基于四元數(shù)改進(jìn)人工蜂群算法的彩色圖像邊緣檢測*

鄧小亞

(四川文理學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)

基于四元數(shù)改進(jìn)人工蜂群算法的彩色圖像邊緣檢測*

鄧小亞

(四川文理學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)

摘要：提出了一種基于四元數(shù)表示彩色圖像的改進(jìn)人工蜂群算法的彩色圖像邊緣檢測方法。傳統(tǒng)的彩色圖像邊緣檢測方法采用三色分離的方法進(jìn)行，因而計(jì)算量較大，速度較慢，漏檢和錯檢點(diǎn)較多。首先在彩色圖像表示中引入四元數(shù)理論，用四元數(shù)表示彩色圖像，運(yùn)用改進(jìn)人工蜂群算法求出所有次優(yōu)解和全局最優(yōu)解就是彩色圖像的邊緣點(diǎn)，所有邊緣點(diǎn)的集合就構(gòu)成了彩色圖像邊緣。仿真試驗(yàn)表明，所提出的方法不僅對影響彩色圖像邊緣檢測的復(fù)雜細(xì)節(jié)和混合噪聲問題有明顯改進(jìn)，而且檢測出的邊緣效果好，計(jì)算量也大為減少，能完全滿足實(shí)際的彩色圖像邊緣檢測的需要。

關(guān)鍵詞：彩色圖像；四元數(shù)；蜂群算法；邊緣檢測

圖像邊緣檢測[1]在圖像處理中至關(guān)重要。一直以來，大多數(shù)研究都集中在灰度圖像邊緣檢測中，因而在灰度圖像邊緣檢測中已取得了明顯成效。彩色圖像邊緣檢測處理雖然也取得了一定進(jìn)步，但由于彩色像素表示的復(fù)雜性，使其始終成為一個困惑的問題[2]。其主要原因是彩色圖像的表示是3色分離，即紅、綠、藍(lán)3種顏色分別用3個矩陣表示，而割裂了3種顏色的內(nèi)在聯(lián)系，后來雖然取得了一定進(jìn)步，但是離理想結(jié)果仍然有不小的差距。

愛爾蘭數(shù)學(xué)家W.R. Hamilton爵士提出了四元數(shù)理論，隨著四元數(shù)理論的發(fā)展，將四元數(shù)引入了數(shù)字圖像邊緣處理中，即用一個四元數(shù)矢量表示一個彩色像素，這樣在圖像邊緣處理中就可以將彩色像素的3種顏色作為一整體[3]，但所采用算法的限制效果仍然不夠理想。

土耳其的Karaboga在2005年系統(tǒng)地提出了ABC算法(Artificial Bee Colony Algorithm)，此算法源于數(shù)學(xué)上求解多元函數(shù)數(shù)值的最優(yōu)解問題，后來發(fā)現(xiàn)在解決非限制性求優(yōu)問題方面有著如粒子群算法、蟻群算法無法比擬的優(yōu)越性，因而近年來得到較快發(fā)展。

本文以四元數(shù)表示彩色圖像，運(yùn)用一種改進(jìn)人工蜂群算法作用于此四元數(shù)表示的彩色圖像上，先求解出初始最優(yōu)解和次優(yōu)解作為彩色圖像檢測中的候選邊緣點(diǎn)，然后以這些候選邊緣點(diǎn)為基礎(chǔ)不斷運(yùn)用改進(jìn)蜂群算法迭代求解，再根據(jù)一定條件來判定出所有彩色圖像邊緣點(diǎn)，最終求解出所有邊緣點(diǎn)就構(gòu)成圖像邊緣。

1四元數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)知識

四元數(shù)理論從提出至今雖然還有些問題有待解決，但以其方便、簡捷的表示方法，已在圖像處理中得到了廣泛應(yīng)用[4-5]。在四元數(shù)理論中，若設(shè)q是四維空間中的一個數(shù)，它包含1個實(shí)部a和3個虛部b、c和d，記這個四維空間的基為{1,i,j,k}，則四元數(shù)q可以表示為：

q=a+bi+cj+dk

式中，a、b、c和d是實(shí)數(shù)；i、j和k是3個正交的虛單位，并滿足i2=j2=k2=ijk=-1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=-k，kj=-i，ik=-j。

