h時(shí)標(biāo)上帶有限分布時(shí)滯的集群行為的動(dòng)力學(xué)研究

肖　強(qiáng)，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

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肖強(qiáng)，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

[摘要]研究了h時(shí)標(biāo)上包含有限分布時(shí)滯的基于吸引/排斥函數(shù)的群聚模型.基于Lyapunov穩(wěn)定性方法和時(shí)標(biāo)理論，研究了集群的穩(wěn)定性，證明了所有個(gè)體在有限時(shí)間會(huì)聚集到一個(gè)有限區(qū)域.最后，給出了一些模擬結(jié)果來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的有效性.

[關(guān)鍵詞]集群；時(shí)滯；聚集行為；h時(shí)標(biāo)

0引言

近年來(lái)，有益于協(xié)作群聚行為和多個(gè)體集群行為的研究成為了一個(gè)熱點(diǎn)[1-4].研究中基本的問(wèn)題是如何根據(jù)個(gè)體之間的相互作用來(lái)建模和分析集群行為，很久以來(lái)生物學(xué)家們致力于理解和建立群聚模型[5-6].普遍的理解是集群行為是基于個(gè)體間長(zhǎng)距離相互吸引和短距離相互排斥相互作用的結(jié)果[1].Gazi等研究了個(gè)體一階連續(xù)運(yùn)動(dòng)模型[7]，證明了所有個(gè)體在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)形成一個(gè)群聚體，并給出了群聚體一個(gè)顯式的界.他們用的一般方法是將個(gè)體看做一個(gè)粒子并通過(guò)相互作用來(lái)研究集群行為[8].然而，由于個(gè)體間的交流存在時(shí)間延遲，使得系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，如發(fā)散性和穩(wěn)定性等，因此將分布時(shí)滯考慮到模型中是很重要的.文獻(xiàn)[9]考慮了基于同步分布控制方法的離散一維和二維群聚結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[10]提出了在合適的環(huán)境中帶有交流時(shí)滯的群聚模型，并且得到了穩(wěn)定性結(jié)果.文獻(xiàn)[11]描述了自治飛行器的編隊(duì)控制策略.

群體中過(guò)去的行為對(duì)現(xiàn)在有著很大的影響，而且這種影響因其復(fù)雜性難以刻畫(huà)，在一段時(shí)間內(nèi)成為研究中一個(gè)難點(diǎn).分布時(shí)滯能很好地刻畫(huà)和量化這些時(shí)滯本質(zhì)的影響，分布時(shí)滯不僅影響著群體最終群聚半徑范圍的大小，而且決定著群聚形成的時(shí)間.本文介紹了時(shí)標(biāo)上時(shí)滯群聚模型，分析了合適條件下集群行為和群聚的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，并給出了群聚模型的一些模擬結(jié)果.

1預(yù)備知識(shí)

本節(jié)中，給出一些關(guān)于時(shí)標(biāo)的基本概念和一些引理，它們均可以在文獻(xiàn)[12]中找到.

定義1[12]令f:T→R,t∈Tk，則滿足以下條件的fΔ，即對(duì)任意ε>0，存在t的鄰域U，有：,?s∈U,則稱(chēng)它為f在t處的Δ-導(dǎo)數(shù).若fΔ(t)在所有t∈Tk均存在，則稱(chēng)f是Δ-可微的.

引理1[12]對(duì)任意給定的時(shí)標(biāo)T和函數(shù)f(t)，若f∈Crd且t∈Tk，則(t).

引理2[12]對(duì)任意給定的時(shí)標(biāo)T和函數(shù)p(t)，若p(t)∈R，那么ep(t,t0)是以下初值問(wèn)題的唯一解：yΔ=p(t)y,y(t0)=1,t∈T,其中：T.

引理3[12]對(duì)任意給定的時(shí)標(biāo)T，若函數(shù)y(t),f(t)∈Crd且p(t)∈R+.則對(duì)于所有的t∈T，yΔ(t)≤p(t)y(t)+f(t)，蘊(yùn)含著y(t)T.

2群聚模型

本節(jié)中考慮的是n維歐式空間中M個(gè)個(gè)體組成的群體，每個(gè)個(gè)體抽象成一個(gè)點(diǎn).個(gè)體的運(yùn)動(dòng)是由以下在時(shí)標(biāo)上帶有有限分布時(shí)滯的微分方程控制：

(1)

3主要結(jié)論

假設(shè)1核函數(shù)滿足：kij(t)=kji(t),?t∈[0,hq0],?i,j=1,2,…,M.

注2核函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)權(quán)重函數(shù)，過(guò)去不同的時(shí)間與不同的位置對(duì)現(xiàn)在時(shí)刻有著不同的影響，核函數(shù)量化著這些影響.許多函數(shù)都可以成為核函數(shù)，例如k12(t)=e-t,k23(t)=1/t等.

為研究時(shí)滯群聚模型的穩(wěn)定性，使用了文獻(xiàn)[9]提供的穩(wěn)定性概念.

(2)

4數(shù)值模擬

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(責(zé)任編輯馬建華英文審校黃振坤)

(School of Science,Jimei University,Xiamen 361021,China)

Abstract:In this paper,a swarm model based on attraction/repulsion functions with finite-distributed delays onhtime scale was investigated.The stability of the swarm based on Lyapunov stability method and theory of time scales was studied.It was shown that all the members of the swarm will eventually gather into a bounded region in finite time.In the end,simulation results were presented to illustrate the effectiveness of our results.

Key words:swarm;time delays;collective behavior;htime scale

[中圖分類(lèi)號(hào)]O 193

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1007-7405(2015)06-0470-05

[作者簡(jiǎn)介]肖強(qiáng)(1989—)，男，碩士生，從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面研究.通信作者：黃振坤(1977—)，男，教授，碩導(dǎo)，從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方向研究,E-mail:hzk974226@jmu.edu.cn.

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61573005，11361010)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012J06001)

[收稿日期]2015-01-16[修回日期]2015-03-20