李前言 康春玉

(1.海軍大連艦艇學(xué)院研究生隊(duì) 大連 116018)(2.海軍大連艦艇學(xué)院信息作戰(zhàn)系 大連 116018)

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陣列協(xié)方差矩陣與FOCUSS算法的DOA估計(jì)方法*

李前言1康春玉2

(1.海軍大連艦艇學(xué)院研究生隊(duì) 大連 116018)(2.海軍大連艦艇學(xué)院信息作戰(zhàn)系 大連 116018)

傳統(tǒng)的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方法往往受到Nyquist采樣定理與“瑞利限”的限制,對(duì)快拍數(shù)、陣元數(shù)及信噪比等條件的要求較高,并且不能準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)源的幅度信息?；谀繕?biāo)在空域的稀疏性,針對(duì)多維觀測向量模型,提出一種正則化的FOCUSS稀疏重構(gòu)算法,可以有效提高低信噪比條件下的估計(jì)性能。陣列接收矩陣快拍數(shù)大,含噪聲信息多,對(duì)高分辨的DOA估計(jì)影響較大,而通過對(duì)陣列的協(xié)方差矩陣求高階次冪的方法可以有效逼近信號(hào)子空間,減小噪聲子空間的影響。以陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣作為待分解的數(shù)據(jù)向量構(gòu)造稀疏模型,能夠使重構(gòu)信號(hào)具有較高的分辨率,對(duì)快拍數(shù)、陣元數(shù)及信噪比等條件的要求更低,對(duì)旁瓣抑制效果更好,能夠較為準(zhǔn)確地估計(jì)出信源的幅度信息,且不需要對(duì)信源數(shù)目進(jìn)行預(yù)估計(jì),體現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。

波達(dá)方向估計(jì); 正則化FOCUSS算法; 稀疏重構(gòu); 協(xié)方差矩陣

Class Number TP301.6

1 引言

信號(hào)的波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)估計(jì)在雷達(dá)、通信、聲納等諸多領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用,也是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容。常規(guī)波束形成(CBF)方法與最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)方法利用不同陣元接收信號(hào)間的時(shí)間延遲實(shí)現(xiàn)方位估計(jì),此類方法對(duì)快拍數(shù)的需求較大,且受到“瑞利限”的限制,分辨率較低。子空間類方法(MUSIC方法、ESPRIT方法)將接收數(shù)據(jù)分解成信號(hào)子空間和噪聲子空間,利用二者的正交性構(gòu)造出“針狀”空間譜實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì),此類方法雖然估計(jì)精度與分辨率都較高,但需要預(yù)估信源數(shù)目,在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的不足。

壓縮感知理論是一種新興的信號(hào)處理理論,目前已有許多學(xué)者在著手研究壓縮感知方法在DOA估計(jì)中的應(yīng)用,并且已取得了一定的成果。壓縮感知理論的核心問題就是稀疏重構(gòu)算法的選擇與應(yīng)用問題,目前應(yīng)用較多的是凸優(yōu)化類算法與匹配追蹤類算法。這些方法的估計(jì)思想都有較大差異,但都必須以單快拍的陣列接收數(shù)據(jù)位待分解的向量構(gòu)造稀疏模型,再以多塊拍平均的方法得到信源的方位信息,而FOCUSS方法能夠?qū)崿F(xiàn)多維觀測向量(MMV)模型的稀疏重構(gòu)[1],具有計(jì)算量小、采樣數(shù)少、收斂速度快的優(yōu)勢,正則化的FOCUSS方法又能夠大大改善DOA估計(jì)效果[2]。

直接利用陣列接收數(shù)據(jù)的稀疏分解進(jìn)行DOA估計(jì)極易受到噪聲的影響,對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解(SVD)能夠有效減弱噪聲的影響,但此方法需要已知信源數(shù)目,當(dāng)信源數(shù)過估計(jì)或欠估計(jì)時(shí),性能顯著下降[3]。陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣包含有接收數(shù)據(jù)的大部分信息,且能夠使矩陣的維數(shù)顯著降低[4],對(duì)協(xié)方差矩陣求高階次冪(HOP)的方法可以有效逼近信號(hào)子空間,減小噪聲子空間,用此矩陣作為待分解的稀疏向量可以有效減少噪聲帶來的影響,并且避免了對(duì)信源數(shù)目的估計(jì)和對(duì)接收矩陣的特征值分解[5]。

2 DOA估計(jì)的數(shù)學(xué)模型

2.1 陣列信號(hào)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)均勻線列陣由M個(gè)等間距陣元構(gòu)成,陣元間距為d,空間存在N(N

