陳沸鑌， 王長波， 謝步瀛

(1. 同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海 200092；2. 華東師范大學(xué)軟件學(xué)院，上海 200062)

可控性的雙層粒子剛體脆性破裂模擬動畫

陳沸鑌1， 王長波2， 謝步瀛1

(1. 同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海 200092；2. 華東師范大學(xué)軟件學(xué)院，上海 200062)

提出一種可控性的雙層粒子模型的剛體脆性破裂動畫的模擬框架。首先，使用接觸力學(xué)分析撞擊時固體內(nèi)部產(chǎn)生的彈性位移并采用光滑粒子流體動力學(xué)進(jìn)行離散求解，在此基礎(chǔ)上建立一個可控性的內(nèi)力分析模型。其次，提出一種雙層粒子模型來對剛體進(jìn)行建模，在保證內(nèi)力計算精度的同時提高了剛體動力學(xué)中碰撞檢測的效率。最后實(shí)現(xiàn)了多個剛體脆性模型場景的動畫。該算法可適用于剛體脆性破裂模擬的動畫應(yīng)用。

可控性模型；雙層粒子；剛體脆性破裂模擬；光滑粒子流體動力學(xué)

固體的脆性破裂是一種常見的自然現(xiàn)象，如摔碎的瓷器、玻璃的碎裂等。表現(xiàn)這些現(xiàn)象并進(jìn)行真實(shí)感繪制，在游戲動畫、影視特效等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。在計算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，脆性破裂的模擬已經(jīng)引起了許多研究人員的注意，并做了許多工作。然而，現(xiàn)有的脆性破裂模擬方法仍然有值得改進(jìn)的地方。首先，對于脆性破裂的力學(xué)分析往往直接采用了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方法，計算的結(jié)果雖然有較高的精度然而模擬的結(jié)果比較單一，缺乏對動畫模擬的可控性；其次，在大型場景的模擬時，大量的剛體運(yùn)動和碰撞受力計算對于模擬系統(tǒng)會造成比較大的計算量，如何提高系統(tǒng)的運(yùn)行效率也是值得改進(jìn)的一個方面。

針對固體脆性破裂的特點(diǎn)，本文提出了一種具有可控性的雙層粒子的剛體脆性破裂模擬算法，能夠有效地對模擬結(jié)果進(jìn)行控制并提高計算的效率。該方法能有效處理剛體受到撞擊后發(fā)生的破裂現(xiàn)象，使其有效地應(yīng)用于動畫以及影視特效模擬中。

1 相關(guān)工作

對于脆性破裂的模擬最早可以追溯到上世紀(jì)80年代。Terzopoulos等[1-2]將固體表示成網(wǎng)格，將開裂的模擬假定為彈性受力問題并使用了有限差分法進(jìn)行計算，類似的研究工作還有Norton等[3]。這些早期的固體脆性破裂模型的共同點(diǎn)是采用了彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型對固體進(jìn)行建模，將固體的質(zhì)量集中在各個質(zhì)點(diǎn)上，并使用彈簧來模擬質(zhì)點(diǎn)間的受力。這類模型簡單且計算速度快，但計算開裂點(diǎn)時其精度較低，無法準(zhǔn)確地確定裂紋尖端，對于各項(xiàng)異性材料的模擬也有較大的難度。為了克服彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型的缺點(diǎn)，研究人員從力學(xué)上借鑒了很多更為精確的模型。在工程領(lǐng)域作為一種基于網(wǎng)格的方法，有限元(finite element method，F(xiàn)EM)在模擬變形和破裂方面已經(jīng)被證明是一種具有較高精度的數(shù)值模型。因此在圖形學(xué)領(lǐng)域，有限元方法最早由O＜ Brien等人所引進(jìn)用來模擬脆性破裂[4]和塑性破裂[5]，是將固體離散成一系列的節(jié)點(diǎn)和單元，由外部撞擊產(chǎn)生的內(nèi)力通過對一個由所有節(jié)點(diǎn)的屬性組成的大型線性方程組進(jìn)行求解計算而得到的。這種直接求解線性方程組的計算量是比較高的，而在圖形學(xué)領(lǐng)域中的模擬往往不需要如此高的精度，因此可以進(jìn)行一定程度地簡化，如將撞擊問題假定為準(zhǔn)靜態(tài)問題[6-7]。

