脈沖離散切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

韋佳，羅日才

(1.貴州師范大學(xué)附屬中學(xué)，貴州 貴陽 550025;2.河池學(xué)院 計算機與信息工程學(xué)院，廣西 宜州 546300)

脈沖切換系統(tǒng)是脈沖混雜系統(tǒng)里最重要的一類，至今仍然處于發(fā)展階段。1998年Lakshmikantham和Liu最先提出脈沖混雜系統(tǒng)概念，并利用Lyapunov函數(shù)和比較原理討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性［1］。2003年Liu等利用Lyapunov函數(shù)方法和Riccati不等式建立一類擬線性脈沖混雜系統(tǒng)穩(wěn)定和魯棒穩(wěn)定的充分條件［2］。國內(nèi)專家近幾年來也對脈沖混雜系統(tǒng)和脈沖切換系統(tǒng)進行研究，并取得了階段性的成果［3-9］。

本文研究了如下線性脈沖離散切換系統(tǒng)

其中，X(k)∈Rn為狀態(tài)變量，i(τ)∶R+→I={1，2，…，m}，τ∈{0}∪N，Δx(k+1)=x(k+1)-x(k)=Bkx(k)?k=kτ，x(k+1)=(I+Bk)x(k).

在研究了線性脈沖離散切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，本文還考慮了不確定性對此系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，研究了如下具有非線性不確定擾動項的脈沖離散切換系統(tǒng)

其中，hi(τ)(k，x(k))表示非線性不確定擾動項，其它符號含義與系統(tǒng)(1)相同。

假設(shè)脈沖切換系統(tǒng)(1)、(2)的解為x(t)，根據(jù)有關(guān)文獻，我們給出如下定義:

定義1［10］:若?α ＞0，?ε ＞0，?δ(ε)＞0，?k0≥0，當(dāng)‖x0‖＜ δ時，對所有的k≥k0，有‖x(k)‖ ＜εe-α(k-k0)‖x0‖，則稱脈沖離散切換系統(tǒng)的零解指數(shù)穩(wěn)定。

定義 2［11］:A=(aij)n×n，x=(x1，x2，…，xn)T，y=(y1，y2，…，yn)T∈Rn，|A|=，如果 x≤y，當(dāng)且僅當(dāng)xi≤yi(i=1，2，…，n)。

定義 3［12］:記S={kτ，iτ)|τ∈N+，iτ∈{1，2，…，m}}表示切換模式，m∈N+是有限數(shù)，{kτ}是任一無窮數(shù)列，稱為切換序列。在切換模式和脈沖模式作用下構(gòu)成的系統(tǒng)，其發(fā)生切換的同時也發(fā)生脈沖，如圖1所示。

圖1 切換序列圖

另外，我們給出如下假設(shè):

H1:系統(tǒng)(1)、(2)中各系統(tǒng)的整體解存在唯一。

H2:為了避免整個系統(tǒng)頻繁切換引起的顫動，要求系統(tǒng)在有限時間內(nèi)切換的次數(shù)是有限的。

H3:系統(tǒng)在每個切換時刻產(chǎn)生脈沖，并且當(dāng)系統(tǒng)切換至同一個子系統(tǒng)時，所受的脈沖作用是一樣的。

H4:序列{kτ}，滿足:kτ∈N，k0=0 ＜k1＜k2＜… ＜kτ＜…，且kτ+1-kτ≥2，

因此，kτ≥kτ-1+2≥kτ-2+4≥…≥k0+2τ=2τ.

H5:對于任意i(τ)∈N，都存在某個有界常數(shù) σi(τ)＞0，使得‖hi(τ)‖≤σi(τ)‖x‖成立，i(τ)∈N。

1 引理

引理1［13］:當(dāng)X，Y及Σ∈Σ*為適當(dāng)維數(shù)矩陣，‖Σ‖≤1，對于任意ε＞0，則下列不等式成立:

引理 2［13］:X∈Rn×n為正定矩陣，Q∈Rn×n為對稱矩陣。對于?x∈Rn，下列不等式成立:

引理 3［14］:如果存在一個正定函數(shù)V(x)∶Rn→R+，?β ＞0，滿足

則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

引理4［15］:對于任意常對稱矩陣 M∈Rn×n，M=MT＞0，標(biāo)量s∈Z+/{0}，向量函數(shù) W∶［0，s］→Rn，我們有

引理5(Schur補定理)［16］:設(shè)A，B，C是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，那么下面三式等價:

2 主要結(jié)論

2.1 線性脈沖離散切換系統(tǒng)