四元數(shù)的加減法遵從實(shí)數(shù)加減法規(guī)則，是實(shí)部和虛部對應(yīng)相加減，而四元數(shù)的乘法卻不遵守實(shí)數(shù)乘法規(guī)則，它們的乘法是不可交換的。

對于四元數(shù)q=a+bi+cj+dk,令：

(1)

則四元數(shù)用極坐標(biāo)表示為:

q=|q|(cosθ+μsinθ)=|q|eμθ

式中，θ是特征角；μ是特征軸，也是模為1的純虛四元數(shù)，又稱單位純虛四元數(shù)。

若en是一單位矢量，且為平面的旋轉(zhuǎn)方向，而矢量α、β垂直于此平面，設(shè)矢量β為矢量α旋轉(zhuǎn)θ角后的轉(zhuǎn)后矢量，且兩矢量α、β和轉(zhuǎn)軸方向均遵從右手法則，則有下式成立：

β=(cosθ+ensinθ)α

(2)

當(dāng)上述矢量逆向旋轉(zhuǎn)，則有：

β=[cos(-θ)+ensin(-θ)]α

若初始旋轉(zhuǎn)矢量與轉(zhuǎn)軸方向矢量不垂直，則有如下公式成立：

(3)

2改進(jìn)人工蜂群算法的彩色圖像四元數(shù)邊緣檢測原理

人工蜂群算法相比蟻群算法、粒子群算法有著明顯的優(yōu)勢，但在實(shí)際解決相應(yīng)問題時，其搜索方程對平衡局部搜索和全局搜索還是顯得不足，且速度也還需要進(jìn)一步提高。本文提出一種改進(jìn)的搜索方程，在四元數(shù)表示彩色圖像的基礎(chǔ)上，運(yùn)用基于此改進(jìn)搜索方程的人工蜂群算法來求次優(yōu)蜜源和全局最優(yōu)蜜源，也就是求出了局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解，這些次優(yōu)解和全局最優(yōu)解在滿足一定設(shè)定條件的情況下構(gòu)成彩色圖像的邊緣點(diǎn)。

2.1人工蜂群算法的基本搜索方程

在人工蜂群算法中，一個蜜源的位置就對應(yīng)著一個可行解，每個蜜源的質(zhì)量代表著對應(yīng)可能解的適應(yīng)度，雇傭蜂的數(shù)量和蜜源的數(shù)量相等，在初始位置產(chǎn)生了一組隨機(jī)解L∈EB，EB是初始蜜源的位置個數(shù)，也表示雇傭蜂或觀望蜂的多少。

令CXi={cxi,1,cxi,2,…，cxi,D} 是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的一組位置，那么蜜源位置更新的初始公式如下：

CXi,j=CX1,j+β(CXu,j-CX1,j)

β∈[-1,1]u≠l

(4)

式中，i=1,2,…，EB；j=1,2,…，D，且D是問題的維度；CXu,j和CX1,j是維度j的下界和上界。

在初始化后，蜜蜂的群體規(guī)模不斷發(fā)生變化，3種蜜蜂不斷進(jìn)行搜索，位置不斷發(fā)生變化，不斷拋棄舊的蜜源，尋找新的較優(yōu)蜜源，其選擇某個蜜源的概率pi和適應(yīng)度值fiti公式如下：

(5)

式中，fiti是對應(yīng)于第i個解的適應(yīng)度值。

人工蜂群算法中其從舊的局部最優(yōu)解中更新為一個新的可行解的位置公式如下：

CVi,j=CXi,j+μi,j(CXi,j-CXk,j)

(6)

式中，k≠i，k∈{1,2,…，EB}；j∈{1,2,…，D} 并且k和j都是隨機(jī)選擇參數(shù)；μi,j是一個隨機(jī)數(shù)并且μi,j∈[-1,1]。