在力學(xué)及工程領(lǐng)域，相對于基于網(wǎng)格的力學(xué)模型，近年來人們更關(guān)注的是無網(wǎng)格方法，即穩(wěn)定且精度較高的數(shù)值方法。無網(wǎng)格方法使用粒子對求解區(qū)域進(jìn)行離散建模，其求解不受網(wǎng)格的約束因而有較大的靈活性，對于開裂這一類求解區(qū)域不連續(xù)的問題有著較好地應(yīng)用。在圖形學(xué)領(lǐng)域，最早使用無網(wǎng)格方法進(jìn)行固體模擬的是Desbrun和Cani[8]。光滑 粒 子 流 體 動 力 學(xué) (smoothed particle hydrodynamics，SPH)作為一種無網(wǎng)格方法，已經(jīng)應(yīng)用在流體模擬[9]，顆粒介質(zhì)模擬[10]和固體變形模擬[11]方面。在固體破碎模擬方面，目前采用無網(wǎng)格方法進(jìn)行破碎模擬的有無網(wǎng)格局部 petrov-galerkin法(meshless local petrov-galerkin，MLPG)[12]和移動最小二乘法(moving least squares，MLS)等方法[13]，而SPH模型尚未應(yīng)用到固體破碎模擬上。

從幾何學(xué)角度看，開裂的模擬實(shí)際上是一個網(wǎng)格的分解，這涉及到對一系列三角形或者四面體進(jìn)行切割，即一個曲面模型的分解與合并的計算，在計算代價上，只在網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行分解操作比直接切割網(wǎng)格的計算效率要高，因此許多模型均采用在節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行分解操作，如四面體網(wǎng)格模型[6]、規(guī)則八面體網(wǎng)格模型[14]、Molino等[15]提出的虛節(jié)點(diǎn)算法等，均是在對原始的幾何模型采用Voronoi圖的網(wǎng)格剖分后進(jìn)行了一定的約束限制再進(jìn)行網(wǎng)格的分解操作。最近，Müller等[16]提出了一種凸包的近似分解算法(volumetric approximate convex decomposion，VACD)可以在實(shí)時的程度上進(jìn)行三角形的切割操作?？偠灾?，一種有效的幾何模型在破碎模擬上有著很重要地應(yīng)用。

在計算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，對于一個模擬算法而言，如何在模擬規(guī)模比較大的時候提高計算效率是一個很重要的問題。對于一個粒子系統(tǒng)而言，在求解問題規(guī)模較大的時候效率往往是系統(tǒng)的一個瓶頸。針對這個問題，近些年研究人員也提出了許多方法，其中包括雙層/多層粒子建模技術(shù)。雙層/多層粒子的核心思想是在一個框架中通過采用不同尺度粒子同時對同一區(qū)域進(jìn)行離散建模，從而產(chǎn)生不同層次的粒子，各層次的粒子在框架中的作用各不相同，該模型已經(jīng)應(yīng)用到固體形變模擬[17]、流體模擬[18]、顆粒物質(zhì)(沙子)模擬[19]等，而在固體破裂模擬方面卻很少見到，從雙層/多層粒子模型的特性來看，其應(yīng)用于固體脆性模擬具有很大的優(yōu)勢。

2 固體脆性模擬框架

2.1 彈性接觸模型

為了使用基于物理的方式進(jìn)行固體脆性模擬，必須建立一種合適的力學(xué)模型來分析撞擊產(chǎn)生的應(yīng)變和應(yīng)力，與以往采用的基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型不同，為了提高模擬結(jié)果的可控性，本文采用了基于接觸力學(xué)的物理模型[20]。假定兩個物體之間產(chǎn)生了碰撞，首先將碰撞力分解為兩個方向的力：與接觸面所垂直的法向力P和與接觸面平行的切向力Q。以碰撞點(diǎn)O為坐標(biāo)中心，建立一個坐標(biāo)軸Oxyz，其中Oz的方向是與接觸面垂直的法向。根據(jù)接觸力學(xué)[20]中的勢能理論(由Love提出)，由于碰撞力P在碰撞點(diǎn)O產(chǎn)生彈性位移可以表示為：

同時，將切向力在碰撞點(diǎn)產(chǎn)生的彈性位移tU在 Ox和Oy軸上進(jìn)行分解，在Ox軸方向上的彈性位移可以表示為：

式(1)～(3)給出了總彈性位移U，總接觸力P Q+ 以及固體內(nèi)部任意一點(diǎn)到接觸點(diǎn)的距離ρ之間的關(guān)系，從上述公式中可以看出，在物體之間產(chǎn)生撞擊時，其接觸力越大，產(chǎn)生的彈性位移越大，離接觸點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，則彈性位移越小。使用上述公式能在碰撞時對接觸域內(nèi)任意點(diǎn)的位移進(jìn)行求解計算，從而得到整個物體內(nèi)部的位移場，在得到位移場后，根據(jù)green-saint-venant應(yīng)變ε的定義，可以得到：

