唐秀福

(河池學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣西 宜州 546300)

0 引言

光子晶體［1－2］作為一種新型的光學(xué)材料，在激光、通訊、醫(yī)學(xué)等各領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，對(duì)光子晶體的理論研究已成為近代光學(xué)研究的熱門話題［3－17］。光子晶體是一種根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需要生產(chǎn)配制的人造光學(xué)材料，通過具有不同的介電常數(shù)的材料薄膜介質(zhì)周期性排列起來(lái)，構(gòu)成能夠?qū)獠ㄟM(jìn)行調(diào)制的特殊功能，根據(jù)薄膜介質(zhì)材料周期排列的維數(shù)不同，目前的光子晶體主要分為1維光子晶體、2維光子晶體和3維光子晶體。自1987年John S和Yablonovitch E分別獨(dú)立提出光子晶體的概念之后，由于光子相比電子的諸多優(yōu)越性，在光電領(lǐng)域激發(fā)了人們極大的研究熱情，在接下來(lái)的幾十年里對(duì)光子晶體的理論研究發(fā)展過程中，研究者不僅構(gòu)建了大量的光子晶體模型，而且創(chuàng)造和使用了很多種有效的研究方法，并取得了大量研究成果［3－17］。目前常見的光子晶體理論研究方法主要有:平面波展開法、傳輸矩陣法、時(shí)域有限差分法、多重散射法、N階法、轉(zhuǎn)移矩陣法等，這些方法在對(duì)光子晶體特性的研究上都具有各自的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)，同時(shí)針對(duì)不同的研究目標(biāo)和對(duì)象，他們的適用范圍也不一樣［13－17］。因此，面對(duì)眾多的研究方法，光子晶體的研究者特別是初學(xué)者難免無(wú)從選擇最有效的方法去解決問題?；谶@種思路，本文主要就光子晶體的主要研究方法的特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比分析，得出各自的優(yōu)缺點(diǎn)，確定各種研究辦法的適用范圍，并就其中最普遍使用的傳輸矩陣法進(jìn)行實(shí)例計(jì)算模擬和分析，此舉可為光子晶體的研究者和學(xué)習(xí)者提供參考。

1 光子晶體的基本研究方法及對(duì)比

1.1 光子晶體理論研究的基本方法

平面波展開法是利用Maxwell方程在傅利葉展開的平面波函數(shù)中將能帶計(jì)算化為代數(shù)本征值問題求解，該方法是光子晶體理論研究中應(yīng)用的最早也是最廣的方法之一。平面波法是光子晶體早期研究中總結(jié)出來(lái)的一套最基本的理論計(jì)算方法，它對(duì)各種理想結(jié)構(gòu)的晶體能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算能夠得出很好的結(jié)果。矩陣法是在光學(xué)薄膜計(jì)算中常用的一種計(jì)算方法，它也是利用Maxwell方程將光子晶體帶隙問題轉(zhuǎn)化為本征值的求解。傳輸矩陣法是在矩陣法的基礎(chǔ)上發(fā)展得來(lái)的，它可以利用傳輸矩陣來(lái)描述晶體的周期性結(jié)構(gòu)，是目前使用較為普遍的一種光子晶體理論計(jì)算方法。時(shí)域有限差分法是由Yee K S在1966年創(chuàng)建的，該方法的主要思想是對(duì)微分形式的Maxwell方程進(jìn)行差分求解，將Maxwell方程組在坐標(biāo)系中展開成標(biāo)量場(chǎng)分量的方程組，然后在劃分好的Yee氏網(wǎng)格空間中迭代計(jì)算出光子晶體中在任意時(shí)刻場(chǎng)的分布情況。多重散射法主要應(yīng)用于二維有限光子晶體的問題求解中，該方法將光子晶體作為散射體放置于開放系統(tǒng)中，通過電磁波與散射體的相互作用，研究目標(biāo)的散射、吸收和透入等相關(guān)特性。

此外，晶體研究的理論方法還有N階法、轉(zhuǎn)移矩陣法、格林函數(shù)法等。每種研究方法都各具特點(diǎn)，鑒于文章的篇幅及研究方法使用的普通性等，下面重點(diǎn)對(duì)平面波展開法、傳輸矩陣法、時(shí)域有限差分法和多重散射法進(jìn)行對(duì)比分析。

1.2 常用光子晶體理論研究方法的對(duì)比

平面波展開法與其他研究方法相比，計(jì)算量較大是該方法的最大約束。由于該種計(jì)算方法的計(jì)算量與所用平面波的波數(shù)的立方幾乎成正比關(guān)系，因此，對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的晶體，特別是帶缺陷的非理想晶體結(jié)構(gòu)，計(jì)算量將非常大，甚至是無(wú)法計(jì)算。此外，對(duì)于介電常數(shù)不是恒定的晶體時(shí)，是無(wú)法得出確定的本征值方程，進(jìn)而無(wú)法求解問題。故平面波展開法僅適用于計(jì)算結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的理想晶體能帶。