(1)

式中,ym(t),si(t),nm(t)分別表示t時(shí)刻第m陣元的接收信號(hào),第i個(gè)目標(biāo)源信號(hào)和第m陣元上的加性噪聲,τim表示t時(shí)刻第m陣元相對(duì)參考點(diǎn)接收到第i個(gè)信號(hào)的時(shí)間延遲,可以表示為

(2)

式中,c為聲波在水中的傳播速度。

將式(1)寫作矢量形式為

Y(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(3)

式中,Y(t)為t時(shí)刻采集的陣列數(shù)據(jù),S(t)為信號(hào)源,N(t)為噪聲,A(θ)為陣列導(dǎo)向矢量矩陣,可表示為

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]

(4)

a(θi)=[e-j2πf0τi1,e-j2πf0τi2,…,e-j2πf0τim]T

i=1,2,…,N

(5)

2.2 多維觀測矩陣的壓縮感知DOA估計(jì)模型

假設(shè)空間中僅存在少量有限個(gè)遠(yuǎn)場目標(biāo)源,這樣就使得目標(biāo)源在空間上是稀疏的,滿足壓縮感知理論的前提條件。

將整個(gè)空間均勻劃分為{θ1,θ2,…,θH}(H?N),則根據(jù)假設(shè),空間中只在一些位置上存在信號(hào)源(N個(gè)),在大多數(shù)可能的位置并不存在實(shí)際的信號(hào)源,因此,可以構(gòu)造稀疏矩陣Aα,表示為

Aα(θ)=[α(θ1),α(θ2),…,α(θH)]

(6)

α(θi)=[e-j2πf0τ1i,e-j2πf0τ2i,…,e-j2πf0τmi]T

i=1,2,…,H

(7)

同時(shí)構(gòu)造出一個(gè)空間H×1維信號(hào)s,即:

s=[s1,s2,…,sH]T

(8)

s中僅有N個(gè)非零元素,其余H-N個(gè)元素均為零,且H?N。對(duì)于多維觀測矩陣(MMV)的壓縮感知模型來說,若陣列接收信號(hào)Y有K個(gè)快拍,則需要構(gòu)造出一個(gè)與Y維數(shù)相同(M×K)維的矩陣x

x=[s(1),s(2),…,s(k)]

(9)

則MMV的壓縮感知DOA估計(jì)模型為

Y=Aαx

(10)

可以看出,待估計(jì)的陣列流形A(θ)是完備陣列流形Aα(θ)的子集,而向量s也是矩陣x的其中一列,即也是x的子集。壓縮感知的核心問題就是要解決以下的凸優(yōu)化問題

(11)

對(duì)矩陣x的每一列進(jìn)行求和平均后便可得到信源的空間譜估計(jì)

(12)

通過P(θ)可以實(shí)現(xiàn)多快拍的目標(biāo)方位估計(jì)。

3 正則化的FOCUSS重構(gòu)算法

早在1997年,Gorodnitsky與Rao等研究學(xué)者就提出了FOCUSS算法,后經(jīng)不斷改進(jìn)形成現(xiàn)有的多測量矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解(Multi-vectors FOCal Undetermined System Solver,M-FOCUSS)算法。該方法的本質(zhì)是利用最小2范數(shù)來逼近最小0的解,在迭代中加入一個(gè)權(quán)值W來優(yōu)化重構(gòu)函數(shù),首先初始化一個(gè)與陣列接收矩陣相同維數(shù)的全1陣x,再通過以下迭代求解過程重構(gòu)原始信號(hào)[2]

1)Wk=diag(xk-1)

2)qk=(AαWk)TY

3)xk=Wkqk

(13)

以上的迭代過程是在無噪聲環(huán)境下推導(dǎo)出的,針對(duì)接收矩陣中存在噪聲的系統(tǒng),應(yīng)用正則化的FOCUSS算法(Regularized-FOCUSS)可以顯著減弱噪聲影響,使系統(tǒng)更加穩(wěn)健,正則化的FOCUSS迭代過程為[7]

1)Wk=diag(xk-1[i]1-2/p)

2)Ak=AαWk

3)qk=AkH(AkAkH+γI)-1Y

4)xk=Wkqk

(14)