其中，I是單位矩陣，TJ u=? ， u? 是位移的梯度場，根據(jù)線彈性材料的虎克定律[21]，應(yīng)力σ可表示為：

其中，C是一個由材料特性決定的6階方陣。

2.2 光滑粒子流體動力學(xué)的數(shù)值離散

SPH是一種無網(wǎng)格數(shù)值方法[22]，其核心是用一系列分散的粒子對問題區(qū)域中的某一個物理量進(jìn)行求解，如位移、速度、應(yīng)力等。求解區(qū)域中任意一個點(diǎn)的物理量值是由其支持域中所有鄰接粒子所對應(yīng)的值來進(jìn)行加權(quán)求和得到。

在SPH中，任意連續(xù)的物理場〈 〉f 在某個位置i的物理量值〈 fi〉可以由其支持半徑 h所定義的支持域中所有鄰接粒子對應(yīng)的屬性值使用核函數(shù) W( xij,h)來進(jìn)行加權(quán)求和得到：

其中， xij是該求解點(diǎn)與鄰接粒子之間的距離。核函數(shù) W( xij,h)通常取為具有歸一、對稱、非負(fù)的光滑函數(shù)。可以利用上式對上節(jié)的位移梯度場 ? u進(jìn)行離散求解：

其中， mj和 ρj分別是粒子j質(zhì)量和密度，uji= uj- ui，ui和 uj分別是由式(3)計算得到的粒子i和j位置處的位移。

2.3 可控性的內(nèi)力分析模型

在動畫和電影特效的制作過程中，制作人員往往需要根據(jù)所繪場景的需要對模擬結(jié)果進(jìn)行調(diào)整，如控制模擬物體運(yùn)動的速度，調(diào)整物體運(yùn)動的位移等。在破裂模擬中，模擬模型是否能對破碎的結(jié)果進(jìn)行一定控制，并使模擬的結(jié)果具有可控性，是其應(yīng)用價值所在。合適的模型動畫制作人員通過幾個參數(shù)就可以對模擬的結(jié)果進(jìn)行人為干預(yù)，并得到預(yù)期的結(jié)果。針對這個問題，本節(jié)提出一種具有可控性的內(nèi)力分析模型。

為了模擬固體的開裂，需要選擇一定的材料屈服準(zhǔn)則來確定開裂點(diǎn)以及開裂法向。對于脆性模擬，可以選擇經(jīng)典的Rankine準(zhǔn)則[23]：當(dāng)固體內(nèi)部某個點(diǎn)的主應(yīng)力超出了某個指定的閾值時，材料達(dá)到屈服，發(fā)生開裂，其開裂面的法向?yàn)橹鲬?yīng)力的方向。

計算主應(yīng)力的方向和大小時，先根據(jù)2.1節(jié)中的公式通過接觸力大小(這里的接觸力是由剛體動力學(xué)計算得到的)來計算位移場，再使用2.2節(jié)中的SPH式(7)計算位移的梯度場，最后根據(jù)式(4)和(5)可以得到應(yīng)力的大小和方向。

本文使用 SPH數(shù)值離散方法來計算位移的梯度場。SPH方法的一個重要特性是某個位置的值是由其鄰接粒子相應(yīng)的值所決定的。從式(7)可以看出，某個位置位移的梯度是通過該點(diǎn)的鄰接粒子位移值的加權(quán)求和計算的。如能選擇性地使用鄰接粒子的位移來計算該點(diǎn)的位移梯度值，所得的應(yīng)力主方向必然是不相同的，在模擬的結(jié)果上表現(xiàn)為同一點(diǎn)產(chǎn)生多條不同的裂縫。盡管從數(shù)值方法的角度上說此方法無法保證精度，然而從圖形學(xué)的角度來看，卻能達(dá)到人為干預(yù)裂縫生成的要求。圖1是內(nèi)力分析的過程，具體的內(nèi)力分析流程如下：