定理2.1 假設(shè) H4 成立，對于系統(tǒng)(1)，如果存在一個常數(shù) α ＞0，對于任意k∈(kτ，kτ+1］，τ∈N，使得

成立，則系統(tǒng)(1)為指數(shù)穩(wěn)定的。

證明:對于任意k∈(kτ，kτ+1］，τ∈N，我們得到

令 Ckτ=I+Bkτ，則

由式(3)和式(4)可以得到

兩邊取范數(shù)，得到(取k0=0)

根據(jù)假設(shè) H1，得到kτ≥kτ-1+2≥kτ-2+4≥…≥k0+2τ=2τ.因此，對于任意k∈(kτ，kτ+1］，得到‖x(k)‖≤e-α(k-τ)‖x0‖ ＜e-ατ‖x0‖.根據(jù)定義，顯然系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌線是指數(shù)穩(wěn)定的。

接下來討論非線性不確定擾動項的脈沖離散切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。

2.2 非線性脈沖離散切換系統(tǒng)

定理2.2 假設(shè) H5 成立，如果存在正定矩陣 Pj∈Rn×n和常數(shù) εj＞0，使得∑∞j=0lnγj=-∞.成立，這里

此時，系統(tǒng)(2)是指數(shù)穩(wěn)定的。

證明:考慮切換 Lyapunov 函數(shù)形式為:V(x)=xTPjx，k∈(kτ，kτ+1)，j=i(τ)，

當(dāng)k=kτ，根據(jù)引理 2，得到

由式(5)和式(6)，對于任意k∈(kτ，kτ+1］，得到

因此，系統(tǒng)(2)是指數(shù)穩(wěn)定的。

3 數(shù)值仿真

這一節(jié)我們給出數(shù)值仿真例子來驗證定理的有效性。

例1:考慮線性脈沖離散切換系統(tǒng)(1)，取子系統(tǒng)的個數(shù)n=2，切換子系統(tǒng)系數(shù)矩陣為

當(dāng)k∈(k4，k5］時，k-τ＞k4- τ=k4-4=31，ln(max‖Ai(τ)‖)+

由以上運算可知，對于任意k∈(kτ，kτ+1］，?α ＞0，st.ln(max‖Ai(τ)‖)+

根據(jù)定理2.1，可知系統(tǒng)(1)為指數(shù)穩(wěn)定的，如圖2所示。

例2:考慮具有非線性不確定擾動項的非線性脈沖離散切換系統(tǒng)(2)，子系統(tǒng)的個數(shù)n=2，切換子系統(tǒng)系數(shù)矩陣為

由于λ1(A1)=λ2(A1)=1.1＞1，即?λ1(A1)=λ2(A1)≥1。故，當(dāng)系統(tǒng)(2)的系數(shù)矩陣切換到A1時，此時的子系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。

由于λ1(A2)=λ2(A2)=0.5＜1，故，當(dāng)系統(tǒng)(2)的系數(shù)矩陣切換到A2時，此時的子系統(tǒng)為穩(wěn)定的。

取 Pj=I，εj=1，j=i(τ)，kτ=4k，取干擾項

當(dāng)系統(tǒng)切換到A2時，

所以 lnα2=-0.47;

當(dāng)系統(tǒng)切換到A1時，

所以 lnα1=0.9341;

當(dāng)k∈(kτ，kτ+1］，即k∈(4k，4(k+1)］時，令 Sk=lnγj≤(0.9341 ×3-3)k+0.9341 ×3=-0.0659k+2.8023，從而

根據(jù)定理2.2，可知系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌線是指數(shù)穩(wěn)定的，如圖3所示。

圖2 子系統(tǒng)的個數(shù)n=2時，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡序列圖

圖3 子系統(tǒng)的個數(shù)n=2時，系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡序列圖

4 結(jié)論

脈沖離散切換系統(tǒng)是一類復(fù)雜混合系統(tǒng)，具有廣泛的實際背景和理論研究意義。這類系統(tǒng)的離散動態(tài)與時滯、脈沖行為相互作用，使系統(tǒng)的動態(tài)行為變得十分復(fù)雜，系統(tǒng)運行機制遠未清楚，大量的分析和綜合問題等待解決。本文根據(jù)指數(shù)穩(wěn)定的定義，研究了線性脈沖離散切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，又利用切換Lyapunov函數(shù)方法研究了具有非線性不確定擾動項的脈沖離散切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，從而得到其在任意初始狀態(tài)及切換序列下指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。由于脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究方法尚在發(fā)展之中，而且對脈沖切換系統(tǒng)的研究比經(jīng)典的切換系統(tǒng)更加復(fù)雜和困難，因此仍然存在許多有待進一步深入研究和探討的問題。

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