式中,p∈(0,1]為稀疏因子,γ為正則化因子。

利用正則化的FOCUSS算法可以實(shí)現(xiàn)MMV模型的壓縮感知DOA估計(jì),并且可以有效抑制噪聲,提高估計(jì)性能。

4 基于陣列協(xié)方差矩陣的DOA估計(jì)方法

直接利用陣列接收的快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)容易受到噪聲影響,Malioutov等提出了1-SVD方法,對(duì)陣列接收矩陣進(jìn)行奇異值分解(SVD),然后利用最小1范數(shù)的約束條件重構(gòu)原始信號(hào)。此方法對(duì)抑制噪聲有能夠起到較好的效果,但需要較為準(zhǔn)確地估計(jì)出信源數(shù)目,在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的不足。

而利用接收數(shù)據(jù)協(xié)方差向量的稀疏表示方法來實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)可以明顯提高估計(jì)性能。

陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以通過K次快拍數(shù)據(jù)估計(jì)得到,表示為

(15)

此時(shí),R為一個(gè)M×M的矩陣,若對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,則R可表示為

(16)

式中,ES、EN分別代表信號(hào)子空間和噪聲子空間,ΛS、ΛN為其相應(yīng)特征值,而協(xié)方差矩陣的特征值又有如下特點(diǎn)

λ1≥λ2≥…≥λN?λN+1≥λN+2≥…≥λM

(17)

可以看出,信號(hào)子空間對(duì)應(yīng)的特征值大于噪聲子空間對(duì)應(yīng)的特征值,只要設(shè)法增大協(xié)方差矩陣中的大特征值,減小小特征值,就可以有效抑制噪聲,提高估計(jì)效果。

但通常情況下,協(xié)方差矩陣特征值的區(qū)分程度并不明顯,噪聲特征值往往比較發(fā)散。對(duì)于式(16),若對(duì)協(xié)方差矩陣求其m次階冪,可得到

Rm=ESΣSESH+ENΣNENH

(18)

式中,ΣS=diag{λ1m,λ2m,…,λNm},ΣN=diag{λN+1m,λN+2m,…,λMm}。

由于經(jīng)過高階冪的運(yùn)算后,大特征值增加的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小特征值增加的幅度,即λ1m≥…≥λNm?λN+1m≥…≥λMm,因此高階冪的協(xié)方差矩陣中的小特征值可以忽略不計(jì),表示為

(19)

這就表示陣列協(xié)方差矩陣在經(jīng)過m次階冪后已經(jīng)逼近于信號(hào)子空間,噪聲子空間已經(jīng)可以忽略不計(jì),這就使得矩陣Rm可以最大程度地逼近于原始信號(hào)。而實(shí)際應(yīng)用中,參數(shù)m并不需要取到極限,只需要取有限次的整數(shù)就完全能夠滿足收斂要求[8]。

5 實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證

假設(shè)均勻線列陣陣元間隔為0.5m,兩個(gè)遠(yuǎn)場窄帶相干信號(hào)源的方位分別為10°和15°,頻率均為1400Hz,采樣頻率為25kHz,聲速為m/s,{θ1,θ2,…,θH}的角度間隔為1°。

5.1 正則化FOCUSS方法中正則化因子的選取

假設(shè)均勻線列陣中陣元數(shù)為32,快拍數(shù)位128,噪聲為高斯白噪聲?？紤]FOCUSS算法中正則化因子γ對(duì)估計(jì)效果的影響,計(jì)算信噪比在-20dB,-15dB,-10dB及-5dB四種情況下,隨著γ數(shù)值的變化,FOCUSS算法估計(jì)出的方位與真實(shí)目標(biāo)方位的均方根誤差(RMSE),得到四條曲線如圖1所示。

圖1 隨著γ的變化FOCUSS算法的RMSE曲線

從圖1可以看出,采取正則化的FOCUSS方法能夠有效減小均方根誤差,提高估計(jì)準(zhǔn)確性,但隨著γ數(shù)值的進(jìn)一步增大,均方根誤差不會(huì)有明顯的改善,反而有可能增大,因此再此方針背景下,選擇γ在2左右為宜。

為了準(zhǔn)確反映空間譜信息,增加快拍數(shù)至1024,令γ的值為2,得到CBF方法、MVDR方法、FOCUSS方法及正則化FOCUSS方法的空間譜如圖2所示。

圖2 四種估計(jì)方法的空間譜

從圖2可以看出,在有噪聲干擾的情況下,未正則化的FOCUSS方法無法準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)的方位,而正則化的FOCUSS方法卻明顯能夠改善估計(jì)效果。且相對(duì)于CBF方法與MVDR方法,正則化的FOCUSS方法對(duì)噪聲的抑制效果更好,對(duì)方位的估計(jì)更加準(zhǔn)確。