對某個應(yīng)力分析點(diǎn)：

獲得在SPH光滑半徑內(nèi)的鄰接粒子對所有的鄰接粒子：

計算與分析點(diǎn)間的距離

根據(jù)人為設(shè)定的裂紋數(shù)量n進(jìn)行分組對于每個鄰接粒子組：

使用式(3)～(5)計算應(yīng)力大小得到n個應(yīng)力

對于計算的每個應(yīng)力：

計算應(yīng)力張量的大小maxd 及方向

如果： max threshold

d d＞

材料達(dá)到屈服極限，產(chǎn)生裂紋

圖1 內(nèi)力分析示意圖

3 雙層粒子模型

如圖2所示，本文提出了一種雙層粒子的模型來對固體的運(yùn)動過程進(jìn)行模擬，通過將其離散成兩個不同層次的粒子(物理層粒子邊界層粒子)來分別進(jìn)行內(nèi)力分析和動力學(xué)計算。從而在保證模擬細(xì)節(jié)的同時提高了模擬的效率。

圖2 雙層粒子模型示意圖

3.1 物理層粒子

力學(xué)分析模型是采用 SPH方法進(jìn)行內(nèi)力分析計算的，因此，需將原始的固體模型離散成一系列的粒子。使用文獻(xiàn)[23-24]中的方法對固體進(jìn)行離散建模，首先將固體離散成一系列的四面體，再根據(jù)四面體生成相應(yīng)的粒子。在四面體離散算法上，采用了 Delaunay網(wǎng)格[25]計算對初始的固體模型進(jìn)行四面體網(wǎng)格化。具體模型的粒子化過程可見圖3。

圖3 物理層粒子生成過程示意圖

初始的固體模型通過 Delaunay三角化算法得到一個整體的四面體網(wǎng)格；在每個四面體的形心分配一個粒子，其質(zhì)量等于四面體的質(zhì)量，粒子的半徑 r是由相應(yīng)四面體體積 V計算得到的：為了避免開裂處理時網(wǎng)格維護(hù)幾何拓?fù)涞挠嬎汩_銷過大，使用了文獻(xiàn)[24]中基于約束的方法進(jìn)行幾何網(wǎng)格的切割操作，從而能夠有效地減少計算代價。

在剛體動力學(xué)計算時，直接采用上述物理層的粒子進(jìn)行碰撞檢測是一個簡單而有效的方式。然而，為了保證內(nèi)力分析時的計算正確性，物理層的粒子尺度往往需要比較小，在碰撞檢測過程中會增加計算代價。當(dāng)模擬的場景規(guī)模比較大時，大量的粒子碰撞檢測會降低模擬計算的速度。為了解決這個問題，在物理層粒子的基礎(chǔ)上額外建立一個邊界層的粒子用來進(jìn)行剛體動力學(xué)檢測的運(yùn)算。

3.2 邊界層粒子

將物理層的粒子分為兩類：內(nèi)部粒子和表面粒子，內(nèi)部粒子是位于固體內(nèi)部，而表面粒子是位于固體表面。在碰撞檢測時，可使用表面粒子進(jìn)行碰撞檢測計算。但是直接采用表面粒子進(jìn)行碰撞檢測計算會受制于物理層粒子的離散尺寸。為了提高檢測效率，在固體表面的物理層粒子的基礎(chǔ)上，需建立一個邊界層的粒子用來進(jìn)行碰撞檢測。

邊界層粒子的計算過程見圖4。一個由用戶定義的采樣數(shù)量n被引入，本文實(shí)驗(yàn)將采樣數(shù)量定為4。在所有的邊界粒子中，將每n個物理層表面粒子合并為一個邊界層粒子，每個邊界層粒子的質(zhì)量與其所對應(yīng)的物理層表面粒子的總質(zhì)量相等，其位置為n個物理表面層粒子。在邊界層粒子的生成過程中，可以發(fā)現(xiàn)有些物理層表面粒子(如位于固體表面比較尖銳處的粒子)無法被合并成一個邊界層粒子，這個問題可以有兩種解決方法：直接使用這些粒子作為邊界層粒子，或者將這些粒子忽略。

當(dāng)使用邊界層粒子進(jìn)行碰撞檢測時，在動力學(xué)計算的每個時刻，所有邊界層粒子的位置都會隨著剛體的運(yùn)動而改變，因此便于下一步碰撞檢測。只有在進(jìn)行內(nèi)力分析計算時，才會更新物理層粒子的位置來進(jìn)行內(nèi)力的分析計算，通過以上方法可以有效地提高計算的效率。