如果一個蜜源位置在達(dá)到一定搜索條件后仍不被進(jìn)一步更新，將被拋棄重新尋找新的可行蜜源位置。

2.2改進(jìn)的人工蜂群算法搜索方程

要改進(jìn)人工蜂群算法的性能，提高人工蜂群算法的收斂速度，防止陷入局部最優(yōu)，關(guān)鍵是要改進(jìn)搜索方程，就是要尋求適合的搜索方程來平衡局部搜索速度和全部搜索速度之間的關(guān)系，即不能因片面強(qiáng)調(diào)局部搜索而忽視了全部搜索從而陷入局部最優(yōu)，又不能因一味追求全局搜索而忽視局部搜索，造成漏解；因此，所求出的全部解根本就不是全局最優(yōu)解。目前，已經(jīng)出現(xiàn)了人工蜂群算法的一些改進(jìn)搜索方程，但這些搜索方程都是僅限于某一方面改進(jìn)，如改進(jìn)了局部搜索而全局搜索又減慢了，或全部速度加快而局部減慢甚至有些改進(jìn)搜索方程求出的不是全局最優(yōu)解，其中比較突出的對人工蜂群算法的搜索方程進(jìn)行改進(jìn)的是GABC算法[6]，該算法提出的搜索方程如下式所示：

CVi,j=CXi,j+σi,j(CXbest,j-CXi,j)+

μi,j(CXi,j-CXk,j)

(7)

式中，CXbest,j是全局最優(yōu)解的第j個元素；σi,j∈[0,1.5]是一個隨機(jī)數(shù)。

從上面的GABC算法的搜索方程來看，比標(biāo)準(zhǔn)ABC算法的搜索方程增加了第2項(xiàng)σi,j(CXbest,j-CXi,j)，由于其中CXbest,j是全局最優(yōu)解的第j個元素，因而實(shí)際上σi,j(CXbest,j-CXi,j)增加了此搜索方程的全局最優(yōu)搜索性能，但是從試驗(yàn)結(jié)果來看，其性能改進(jìn)得并不明顯。

為了進(jìn)一步提高人工蜂群算法的性能，筆者對搜索方程進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)，由于高斯變異的優(yōu)良性能，在GABC算法基礎(chǔ)上加入了高斯變異如下：

CVi,j=CXi,j+σi,j(CXbest,j-CXi,j+g)+

μi,j(CXi,j-CXk,j)

(8)

式中，g=Gaussian(μ,σ2)，μ、σ2分別是相應(yīng)的均值和方差。

高斯變異因子在式7促進(jìn)全局最優(yōu)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步有助于蜂群算法跳出局部最優(yōu)，因而，式8在局部和全局方面都得到了提高，從而提高了蜂群算法的整體性能。

2.3運(yùn)用改進(jìn)人工蜂群算法進(jìn)行彩色圖像邊緣檢測

為了用四元數(shù)解決彩色圖像的邊緣檢測問題，首先要把四元數(shù)用極坐標(biāo)的形式來表示，采用四元數(shù)的極坐標(biāo)時，根據(jù)前面四元數(shù)的基礎(chǔ)理論可得：當(dāng)以單位矢量μ=i+j+k作為四元數(shù)空間的旋轉(zhuǎn)軸時，其極坐標(biāo)形式為R=eμθ=i+j+k，根據(jù)文獻(xiàn)[7]中所描述的方法，對任一純虛四元數(shù)矢量X，RXR*表示將X轉(zhuǎn)到了以矢量μ為對稱軸的相反方向上，X+RXR*其結(jié)果矢量的三分矢量值一定相等，也就是結(jié)果矢量是灰度矢量。故任兩個彩色像素矢量q1和q2，若q3=q1+Rq2R*，且q1和q2這兩個矢量相同，則|q1+Rq2R*|=0；若q1和q2色調(diào)接近，那么q3必位于灰度矢量μ附近，即存在任意小的正數(shù)δ，有|q1+Rq2R*|<δ，2個彩色像素矢量q1和q2就在圖像邊緣，以此方法就可以判斷出某點(diǎn)是否為邊緣點(diǎn)，這也是人工蜂群算法求出的圖像邊緣點(diǎn)的適應(yīng)度函數(shù)，其適應(yīng)度值δ究竟多大才判斷為邊緣點(diǎn)，可以根據(jù)具體條件確定。