5.2 協(xié)方差矩陣高階冪方法中冪指數(shù)的選取

在與5.1節(jié)相同的方針背景下,假設(shè)兩目標(biāo)的歸一化強(qiáng)度均為1,隨著冪指數(shù)m的變化,得到HOP-FOCUSS方法在不同信噪比情況下的RMSE曲線如圖3所示。

圖3 隨著m的變化HOP-FOCUSS方法對(duì)相同強(qiáng)度目標(biāo)的方位信息估計(jì)的RMSE曲線

從圖3可以看出,利用陣列協(xié)方差矩陣作為待分解的稀疏向量可以顯著提高方位的估計(jì)準(zhǔn)確率,減小估計(jì)誤差,尤其在低信噪比條件下有較好的效果,冪指數(shù)取到合適的值可以使均方根誤差達(dá)到最小,但在較高信噪比情況下,協(xié)方差矩陣的高階冪方法對(duì)方位信息所起到的作用并不明顯。

在實(shí)際的空域信號(hào)中,目標(biāo)的強(qiáng)度往往是不同的,且伴隨著較多的干擾噪聲,若無法準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)的強(qiáng)度,則對(duì)區(qū)分目標(biāo)與噪聲會(huì)造成一定的困難,因此對(duì)目標(biāo)的幅度信息較為精確地估計(jì)對(duì)方位估計(jì)也具有重要的意義。此節(jié)討論HOP-FOCUSS方法估計(jì)出目標(biāo)的幅度信息與真實(shí)目標(biāo)的幅度之間的均方根誤差。假設(shè)兩目標(biāo)的歸一化強(qiáng)度分別為1和0.9,其他仿真條件與5.1節(jié)相同,得到HOP-FOCUSS方法在不同信噪比情況下對(duì)目標(biāo)幅度信息估計(jì)的RMSE曲線如圖4所示。

圖4 隨著m的變化HOP-FOCUSS方法對(duì)不同強(qiáng)度目標(biāo)的幅度信息估計(jì)的RMSE曲線

從圖4可以看出,在任何信噪比條件下,對(duì)協(xié)方差矩陣取高階冪都能夠有效提高對(duì)目標(biāo)的幅度信息的估計(jì)效果,但隨著冪指數(shù)的增大,估計(jì)效果趨于穩(wěn)定,不會(huì)再得到明顯改善。結(jié)合圖3與圖4,可以看出,在此仿真背景下,取冪指數(shù)在5左右可以達(dá)到最好的估計(jì)效果。

假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)的歸一化強(qiáng)度分別為1和0.9,快拍數(shù)為1024,m的值為5,其余仿真條件與5.1節(jié)相同。在此仿真背景下,得到CBF方法,MVDR方法,壓縮感知正交匹配追蹤(CS-OMP)方法,正則化FOCUSS方法(Re-FOCUSS),高階冪正則化FOCUSS(HOP-Re-FOCUSS)方法的空間譜如圖5所示。

圖5 目標(biāo)強(qiáng)度不同時(shí)五種方法估計(jì)的空間譜

從圖5中可以看出,CBF方法與MVDR方法的方位估計(jì)值與真實(shí)值有一定的誤差,且旁瓣的幅度值很高,影響估計(jì)效果,而CS-OMP方法對(duì)旁瓣的抑制效果也較差。而直接使用陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏分解的方法對(duì)方位的估計(jì)較為準(zhǔn)確且能夠有效抑制旁瓣,但無法準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)的幅度值,在遇到較強(qiáng)干擾的情況下,無法有效區(qū)分目標(biāo)信號(hào)與干擾信號(hào),對(duì)準(zhǔn)確的方位估計(jì)造成較大影響,因此利用協(xié)方差矩陣高階冪進(jìn)行的DOA估計(jì)具有更好的估計(jì)效果。

5.3 不同陣元數(shù)條件下的比較

固定信噪比為-3dB,陣元數(shù)從2～32變化,快拍數(shù)為1024,圖6表示陣元數(shù)變化時(shí)CBF方法、OMP方法、FOCUSS方法、HOP-FOCUSS方法得到的二維方位歷程。