圖4 邊界層粒子采樣示意圖

4 算法的實(shí)現(xiàn)與結(jié)果分析

根據(jù)用上述章節(jié)提出的模擬框架，在Intel (R) Core i3-2100 (R) 3.2 GHz CPU、4 GB內(nèi)存、NVIDIA GeForce GTX460 圖形卡、1 GB顯存的微機(jī)上進(jìn)行模擬系統(tǒng)的算法編制，實(shí)現(xiàn)了多個剛體脆性模擬的場景，并采用3dmaxV-Ray對模擬結(jié)果進(jìn)行離線渲染，以期達(dá)到真實(shí)感繪制的效果。固體模型的四面體 離 散 化 采 用 了 NETGEN 工 具(sourceforge.net/projects/netgen-mesher)進(jìn)行生成。剛體動力學(xué)部分的算法在第三方物理引擎“Newton Game Dynamics” (newtondynamics.com)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一定的改進(jìn)從而實(shí)現(xiàn)。

圖5是一個圓環(huán)形瓷器下落摔碎的模擬場景，圖 5(b)～(d)是使用本文內(nèi)力分析模型進(jìn)行開裂控制的結(jié)果，通過使用不同的鄰接粒子組在同一個碰撞點(diǎn)進(jìn)行開裂法向的計算可以得到不同的結(jié)果。

圖6是一個較為復(fù)雜的場景的模擬，同時有13個圓環(huán)瓷器下落并破碎，對于每一個圓環(huán)，在內(nèi)力分析時均采用了不同參數(shù)對裂紋生成進(jìn)行控制。圖7是3個玻璃墻受到撞擊后連續(xù)破碎的效果。表1是圖5～7不同場景模擬的復(fù)雜度統(tǒng)計表。

表1 不同場景模擬的復(fù)雜度統(tǒng)計

表2是本文方法在不同場景的物理計算時間的統(tǒng)計，由于使用了雙層粒子的模型，在剛體動力學(xué)以及碰撞檢測上的時間開銷有了很大降低。

圖5 圓環(huán)摔碎的模擬場景通過不同鄰接粒子組來進(jìn)行開裂法向的計算

圖6 多個圓環(huán)摔碎的模擬場景

圖7 3個玻璃墻被撞碎的模擬場景

表2 不同場景的物理計算時間的統(tǒng)計(ms)

5 總結(jié)與展望

本文提出了一種剛體脆性破碎的模擬算法。該算法具有如下特點(diǎn)：

(1) 該算法在接觸力學(xué)和SPH數(shù)值方法內(nèi)力分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種具有可控性的內(nèi)力計算模型，從而能夠達(dá)到對模擬結(jié)果進(jìn)行用戶交互控制的目的

(2) 針對粒子系統(tǒng)模擬效率的不足，提出了一種雙層粒子的模型對固體進(jìn)行建模，在保證模擬的精度上又提高了系統(tǒng)運(yùn)行的效率。

本文的提出模擬框架還有一定的局限性，首先，無法模擬一些復(fù)雜的裂紋，如環(huán)形的裂紋，需要在現(xiàn)有的內(nèi)力分析模型上做進(jìn)一步地改進(jìn)。其次，雙層粒子的采樣算法需要進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化使得能夠支持復(fù)雜的幾何模型。

未來的工作包括：采用 GPU技術(shù)應(yīng)用到文中的算法上，將算法擴(kuò)展到塑性破裂模擬上，進(jìn)行更為復(fù)雜場景的模擬。

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Controllable Two Scale Particles for Fracture Animation of Brittle Materials

Chen Feibin1, Wang Changbo2, Xie Buying1
(1. Department of Architectural Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Software Engineering Institute, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

A controllable two scale particle framework for simulate the brittle fracture is presented. Firstly, the elastic displacement induced by the collision between two rigid bodies is analyzed based on contact mechanics and solved by using of smoothed particle hydrodynamics, and a stress analysis model is proposed to control the result of simulation. Secondly, a two scale particle model is introduced to present the rigid; this two scale particle system serves for the purposes of more accurate fracture modeling and more effective collision handling. Finally, rendering the fracture of brittle material is achieved in some scenes. Our method can apply for simulating the fracture of brittle material.

controllable model; two scale particles; simulation of brittle fracture; smoothed particle hydrodynamics

TP 391.1

A

2095-302X(2015)01-0111-06

2014-08-11；定稿日期：2014-08-20

國家自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(61272199)；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20130076110008)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目重點(diǎn)資助項(xiàng)目(12ZZ042)

陳沸鑌(1983-)，男，福建南平人，博士研究生。主要研究方向?yàn)榛谖锢淼姆抡妗⒘黧w模擬。E-mail：feibin.chen@gmail.com

王長波(1976-)，男，湖北隨州人，教授，博士。主要研究方向?yàn)橛嬎銠C(jī)圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等。E-mail：cbwangcg@gmail.com