2.4本文提出的算法

本文提出的算法是在人工蜂群算法基礎(chǔ)上改進(jìn)而來的，先根據(jù)試驗(yàn)具體條件對人工蜂群算法的循環(huán)次數(shù)進(jìn)行設(shè)置(如約為120次)，或?qū)⒀h(huán)條件設(shè)置為前N個適應(yīng)度大于某預(yù)定的閾值。在如此設(shè)定條件下，所求解出的前N個適應(yīng)度值大于某預(yù)定閾值時的改進(jìn)人工蜂群算法并沒有收斂，而是得到了N個局部最優(yōu)解，這些解在圖像邊緣中是分散分布的，然后以這些分散點(diǎn)也就是蜜蜂所得到的次優(yōu)蜜源為基礎(chǔ)，在此鄰域附近繼續(xù)搜索與之適應(yīng)度值相等或相近的點(diǎn)(也就是蜜源效益度相等或相近的蜜源)，如此循環(huán)，直至滿足結(jié)束條件為止。將所得出的全部點(diǎn)標(biāo)記出來就構(gòu)成了圖像邊緣，其算法流程如下：1)初始化，設(shè)定初始蜂群參數(shù)，所有蜜蜂出發(fā)尋找蜜源，設(shè)定雇主蜂對應(yīng)的蜜源為參考蜜源，記每只蜜蜂的局部最優(yōu)位置為pbest()，最大迭代次數(shù)為nmax，迭代計(jì)數(shù)器nc=0；2)當(dāng)雇主蜂數(shù)量不為零時；3)在初始蜜源的八鄰域內(nèi)雇主蜂根據(jù)改進(jìn)搜索方程搜索新蜜源S，若雇主蜂搜到的新蜜源的適應(yīng)度值與參考蜜源的適應(yīng)度相等或近似相等時，將原參考蜜源進(jìn)行標(biāo)記，標(biāo)記后的參考蜜源則變成標(biāo)志蜜源(對應(yīng)彩色圖像邊緣點(diǎn))；4)運(yùn)用相應(yīng)數(shù)據(jù)表記錄所有蜜蜂的適應(yīng)度值EK，若適應(yīng)度值增大，則更新；5)將搜索到的新蜜源轉(zhuǎn)變成參考蜜源，若是觀望蜂則升級為雇主蜂；6)ifS≥1，則雇主蜂可以招募S-1個觀望蜂，然后將S個新參考蜜源分配給雇主蜂和新招募S-1個觀望蜂，繼續(xù)比較相應(yīng)的個體局部適應(yīng)度值和群體全局適應(yīng)度值，若更好，則更新；7)elseS=0，將該雇主蜂降級為偵察蜂；然后轉(zhuǎn)到b；8)若達(dá)到結(jié)束條件(適應(yīng)度值不再增大或達(dá)到最大迭代次數(shù))，endwhile，否則轉(zhuǎn)到b；9)輸出全局最優(yōu)解時的所對應(yīng)點(diǎn)，算法結(jié)束。

3試驗(yàn)與結(jié)果分析

本試驗(yàn)在配置為主頻2.6GHz的P4處理器、4G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，對多張圖片進(jìn)行了多次試驗(yàn)，本文選取的是一張從實(shí)驗(yàn)室得到的農(nóng)村風(fēng)光圖，對基于標(biāo)準(zhǔn)人工蜂群算法、基于GABC算法和基于本文提出的IABC算法分別進(jìn)行彩色圖像邊緣檢測試驗(yàn)，本試驗(yàn)分為兩部分：第1部分對3種算法在農(nóng)村風(fēng)光圖上進(jìn)行邊緣檢測的時間進(jìn)行比較(見表1)；第2部分是3種算法在農(nóng)村風(fēng)光圖片的邊緣檢測效果比較(見圖1)。

表1　3種算法分別進(jìn)行彩色圖像邊緣檢測的運(yùn)行時間　(ms)