圖6 陣元數(shù)變化時(shí)四種方法估計(jì)的二維方位歷程

從圖6可以看出,CBF方法在陣元數(shù)為20時(shí)才可以分辨兩個(gè)目標(biāo),且波束寬度較寬,OMP方法與FOCUSS方法在陣元數(shù)達(dá)到16個(gè)時(shí)就可以分辨兩個(gè)目標(biāo)。而HOP-FOCUSS方法在陣元數(shù)達(dá)到8個(gè)時(shí)就可以有效分辨兩個(gè)信號(hào)。同時(shí),由于陣列的協(xié)方差矩陣是M×M維的矩陣(M為陣元數(shù)),因此利用協(xié)方差矩陣的高階冪作為待分解的稀疏向量,可以使運(yùn)算的快拍數(shù)從1024個(gè)減少至M個(gè),從而大大降低運(yùn)算量,加快估計(jì)速度,使之更適應(yīng)于實(shí)際應(yīng)用。

5.4 不同信噪比條件下的比較

固定陣元數(shù)為32,信噪比從-30dB～0dB變化,快拍數(shù)為1024,圖7表示信噪比變化時(shí)CBF方法、OMP方法、FOCUSS方法、HOP-FOCUSS方法得到的二維方位歷程。

從圖7可以看出,CBF方法、OMP方法、FOCUSS方法在信噪比達(dá)到-15dB的情況下才能有效分辨兩個(gè)目標(biāo),且對(duì)旁瓣的抑制效果較差,在低信噪比時(shí)存在較多的虛警。而HOP-FOCUSS方法在-20dB的情況下就能夠有效分辨兩個(gè)目標(biāo),且對(duì)旁瓣抑制效果更好,兩個(gè)目標(biāo)在歷程圖上的顯示更加明顯。

圖7 信噪比變化時(shí)四種方法估計(jì)的二維方位歷程

6 結(jié)語

針對(duì)空域目標(biāo)的稀疏性,著眼于壓縮感知理論中的FOCUSS重構(gòu)算法及以陣列協(xié)方差矩陣的特點(diǎn),通過對(duì)兩者計(jì)算方式的結(jié)合并加以改進(jìn),得到HOP-FOCUSS方法對(duì)空域目標(biāo)進(jìn)行有效的DOA估計(jì)。實(shí)驗(yàn)仿真證明,FOCUSS方法實(shí)現(xiàn)了壓縮感知中的MMV模型,降低了運(yùn)算次數(shù),正則化的FOCUSS方法以及對(duì)陣列協(xié)方差矩陣求高階次冪的方法能夠有效提高對(duì)目標(biāo)的估計(jì)性能,HOP-FOCUSS方法在低信噪比、少陣元數(shù)條件下依然能夠體現(xiàn)出對(duì)目標(biāo)的方位信息及幅度信息較好的估計(jì)效果,對(duì)旁瓣抑制效果更好,且能夠顯著減少計(jì)算快拍數(shù),降低運(yùn)算量及運(yùn)算時(shí)間,在目標(biāo)估計(jì)與探測領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。但同時(shí),本文還存有較多問題尚未解決,如在不同仿真背景下的參數(shù)選擇,在多目標(biāo)源,多干擾源情況下本文方法的適用性,尤其是當(dāng)目標(biāo)信號(hào)源強(qiáng)度較小,噪聲干擾較大的,陣列協(xié)方差矩陣中的大特征值與小特征值區(qū)分極不明顯的情況下本文方法的適用性還有待于進(jìn)一步研究論證。

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Direction of Arrival Estimation Method Based on Array Covariance Matrix and FOCUSS Algorithm

LI Qianyan1KANG Chunyu2

(1. Graduate Student Division, Dalian Navy Academy, Dalian 116018) (2. Department of Information Operations, Dalian Navy Academy, Dalian 116018)

Traditional direction of arrival estimation method is always limited with Nyquist sampling theorem and Rayleigh limit, requires better condition such as snapshot number, sensor number and SNR. It also can’t estimate amplifier information of source accurately yet. Based on spatial sparsity of targets, aiming at multiple-dimension vectors model, regularized FOCUSS sparse reconstruction algorithm can improve performance of DOA estimation in the condition of low SNR effectively. Array received matrix has large snapshot number and lots of noise information and it may affect higher resolution DOA estimation deeply. High power of the covariance matrix can approach signal subspace effectively, decrease the influence of noise subspace. Taking the covariance matrix of array received data as data vector to be resolved construct sparse model can improve resolution of reconstructed signal, and requires less snapshot number, less sensor number and lower SNR. This method can also restrain sidelobe better and estimate amplifier information of source accurately. Moreover, it doesn’t need to pre-estimate the number of sources, reflects obvious advantage.

direction of arrival estimation, regularized FOCUSS algorithm, sparse reconstruction, covariance matrix

2015年3月2日,

2015年3月27日

李前言,男,碩士研究生,研究方向:水聲信號(hào)處理。

TP301.6

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.09.016