,Willmot G E,Drekic S. The Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier:Analysis of Gerber-Shiu Discounted Penalty Function[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2003,33(3):551-566.

[10] Yuen K C,Wang Guojing,Li W K. The Gerber-Shiu Expected Discounted Penalty Function for Risk Processes with Interest and a Constant Dividend Barrier[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2007,40(1):104-112.

[11] Chen Xu,Xiao Ting, Yang Xiangqun. A Markov-modulated Jump-diffusion Risk Model with Randomized Observation Periods and Threshold Dividend Strategy[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2014,54(1):76-83.

[12] Shen Ying,Yin Chuancun,Yuen K C. Alternative Approach to the Optimality of the Threshold Strategy for Spectrally Negative Lévy Processes[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica:English Series, 2013,29(4):705-716.

[13] Fang Ying,Wu Rong. On Optimality of the Barrier Strategy for the Classical Risk Model with Interest[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica: English Series, 2011,27(1):75-84.

[14] Dickson D C M. On a Class of Renewal Risk Processes[J]. North American Actuarial Journal, 1998,2(3):60-73.

[15] Delfosse J J. Some Numerical Aspects in Transient Risk Theory[J]. ASTIN Bulletin, 1982,13(2):99-113.

[16] Panjer H H. Recursive Evaluation of a Family of Compound Distributions[J]. ASTIN Bulletin, 1981,12(1):22-26.

[17] Dickson D C M, Waters H R. Recursive Calculation of Survival Probabilities[J]. ASTIN Bulletin, 1991,21(2):199-221.

【責(zé)任編輯: 李艷】

Discrete Approximation of Optimal Dividend Barrier in Dickson-Waters Modification

XuHuai,LinZhichao,ChenYixuan

(School of Mathematics, Anhui University, Hefei 230039, China)

Abstract:The Dickson-Waters Modification under a barrier dividend strategy is studied, when the aggregate claims process is a compound Poisson process. The exact solution of the optimal dividend barrier is obtained by Laplace transform. Three numerical examples are given to illustrate, and the results are evaluated.

Key words:discrete risk model; optimal dividend barrier; Laplace transform; discrete approximation

收稿日期:2014-06-07

中圖分類號(hào):O 211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

作者簡(jiǎn)介:徐懷(1976-),男,安徽長豐人,安徽大學(xué)講師.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11226207).

文章編號(hào):2095-5456(2015)01-0077-06