圖1　原始圖像和3種算法效果圖

從表1可以看出，基于四元數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)ABC彩色圖像邊緣檢測所消耗的時間最多，因而邊緣檢測速度最慢，而基于四元數(shù)的IABC彩色圖像邊緣檢測所消耗的時間最少，因而邊緣檢測速度最快，其中，基于四元數(shù)的IABC彩色圖像邊緣檢測所消耗的時間大約是基于四元數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)ABC彩色圖像邊緣檢測所用時間的63%，而相應(yīng)的GABC算法用在彩色圖像邊緣檢測的時間是標(biāo)準(zhǔn)ABC算法所消耗時間的84%，因而從試驗(yàn)的結(jié)果來看，本文提出的IABC算法在作用于彩色圖像邊緣檢測時，相比GABC算法和標(biāo)準(zhǔn)ABC算法是速度最快的一種算法。

從3種算法分別進(jìn)行邊緣檢測得到的3張效果圖來看，圖1c效果最好，圖1a效果最差，而圖1b效果比圖1a略好，比圖1c效果明顯差些。在圖1a中近處水面上的4只鵝的邊緣都有許多斷點(diǎn)和漏點(diǎn)現(xiàn)象，而遠(yuǎn)處的房屋屋頂和屋墻的邊緣斷點(diǎn)和漏點(diǎn)現(xiàn)象更多，還有屋前的燈籠和房屋的門窗邊緣許多都未檢測出來；在圖1b中彩色圖像邊緣檢測效果比圖1a略好；而圖1c中近處的4只鵝及遠(yuǎn)處的房屋邊緣都比較完整地檢測出來了，房屋的門窗邊緣和燈籠邊緣都比較清楚，其中漏點(diǎn)和斷點(diǎn)現(xiàn)象比圖1a和圖1b明顯減少。這表明以四元數(shù)表示彩色圖像而進(jìn)行的標(biāo)準(zhǔn)ABC圖像邊緣檢測效果最差，基于四元數(shù)的GABC彩色圖像邊緣檢測方法比基于四元數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)ABC彩色圖像邊緣檢測效果略好，本文提出的基于四元數(shù)的IABC算法彩色圖像檢測算法效果最好。

4結(jié)語

以四元數(shù)表示彩色圖像為基礎(chǔ)，對標(biāo)準(zhǔn)ABC算法、GABC算法和本文提出的IABC算法進(jìn)行了詳細(xì)的研究，試驗(yàn)結(jié)果證明，本文提出的IABC算法在對彩色圖像進(jìn)行邊緣檢測時，效果是最好的。

參考文獻(xiàn)

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[7] 金海良,李德華.彩色圖像濾波與基于四元數(shù)的彩色圖像處理方法[D].湖北：華中科技大學(xué),2008.

*四川省教育廳科研項(xiàng)目(15ZB0323)

責(zé)任編輯彭光宇

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Quaternion-based Improved Artificial Bee Colony Algorithm for Color Image Edge Detection

DENG Xiaoya

(School of Computer, Sichuan University of Arts and Science, Dazhou 635000, China)

Abstract：Propose an improved artificial bee colony algorithm in color image based on quaternion for color image edge detection. The traditional color image edge detection method uses three-color separation method performed, thus there is a large amount of computation, a slower speed and wrong and missed points are greater. Quaternion theory is introduced with color image representation, then use a quaternion vector represent a pixel color image. The improved artificial bee colony algorithm is used to find all suboptimal solutions and global optimal solution which contains color image edge points. Simulation results show that the proposed method has significantly improved complexly detailed and mixed noise problems of affecting the color image edge detection. And there is good edge effect detected, also greatly reduce the amount of calculation, fully be able to meet the needs of the actual color image edge detection.

Key words:color image，quaternion, colony algorithm，edge detection

收稿日期：2014-03-19

作者簡介：鄧小亞(1977-)，男，講師，碩士，主要從事圖像處理、軟件工程、知識工程和計(jì)算機(jī)應(yīng)用等方面的研究。

中圖分類號：TP 391 4)關(guān)鍵詞的遴選要有益于讀者通過搜索引擎查找，數(shù)量為(3~5個)，關(guān)鍵詞應(yīng)為三級學(xué)科名稱。1~2個(參見《中國圖書館分類法(第四版)》一書)。

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A