傳輸矩陣法與其他計(jì)算方法相比，其優(yōu)勢(shì)在于計(jì)算量比較小。因?yàn)樵摲椒ㄖ械膫鬏斁仃噧H與晶體層面上的格點(diǎn)數(shù)的平方成正比，且矩陣比較小、陣元少，因此計(jì)算量大為降低。此外，就計(jì)算過程而言，應(yīng)用矩陣法運(yùn)算得到的結(jié)果精確度要比矢量法高。利用傳輸矩陣法可有效計(jì)算1維、2維、3維介質(zhì)或金屬光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)、透射系數(shù)、反射系數(shù)和內(nèi)部電場(chǎng)分布等，對(duì)平面波法無(wú)法解決的電常數(shù)隨頻率變化的金屬系統(tǒng)也特別適用，即便是對(duì)存在色散或者缺陷的晶體結(jié)構(gòu)，該方法仍然可以有效計(jì)算。

時(shí)域有限差分法和傳輸矩陣法一樣，不但可以有效計(jì)算光子晶體介質(zhì)結(jié)構(gòu)的能帶機(jī)構(gòu)，也可以計(jì)算金屬結(jié)構(gòu)的光子晶體能帶關(guān)系。同時(shí)，該方法是處理光子晶體Anderson局域態(tài)、光子晶體波導(dǎo)本征模、光子晶體表面模特性的系列問題的有效方法。雖然時(shí)域有限差分法在計(jì)算晶體能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性上具有較大的優(yōu)勢(shì)，但由于該方法計(jì)算誤差較大，不適用于對(duì)精確度要求高的問題，無(wú)法有效解決諸如特殊形狀的原胞或復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光子晶體結(jié)構(gòu)問題。

多重散射法對(duì)研究由規(guī)則散射體構(gòu)成的晶體非常適用，對(duì)球體或者柱體散射體構(gòu)成的晶體，利用該方法計(jì)算尤為優(yōu)越，主要體現(xiàn)在收斂速度快，計(jì)算精確度高。此外，多重散射法在解決一些特殊問題上效果非常好，如在計(jì)算不同相的各種物質(zhì)組成的晶體，尤其對(duì)高和低填充率兩種極端情況時(shí)具有很好的收斂速度，缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，使用比較困難。

在眾多光子晶體理論研究基本方法中，傳輸矩陣法具有理論簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、使用范圍廣、易于編程實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此在光子晶體理論研究中被廣泛采用，特別是對(duì)光子晶體初學(xué)者而言，傳輸矩陣法是較為理想的研究方法之一。因此，下面將以傳輸矩陣法為例詳細(xì)介紹其計(jì)算研究的基本原理，并構(gòu)建一維光子晶體模型進(jìn)行計(jì)算和分析，以加深讀者的理解和掌握。

2 傳輸矩陣法原理及實(shí)例分析

2.1 傳輸矩陣法原理

由不同介電常數(shù)的兩種薄膜介質(zhì)A、B周期性排列形成光子晶體結(jié)構(gòu)ABABABAB…，也可以表示成(AB)m，m就是基元介質(zhì)(AB)單元的重復(fù)排列周期數(shù)。當(dāng)光從左側(cè)入射到光子晶體中時(shí)，在每一層介質(zhì)中的行為均可用一個(gè)分矩陣來(lái)描述，這個(gè)分矩陣的推導(dǎo)如下［13－14，17］。

圖1 光在任一單層薄膜介質(zhì)中的傳播行為

如圖1所示，假設(shè)介質(zhì)內(nèi)不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流時(shí)，則在每層介質(zhì)邊界處，電磁場(chǎng)的分量都是連續(xù)的。界面Ⅰ處的入射、反射和透射電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別記為Ei、Er、Et和 Hi、Hr、Ht，光以 θi1角入射到界面Ⅰ，θi2為界面Ⅱ的入射角。則利用界面Ⅰ和界面Ⅱ電場(chǎng)、磁場(chǎng)之間的關(guān)系，以及界面Ⅰ和界面Ⅱ上的透射場(chǎng) Et1(x，y，z=0)、Ei2(x，y，z=b)，可得:

MB就是光在B層介質(zhì)中傳播行為的傳輸矩陣，在其他層介質(zhì)(包括缺陷層介質(zhì))中同樣適用。于是對(duì)于光在光子晶體結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，光的總行為為各分矩陣之積，表示為:

利用矩陣元A、B、C和D就可以計(jì)算光入射到光子晶體后的如下參量:

2.2 傳輸矩陣法計(jì)算模擬實(shí)例

研究的對(duì)象為A、B兩種介質(zhì)的色散曲線及其周期排列形成準(zhǔn)周期光子晶體模型結(jié)構(gòu)(AB)m，以及鏡像對(duì)稱模型結(jié)構(gòu)(AB)m(BA)m。A、B介質(zhì)計(jì)算的參數(shù)(折射率和厚度)分別為:nA=1.38，dA=281 nm，nB=2.35，dB=165 nm，m是基元介質(zhì)單元(AB)的排列周期數(shù)，在計(jì)算中一般取正整數(shù)。

首先根據(jù)式(7)和(8)，由科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB編程，繪制出由A、B組成的晶體的色散曲線和由10個(gè)(AB)單元周期性排列形成的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)光子晶體(AB)10的能帶結(jié)構(gòu)，如圖2所示。圖中坐標(biāo)用歸一化頻率單位ω/ω0。

圖2 色散關(guān)系和能帶結(jié)構(gòu)圖

從圖2可見，A、B介質(zhì)組成的晶體的色散曲線存在著明顯的帶隙結(jié)構(gòu)，其中在奇數(shù)倍頻率處周圍出現(xiàn)禁帶，在偶數(shù)倍頻率處周圍則出現(xiàn)導(dǎo)帶，如圖3(a)。光子晶體(AB)10的能帶結(jié)構(gòu)與A、B晶體的色散曲線相對(duì)應(yīng)，也是在奇數(shù)倍頻率處周圍出現(xiàn)禁帶，而在偶數(shù)倍頻率處周圍則出現(xiàn)通帶，如圖3(b)所示。即光子晶體對(duì)入射到其中的光具有很明顯的選擇性通過功能［13－14］。模擬結(jié)果可見，用傳輸矩陣法很容易把入射到光子晶體中的光的行為描述出來(lái)，而且描述結(jié)果形象直觀。

上述模擬的是光子晶體無(wú)缺陷的情形，當(dāng)合理地在光子晶體的介質(zhì)之間插入缺陷時(shí)，可以增強(qiáng)光子晶體特別是缺陷位置處的自發(fā)輻射，增強(qiáng)的自發(fā)輻射將使光很容易通過光子晶體，并在禁帶中形成精細(xì)的缺陷模(透射峰)。對(duì)于含缺陷光子晶體的缺陷模，用傳輸矩陣計(jì)算模擬同樣也很方便。介質(zhì)A、B的參數(shù)不變，以A、B排列成鏡像對(duì)稱結(jié)構(gòu)光子晶體(AB)8(BA)8模型，利用傳輸矩陣法計(jì)算模擬出其透射能帶譜，如圖3所示。從光子晶體結(jié)構(gòu)(AB)7ABBA(BA)7模型可知，光子晶體鏡像對(duì)稱結(jié)構(gòu)中心由于缺少一層 A 介質(zhì)而形成空位缺陷［3，10，12］，即模型中帶邊框的，當(dāng)光入射到光子晶體中時(shí)，此處的自發(fā)輻射會(huì)增強(qiáng)，于是在禁帶中會(huì)出現(xiàn)透射峰即缺陷模。鑒于透射能帶譜是周期性重復(fù)結(jié)構(gòu)及文章的篇幅，圖3僅繪制出0.5～1.5ω/ω0頻率范圍的能帶譜。從圖3可見，禁帶中心出現(xiàn)了一條透射率為100%的缺陷模。所以傳輸矩陣法很方便且準(zhǔn)確地描述了光在光子晶體缺陷中的傳播行為，這對(duì)研究者和學(xué)習(xí)者均有積極的意義。

圖3 光子晶體(AB)8(BA)8的透射能帶譜

3 結(jié)論

通過對(duì)光子晶體常見研究方法的計(jì)算原理、運(yùn)算工作量及運(yùn)算精度等各方面的對(duì)比分析，得出如下結(jié)論:平面波展開法在計(jì)算理想光子晶體能帶結(jié)構(gòu)方面具有較大優(yōu)勢(shì);傳輸矩陣法計(jì)算量小，能有效地用于晶體的能帶結(jié)構(gòu)、透射系數(shù)、反射系數(shù)和內(nèi)部電場(chǎng)的計(jì)算，同時(shí)還可應(yīng)用于金屬晶體的計(jì)算與特性分析;有限時(shí)域差分法是計(jì)算光子晶體能帶、帶隙結(jié)構(gòu)和傳輸特性的有效方法，同時(shí)也適用于解決Anderson局域態(tài)、波導(dǎo)本征模的特性等問題;多重散射法能很好的解決某些特殊問題，尤其對(duì)高和低填充率兩種極端情況，更是具有很好的收斂速度。不同的研究方法具有各自的優(yōu)越性的同時(shí)，也存在自己的局限性，在學(xué)習(xí)和研究光子晶體的實(shí)際計(jì)算問題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)不同的具體問題選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能有效地解決問題。

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